對(duì)一道中考?jí)狠S題的探究及推廣

梁文威

（廣東省江門市新會(huì)區(qū)會(huì)城源清中學(xué)）

2017年廣東省中考數(shù)學(xué)壓軸題考查了在平面直角坐標(biāo)系背景下，已知矩形對(duì)角線上動(dòng)點(diǎn)生成的平面幾何問(wèn)題與二次函數(shù)最值問(wèn)題，既考查了學(xué)生的空間想象能力，又考查了分類討論和函數(shù)思想，比較全面地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了中考數(shù)學(xué)壓軸題考能力、考創(chuàng)新、考發(fā)展的要求，對(duì)今后一段時(shí)間的廣東省初中數(shù)學(xué)教學(xué)起著重要的導(dǎo)向作用.筆者就2017年廣東省中考數(shù)學(xué)壓軸題進(jìn)行探究與分析，并對(duì)相關(guān)結(jié)論進(jìn)行拓展與推廣.

一、試題呈現(xiàn)

題目如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別是A(0，2 )和，點(diǎn)D是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），連接BD，作DE⊥DB，交x軸于點(diǎn)E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF.

（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)____.

（2）是否存在這樣的點(diǎn)D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，求出AD的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由.

②設(shè)AD=x，矩形BDEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（可利用①的結(jié)論），并求出y的最小值.

圖1

二、解法探究

1.第（1）（2）小題的解法探究

第（1）小題考查了平面直角坐標(biāo)系的基本概念，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

第（2）小題中求使△DEC是等腰三角形時(shí)，線段AD的長(zhǎng).題目中隱藏了一個(gè)重要條件∠ACO=30°，而且還要考慮圖1（1）和圖1（2）的兩種情況.第一種情況：如圖1（1），由ED=EC，不難得到△BCD是等邊三角形，進(jìn)而可得∠DAB=∠DBA=30°.所以AD=BD=2.第二種情況：如圖1（2），由CD=CE，易知∠CDE=15°，∠ADB=75°.進(jìn)而可得∠ADB=∠ABD=75°.所以

解：（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（2）存在；理由如下：

因?yàn)樗倪呅蜛BCO是矩形，

所以 ∠ACO=30°.

情況1：如圖1（1），當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，

因?yàn)椤鱀EC是等腰三角形，即ED=EC，

所以∠ACO=∠EDC=30°.

因?yàn)镈E⊥DB，所以∠BDC=60°.

又因?yàn)椤螧CA=60°，即△BCD是等邊三角形，

所以BD=BC=2.

因?yàn)锳B∥OC，所以∠ACO=∠DAB=30°.

又因?yàn)椤螦BD=∠BDC-∠DAB=30°，

即∠ABD=∠DAB，所以AD=BD=2.

情況2：如圖1（2），當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，

因?yàn)椤鱀EC是等腰三角形，即CD=CE，

所以∠CDE=∠CED.

又因?yàn)椤螦CO=2∠CDE=30°，所以∠CDE=15°.

因?yàn)镈E⊥DB，所以∠ADB=75°.

又因?yàn)椤螪AB=30°，

所以∠ABD=75°，即∠ADB=∠ABD.

所以AD=AB=

綜上所述，存在點(diǎn)D使△DEC是等腰三角形，此時(shí)AD=2或AD=

【評(píng)析】第（1）小題考查基本概念，讓大部分學(xué)生都能在壓軸題上拿分，體現(xiàn)試題對(duì)學(xué)生的人文關(guān)懷.第（2）小題有兩種情況，需要分類討論.由于分類討論對(duì)初中生來(lái)說(shuō)還是一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題，故此題目通過(guò)圖1（1）和圖1（2）暗示形成等腰三角形的兩種情況，降低了題目的難度，符合學(xué)生思維的發(fā)展規(guī)律.

2.第（3）小題的解法探究

圖2

圖3

第（3）小題第②問(wèn)要求用x來(lái)表示線段AD的長(zhǎng)，并寫出矩形BDEF的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最小值.這里題目提示可以用第①問(wèn)的結(jié)論，所以矩形BDEF的面積.又易知?jiǎng)t由勾股定理，得DB2=x2-6x+12.從而有.所以當(dāng)x=3時(shí)，y的最小值為.

證明：①如圖3，作DH⊥OC于點(diǎn)H，DG⊥AB于點(diǎn)G，

因?yàn)樗倪呅蜝DEF是矩形，

所以∠BDE=90°，即∠HDE+∠GDB=90°.

又因?yàn)椤螱BD+∠GDB=90°，

所以∠HDE=∠GBD.

又因?yàn)椤螪HE=∠BGD=90°，

所以△DHE∽△BGD.

因?yàn)椤螧GH=∠GHC=∠HCB=90°，

即四邊形GHCB是矩形，

所以BG=CH.

②因?yàn)樗倪呅蜛BCO是矩形，即AB∥OC，所以∠GAD=∠ACO=30°.

