入乎其內(nèi) 出乎其外
——對(duì)一道學(xué)能檢測(cè)題的研究

劉 琪

（浙江省景寧畬族自治縣啟文中學(xué)）

王國維認(rèn)為：入乎其內(nèi)，故有生氣.出乎其外，故有高致.習(xí)題教學(xué)，深入其中才知其深邃，跳出來更能客觀地審視其精髓，并在審視過程中反思提升，有選擇地指導(dǎo)自我.筆者以一道九年級(jí)學(xué)能檢測(cè)題的教學(xué)為例，將教學(xué)過程和反思整理成文，與各位同行分享、交流.

題目如圖1，在矩形ABCD中，∠BEG=∠BFG=90°，AB=AF.

（1）當(dāng)EF=2，∠FEG=15°時(shí)，求BF的長；

（2）求證：AE=DG.

圖1

一、研究解法，引導(dǎo)學(xué)生一題多解

1.探究基本方法

對(duì)于題目的第（2）小題，學(xué)生首先想到的解題思路是通過證明三角形全等來證明線段相等，這是由初中學(xué)生的知識(shí)水平和思維習(xí)慣決定的.因此，教師啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行如下思考.

師：從第（2）小題的結(jié)論出發(fā)，要證明AE=DG，你是怎么思考的？

生1：只要證明△BAE≌△EDG即可.

因?yàn)椤螦=90°，

所以∠ABE+∠AEB=90°.

因?yàn)椤螧EG=90°，

所以∠AEB+∠DEG=90°.

所以∠ABE=∠DEG.

因?yàn)椤螦=∠D=90°，

所以△BAE∽△EDG.

證明至此，生1的思路受阻，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考.

師：你的想法很好，通過證明兩個(gè)三角形全等來說明邊相等.現(xiàn)在已經(jīng)證明了兩個(gè)三角形相似，只要再證明一組線段相等就可以了，怎樣證明呢？

生2：由△BAE∽△EDG，AB=AF，可以根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例來計(jì)算出AE=DG.

設(shè)AB=AF=a，DG=x，AE=y，

那么FD=x，EF=a-y.

由△BAE∽△EDG，

因?yàn)辄c(diǎn)E與點(diǎn)F不重合，所以y≠a.

所以x=y，即AE=DG.

師：生2利用相似三角形的性質(zhì)，通過計(jì)算證明了AE=DG.

學(xué)生為什么會(huì)這樣思考呢？由于受到圖形特征的暗示，先想到證明△BAE≌△EDG，然而此題要證明這兩個(gè)三角形全等，卻頗費(fèi)周折，有沒有其他方法呢？

師：除了證明△BAE≌△EDG，還有其他方法嗎？

生3：可以在△ABE內(nèi)添加輔助線，構(gòu)造與△FDG全等的三角形.

師：具體怎么構(gòu)造呢？

教師巡視并指導(dǎo)，待學(xué)生完成證明后，讓一名學(xué)生講解.

生4：如圖2，在AB上取一點(diǎn)M，使BM=EF.

圖2

因?yàn)锳B=AF，

所以AM=AE，∠AME=45°.

由已知，可得∠DFG=45°.

所以∠BME=∠EFG.

又因?yàn)椤螦BE=∠DEG，

所以△BME≌△EFG.

所以ME=FG.

從而可證明△MAE≌△FDG.

得AE=DG.

師：證明三角形全等是證明線段相等的常用方法.

“全等法”是證明線段相等的常規(guī)思路，要求學(xué)生必須掌握.解題后要及時(shí)進(jìn)行反思，看看是否遺漏有價(jià)值的線索，從而分析出其他的證明方法.

2.抓住有價(jià)值的線索，探索新的解法

證明△BAE∽△EDG后，如果再證明BE=EG，就可得△BAE≌△EDG.所以證明BE=EG成為解題的另一個(gè)方向.由于∠BEG=90°，連接BG，只要證明∠BGE=45°即可說明BE=EG.已知∠BFA=45°，所以只要證明∠BGE=∠BFA即可.可以通過證明B，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共圓，再應(yīng)用同弧所對(duì)的圓周角相等證明∠BGE=∠BFA.教師引導(dǎo)學(xué)生用“分析法”尋找思路.

師：證明△BAE∽△EDG后，要證明△BAE≌△EDG，還有其他思路嗎？

圖3

生5：可以通過證明BE=EG來證明AE=DG.如圖3，連接BG，只要證明△BEG是等腰直角三角形就可以，也就是證明∠EBG=45°或 者 ∠EGB=45°.可是……

“四點(diǎn)共圓”不是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》要求的內(nèi)容，學(xué)生要想到這一點(diǎn)很難，所以思路受阻是可以理解的.如果教師進(jìn)行啟發(fā)，學(xué)生就可以順勢(shì)而為，應(yīng)用四點(diǎn)共圓來證明，這對(duì)于優(yōu)等生和中等生來說正是鍛煉思維的好機(jī)會(huì).

