緊扣圖形特征 揭示問題本源

王 松

（湖北省武漢市武漢第三寄宿中學(xué)）

筆者在研讀近幾年有關(guān)中考命題、解題類文章時(shí)，發(fā)現(xiàn)很多有關(guān)“共頂點(diǎn)三角形旋轉(zhuǎn)”模型的文章，一直困惑于此模型的輔助線是如何產(chǎn)生的？本文以一道幾何題為線索，從圖形位似的角度，談?wù)勛约簩?duì)此類問題的理解.

題目如圖1，在等腰直角三角形ABC中，AC=，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長是（ ）.

（B）π

（D）2

圖1

一、問題起源

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第27章第3節(jié)“位似”中給出了位似的概念.依據(jù)題目給出的條件不難判斷動(dòng)點(diǎn)P和動(dòng)點(diǎn)M的連線都經(jīng)過同一點(diǎn)C，且，故可以判定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡與點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)C為位似中心，位似比為2∶1的位似圖形.進(jìn)而可知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以1為半徑的半圓，其路徑長為π.

顯然，對(duì)于平面內(nèi)一定點(diǎn)O和動(dòng)點(diǎn)P，連接OP，在線段OP上取一點(diǎn)Q，始終滿足（k為定值）.如果規(guī)定動(dòng)點(diǎn)P在一條確定直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖2），依據(jù)位似的定義可知，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡必為一條與直線l平行的直線.進(jìn)而，若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線l上某一線段PP1時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡必為一條平行于線段PP1的線段QQ1，且有QQ1=k·PP1.如果規(guī)定動(dòng)點(diǎn)P在一確定⊙R上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖3），依據(jù)位似的定義可知，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡必為一個(gè)圓（其圓心R1與點(diǎn)R，O三點(diǎn)共線），且有C⊙R1=k·C⊙R.

圖2

圖3

當(dāng)然，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡可以定義為任意軌跡，動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡將始終保證與動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于定點(diǎn)O成位似圖形，由于情況多樣而本質(zhì)不變，故不再贅述.

二、問題變式

變式：對(duì)于圖2中的問題，若將點(diǎn)Q繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0＜α＜360°)，且α≠180°，其他條件不變.

（1）如果規(guī)定動(dòng)點(diǎn)P在一條確定直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖4），依據(jù)前面的論述，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡必為一條與直線l相交的直線，其夾角之一為α.

理由如下：在圖4中，直線PP1與直線QQ1交于點(diǎn)T，由于，∠POQ=∠P1OQ1=α，易證得△POQ∽△P1OQ1，△POP1∽△QOQ1.故∠TPO=∠TQO.證得∠T=∠POQ=α.進(jìn)而，若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線l上某一線段PP1時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡必為一條線段QQ1，此時(shí)QQ1=k·PP1.同時(shí)還可以發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)為圖2中△QOQ1整體繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α后即為圖4中的△QOQ1.

圖4

圖5

（2）如果規(guī)定動(dòng)點(diǎn)P在一確定⊙R上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖5），依據(jù)前面的論述，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡可以看作是圖3中的⊙R1繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α后得到的一個(gè)圓，且有C⊙R1=k·C⊙R.理由如下：如圖5，連接OR，作∠ROR1=α，并使得，易證△POQ∽△ROR1，△POR∽△QOR1.得.故可以得到點(diǎn)Q在以R1為圓心，k·PR為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故

顯然，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為⊙R上的一段弧時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡也應(yīng)為一段弧，同時(shí)兩段弧所對(duì)的圓心角相等，弧長之比等于k.

在上述證明過程中，證得△POQ∽△ROR1.同時(shí)觀察發(fā)現(xiàn)點(diǎn)O為這對(duì)相似三角形的公共頂點(diǎn)，P，Q這對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)同為運(yùn)動(dòng)過程中的動(dòng)點(diǎn)，R，R1這對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)同為圓心，此規(guī)律也為我們解決相關(guān)問題提供了依據(jù).

例1如圖6，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=4，CD⊥AB于點(diǎn)D，P是CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)向下作等腰直角三角形PBE，連接DE，求DE的最小值．

圖6

分析：由已知可得△ABC∽△EPB.進(jìn)而可得△BCP∽△BAE.動(dòng)點(diǎn)P在定線段CD上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E必在某定線段上運(yùn)動(dòng)，故擬定思路如下：由△BCP與△BAE始終相似確定點(diǎn)E所在線段，再尋找定點(diǎn)D到定線段的最小距離.

解：如圖7，以DB為直角邊在AB下方構(gòu)造等腰直角三角形BDF，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合；

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，

所以點(diǎn)E在線段AF上運(yùn)動(dòng).

過點(diǎn)D作DG⊥AF于點(diǎn)G，

圖7

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G的位置時(shí)，DE有最小值.

因?yàn)锳C=BC=4，

所以DB=AD=DF=

所以DG=2.

例2如圖8，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，AB=BC=10，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，以PC為邊作△PCD，使∠PDC=90°，，P，C，D三點(diǎn)為逆時(shí)針順序.連接OD，則線段OD長的最小值是_____．

圖8

分析：由已知可知，點(diǎn)P始終在定⊙O上運(yùn)動(dòng)，（即∠DCP為確定角），可以猜想到點(diǎn)D一定在某一定圓上運(yùn)動(dòng)，故找到這個(gè)定⊙I（如圖9），連接OI，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段OI上即可找到線段OD的最小值.