因?yàn)镈G⊥AB于點(diǎn)G，

在Rt△BGD中，由勾股定理，得DB2=GB2+GD2=

因?yàn)榫匦蜝DEF面積y=DE·DB，且

因?yàn)锳C=2AO=4，即0＜x＜4，

所以當(dāng)x=3時(shí)，y取得最小值為 3.

【評(píng)析】第（3）小題第①問(wèn)通過(guò)作垂直構(gòu)造兩個(gè)三角形相似來(lái)轉(zhuǎn)換所求證的線段比例，這個(gè)方法在現(xiàn)行人教版教材的習(xí)題中多次出現(xiàn)，學(xué)生是比較熟悉的.但是這里要求學(xué)生自行構(gòu)造出輔助線，這對(duì)學(xué)生的空間想象能力提出了更高的要求，體現(xiàn)出試題“源于教材，高于教材”的命題思路.事實(shí)上，這是這道壓軸題的難點(diǎn)所在，很多學(xué)生都卡在這里，要知道過(guò)了這關(guān)，最后一問(wèn)就水到渠成了.如果學(xué)生能順利證明出第①問(wèn)，最后一問(wèn)只是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)換成函數(shù)問(wèn)題.通過(guò)第①問(wèn)的證明結(jié)論構(gòu)造出y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后再通過(guò)二次函數(shù)得出y的最小值.最后一問(wèn)沒(méi)有出現(xiàn)高強(qiáng)度的代數(shù)運(yùn)算，讓真正優(yōu)秀的學(xué)生能夠脫穎而出，體現(xiàn)了中考數(shù)學(xué)壓軸題考能力、考創(chuàng)新、考發(fā)展的價(jià)值取向.綜觀2017年廣東省中考數(shù)學(xué)壓軸題，既考查了幾何構(gòu)造，又考查了函數(shù)最值，還有分類討論，比較全面地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是一道難得的好題.

三、試題的拓展

隨著對(duì)這道中考數(shù)學(xué)壓軸題的深入探究，筆者發(fā)現(xiàn)原題目中連接CF后，還有兩個(gè)重要的問(wèn)題值得繼續(xù)探究：一是；二是CF⊥AC.下面筆者將為以上兩個(gè)拓展問(wèn)題給出證明.

拓展1：如圖4，在原題的基礎(chǔ)上連接CF，求證：

圖4

證明：因?yàn)?，且四邊形BDEF是矩形，即DE=FB，

又因?yàn)椤螪BF=∠ABC=90°，

所以∠DBF-∠DBC=∠ABC-∠DBC，

即∠CBF=∠ABD.

所以△CBF∽△ABD.從而.

拓展2：題干同拓展1，求證：CF⊥AC.

證明：因?yàn)椤鰿BF∽△ABD，

所以∠BCF=∠BAD.

又因?yàn)樗倪呅蜛BCO是矩形，即∠ABC=90°，

所以∠BAD+∠BCA=90°.

所以∠BCF+∠BCA=90°，即∠ACF=90°.

所以CF⊥AC.

四、試題的推廣

“從特殊到一般，再?gòu)囊话愕教厥狻笔菙?shù)學(xué)研究的常見(jiàn)用法.將中考數(shù)學(xué)壓軸題的題設(shè)與結(jié)論推廣到一般情況，不僅是將試題的研究升華到一個(gè)更高的層次，還能更好地洞察題目的本質(zhì)和根源，為開(kāi)展研究性教學(xué)提供優(yōu)質(zhì)的素材.

題設(shè)：如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別是A(0，b)和C(a，0 )，a＞0，b＞0，點(diǎn)D是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），連接BD，作DE⊥DB，交x軸于點(diǎn)E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF，連接CF.

圖5

推論1：當(dāng)或a時(shí)，△DEC是等腰三角形.

證明：如圖6，作DH⊥OC于點(diǎn)H，DG⊥AB于點(diǎn)G，

圖6

（3） 當(dāng)DE=CD時(shí)，有HE2+DH2=DH2+HC2，即HE=HC，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，△DEC不存在.

因?yàn)椤螪BF=∠ABC=90°，

所以∠DBF-∠DBC=∠ABC-∠DBC，

即∠CBF=∠ABD.

（2）因?yàn)椤螧CF=∠BAD，且四邊形ABCO是矩形，即∠ABC=90°，

所以∠BAD+∠BCA=90°.

則∠BCF+∠BCA=90°，即∠ACF=90°.

所以CF⊥AC.

通過(guò)對(duì)2017年廣東省中考數(shù)學(xué)壓軸題的深入探究與拓展推廣，筆者認(rèn)為此題可作為研究性教學(xué)的素材，通過(guò)研究試題的解法以優(yōu)化解題策略和方法，研究試題的拓展與推廣以培養(yǎng)學(xué)生探究意識(shí)和創(chuàng)新精神.