師：這是一個(gè)好思路，讓我們一起回到生5剛才的問題，但是怎么證明∠EBG=45°或者∠EGB=45°呢？從已知可得∠AFB=∠DFG=45°.另外，△BEG與△BFG是有公共斜邊的直角三角形，它們之間有什么聯(lián)系呢？

生6：設(shè)O為BG的中點(diǎn).因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半，所以EO=FO=BO=GO.

教師提示學(xué)生畫圖，找相等的線段.此時(shí)圓已經(jīng)呼之欲出，教師啟發(fā)學(xué)生自己畫圓，此時(shí)生6補(bǔ)充這些點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

師：好.下面大家把這個(gè)圓畫出來（畫出圖形如圖4）.

圖4

四點(diǎn)共圓是學(xué)生思維的難點(diǎn)，也是解題的關(guān)鍵.教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，把圓畫出來，接下來就水到渠成了.這是一個(gè)創(chuàng)造性的解法，是學(xué)生創(chuàng)造性的應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的體現(xiàn).“四點(diǎn)共圓法”讓此題的已知與未知之間巧妙地貫通起來，一步步引導(dǎo)學(xué)生解決問題.研究完問題的解法后，筆者嘗試對(duì)原題進(jìn)行改編.

二、改編為開放題，加深理解

筆者通過交換條件與結(jié)論、化靜為動(dòng)、將正方形變?yōu)榫匦蔚确绞綄?duì)原題進(jìn)行改編.改編后，原題目的解題方法是否還適用于新問題的解決呢？通過改編原題加深對(duì)問題的理解，提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)的能力.

改編1：交換條件與結(jié)論.

（1）如圖5，在矩形ABCD中，∠BEG=∠BFG=90°，BE=EG.求證：AE=DG.

（2） 如圖5，在矩形ABCD中，∠BEG= ∠BFG=90°，AE=DG.求證：BE=EG.

圖5

改編2：化靜為動(dòng).

如圖6，已知AB⊥AF于點(diǎn)A，AB=AF，點(diǎn)E為直線AF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)F重合），過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作直線EG⊥BE，F(xiàn)G⊥BF，它們交于點(diǎn)G，GD⊥AF于點(diǎn)D.

（1）如圖6（1），當(dāng)點(diǎn)E在線段AF上時(shí)，求證：AE=DG.

（2）如圖6（2），當(dāng)點(diǎn)E在線段AF的延長線上時(shí)，AE與DG相等嗎？試說明理由.

（3）如圖6（3），當(dāng)點(diǎn)E在線段AF的反向延長線上時(shí)，在圖中畫出圖形，猜想AE與DG的大小關(guān)系，并說明理由.

圖6

改編3：一般化.

如果把改編2中的“AB=AF”改成“AB=mAF”，其他條件不變，則AE與DG的大小有什么關(guān)系呢？試說明理由.

點(diǎn)E在直線l上運(yùn)動(dòng)后，圖形的形狀發(fā)生了改變.通過證明三角形全等和四點(diǎn)共圓同樣能證明該問題，具體解法在此不做贅述.

改編后的幾何探究題對(duì)于知識(shí)的應(yīng)用更加綜合了.解題中學(xué)生體會(huì)了知識(shí)方法的遷移、分類討論思想，以及類比思想方法的應(yīng)用，體驗(yàn)在運(yùn)動(dòng)中尋找不變的關(guān)系，達(dá)到知識(shí)應(yīng)用的融會(huì)貫通，從而對(duì)原題目的理解更加深刻.如果把幾何圖形放到平面直角坐標(biāo)系中，構(gòu)建函數(shù)模型來研究圖形的運(yùn)動(dòng)，又能觀察到什么變化呢？

三、建構(gòu)函數(shù)模型解決問題，揭示本質(zhì)

運(yùn)動(dòng)變化是分類討論的原因，而初中函數(shù)知識(shí)也是研究運(yùn)動(dòng)的，所以可以把圖形置于平面直角坐標(biāo)系中，通過建立函數(shù)模型來研究該問題.于是筆者將問題改編如下.

圖7

改編4：如圖7，已知AB⊥直線l于點(diǎn)A，AB=a（a是常數(shù)，且a＞0），點(diǎn)E是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EG⊥BE，BE=mEG（m是常數(shù)，且m＞0），當(dāng)點(diǎn)E在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的軌跡是什么？并說明理由.

解此題的基本思路是建立平面直角坐標(biāo)系，先通過作圖探求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為G(x，y)，通過相似三角形的知識(shí)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，再驗(yàn)證猜想.

師：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G的軌跡是什么？同學(xué)們是怎么思考的？

生1：可以畫出滿足已知條件的一些點(diǎn)G，看看運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？

師：好方法！請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈辉?

生2：我畫圖后發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G形成的軌跡應(yīng)該是一條直線（所作圖形略）.