解：如圖9，以O(shè)C為斜邊構(gòu)造Rt△OCI，

因?yàn)椤螪PC=∠IOC，

∠PDC=∠OIC，

所以△PDC∽△OIC.

圖9

所以△DCI∽△PCO.

又因?yàn)锳B=BC=10，

所以O(shè)C=15.

可求得OI=12.

所以ID=3.

因?yàn)辄c(diǎn)I是定點(diǎn)，ID是定長，

所以點(diǎn)D在半徑為3的⊙I上運(yùn)動(dòng).

所以O(shè)D的最小值為12-3=9.

顯然，由于已經(jīng)確定了動(dòng)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為以定點(diǎn)I為圓心，半徑為3的一個(gè)圓，當(dāng)然亦可求線段OD的最大值和線段OD長度的取值范圍，在此就不展開說明了.

三、問題拓展

在前面問題起源中，我們談到從位似的角度來理解以上問題，而從兩種位似情形來看，不難猜想到當(dāng)位似中心在對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線上時(shí)，上述結(jié)論也是成立的.

拓展1：對(duì)于平面內(nèi)一定點(diǎn)O和一動(dòng)點(diǎn)P，連接OP，在線段PO的延長線上取一點(diǎn)Q，始終滿足（k為定值）.

（1）如果規(guī)定動(dòng)點(diǎn)P在一條確定直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖10），依據(jù)位似的定義可知，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡必為一條與直線l平行的直線.進(jìn)而，若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線l上某一線段PP1時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡必為一條平行于線段PP1的位似線段QQ1，且有QQ1=k·PP1.

圖10

圖11

（2）如果規(guī)定動(dòng)點(diǎn)P在一確定⊙R上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖11），依據(jù)位似的定義可知，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡必為一個(gè)圓（其圓心R1與點(diǎn)R，O三點(diǎn)共線），且有

當(dāng)然，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡可以定義為任意軌跡，動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡將始終保證與動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于定點(diǎn)O成位似圖形，由于情況多樣而本質(zhì)不變，故不再贅述.

拓展2：對(duì)于平面內(nèi)一定點(diǎn)O和一動(dòng)點(diǎn)P，連接OP，在平面內(nèi)再取一點(diǎn)Q，連接OQ，始終滿足（k為定值），且∠POQ=α(0＜α＜360°，且α≠180°).

（1）如果規(guī)定動(dòng)點(diǎn)P在一條確定直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖12），依據(jù)前面的論述，我們可以認(rèn)為是圖10中的△QOQ1整體繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°-α后得到的，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡必為一條與直線l相交的直線，其夾角之一為α.

圖12

理由如下：在圖12中，直線PP1與QQ1交于點(diǎn)T，由于，∠POQ=∠P1OQ1=α，

易證得△POQ∽△P1OQ1，POP1∽△QOQ1.

進(jìn)而可以證得∠PP1O=∠QQ1O.

得∠T=180°-α.

（2）如果規(guī)定動(dòng)點(diǎn)P在一確定⊙R上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖13），依據(jù)前面的論述，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡可以認(rèn)為是圖11中的⊙R1繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°-α后得到的一個(gè)圓，且有C⊙R1=k·C⊙R.

圖13

理由如下：如圖13，連接OR，作∠ROR1=α，并使得，易證△POQ∽ △ROR1，POR∽ △QOR1，得.故可以得到點(diǎn)Q在以R1為圓心，k·PR為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故C⊙R1=k·C⊙R.

圖14

例3如圖14，點(diǎn)P為半圓O上一動(dòng)點(diǎn)，直徑AB=16，C為OA中點(diǎn)，過點(diǎn)C的線段PR始終滿足PC=2CR，以PR為直角邊作 Rt△PRQ，∠R=90°，PR=2RQ，則BQ的最小值為______.

分析：如圖15，連接CQ，可發(fā)現(xiàn)RC∶RQ∶CP=2∶3∶4，可得CQ∶PC=13 ∶4，.故可以判斷當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在半圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q必在某一半圓上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而通過確定這個(gè)圓的兩個(gè)要素（圓心、半徑），最終發(fā)現(xiàn)BQ的最小值.

圖15

解：如圖15，連接CQ，

因?yàn)镽C∶RQ∶CP=2∶3∶4，

所以CQ∶PC=∶4，

tan∠RCQ=.

在AB下方取點(diǎn)E，連接CE，

使得∠ACE=∠RCQ，CE∶OC=∶4，

易證△CPQ∽△COE，△CEQ∽△COP.

過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，連接EB，由OC=4，

可得CF=2，EF=3.

在Rt△BEF中，F(xiàn)B=14，EF=3，

所以BQ的最小值為E，B，Q三點(diǎn)共線時(shí)，其值為

通過以上舉例，筆者發(fā)現(xiàn)利用“共頂點(diǎn)三角形旋轉(zhuǎn)”模型來解決相關(guān)問題時(shí)，所添加的輔助線并非憑空捏造，而是有章可循的，之所以對(duì)這類構(gòu)造方法感到無從下手，恰恰是忽視了問題的本源——位似圖形，若能從根源上揭示問題本質(zhì)，進(jìn)而可以尋求到通解、通法來解決問題.