師：我們已經(jīng)通過畫散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡可能是一條直線，接下來就是進(jìn)行證明.如果把圖形置于平面直角坐標(biāo)系中，大家認(rèn)為坐標(biāo)系應(yīng)該怎樣建立呢？

生3：如圖8，分別以直線l、線段AB所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

師：設(shè)圖8中點(diǎn)G的坐標(biāo)為G(x，y)，你能求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式嗎？如果再設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為E(t，0 )呢？

圖8

生4：在圖8中，過點(diǎn)G作GD⊥Ox，由△BAE∽△EDG，得.所以.化簡得到.因?yàn)閙，a都是不為0的常數(shù)，所以也是不為0的常數(shù).所以y是關(guān)于x的一次函數(shù)，所以點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線.

顯然這個(gè)解答還存在一些問題，因?yàn)槭軋D形的暗示，沒有從動(dòng)態(tài)思維去看點(diǎn)G的位置，當(dāng)點(diǎn)G在第三象限或者第四象限時(shí)，線段AE，ED，DG長度的代數(shù)式是不同的，需要分類討論.

師：生4應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)求出了函數(shù)關(guān)系式，判斷了點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，這就是對(duì)函數(shù)思想方法的應(yīng)用.對(duì)于這樣的推理過程，同學(xué)們有沒有補(bǔ)充呢？

教師運(yùn)用幾何畫板軟件演示，點(diǎn)G分別在第三、四象限時(shí)停頓，就是圖9，圖10情形.

圖9

圖10

生5：我認(rèn)為需要分類討論，當(dāng)點(diǎn)G分別在第三、四象限時(shí)，比例式中這些線段的長度發(fā)生了變化，所以當(dāng)點(diǎn)G分別在第三、四象限時(shí)需要重新計(jì)算.

師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們分別畫圖計(jì)算.

教師巡視課堂，指導(dǎo)學(xué)生作圖，推理計(jì)算，然后請(qǐng)一名學(xué)生進(jìn)行歸納.

生6：當(dāng)點(diǎn)G在第三象限時(shí)（如圖9），得.化簡得.當(dāng)點(diǎn)G在第四象限時(shí)（如圖10），過點(diǎn)G作GD⊥Ox，由已知可證得△BAE∽△EDG，所以.得m.化簡得.得到與圖9一樣的函數(shù)關(guān)系式.

師：同學(xué)們考慮得很全面.改編4是把幾何圖形放在平面直角坐標(biāo)系中，通過坐標(biāo)來研究圖形中的點(diǎn)、線段和角的關(guān)系，這是一種重要的數(shù)形結(jié)合的方法.下面我們應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)再做一些分析，看看能夠得到什么結(jié)論？

生7：由直線的解析式可以求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，與x軸、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別是

為了啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，教師畫出這條直線（如圖11），并標(biāo)上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

師：請(qǐng)同學(xué)們求出點(diǎn)E的坐標(biāo)及線段AF，ED，DG的長，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖11

生8：由，可以得AF=，ED=x-所以AF=ED.

通過應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了一個(gè)重要的結(jié)論，即圖形中存在一個(gè)不變的等量關(guān)系A(chǔ)F=ED.

師：那么當(dāng)點(diǎn)G分別在第三、四象限時(shí)候（圖12，圖13的情形），結(jié)論還成立嗎？你還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

圖12

圖13

生9：結(jié)論成立.我發(fā)現(xiàn)求出函數(shù)解析式后，圖形中的線段長度都可以用代數(shù)式表示.當(dāng)m=1時(shí)，就是剛開始研究的習(xí)題；當(dāng)m≠1時(shí)，就是后面的改編題；而且它們之間是可以聯(lián)系起來的，就是特殊與一般的關(guān)系.

師：生9總結(jié)的很到位.回顧整個(gè)解題、改編習(xí)題的過程，證明線段相等或者倍分關(guān)系，構(gòu)造全等三角形或者相似三角形是基本方法；把幾何圖形放到平面直角坐標(biāo)系中，建立函數(shù)模型，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解，為解題確立了一個(gè)新的方向，應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)，揭示了習(xí)題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)了重要的結(jié)論，而且可以把這些習(xí)題聯(lián)系并且統(tǒng)一起來.

四、反思

習(xí)題的研究應(yīng)當(dāng)從解法開始，探索符合學(xué)生認(rèn)知水平和思維習(xí)慣的解題方法，并歸納出通性、通法，如原題中的證明三角形全等或者三角形相似.教學(xué)中要求學(xué)生必須掌握這些基本方法，這是教學(xué)的重點(diǎn)所在.同時(shí)教師要精心設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，自己發(fā)現(xiàn)解法，動(dòng)筆畫圖、大膽發(fā)言，以及推理計(jì)算等.

解題后要進(jìn)行反思，進(jìn)行一題多解或者改編.如原題根據(jù)證明△BEG是等腰三角形，從而發(fā)現(xiàn)了四點(diǎn)共圓法，讓解題找到了新的方向，也創(chuàng)造性的應(yīng)用了圓的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力.改編原題，如通過交換原題的條件與結(jié)論、把原題改編為開放題、一般化問題等方式，培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)、探索問題的能力.

教師可以對(duì)原題做更深入的研究，進(jìn)而揭示題目的本質(zhì).例如，改編4中，在幾何圖形中建立直角坐標(biāo)系，構(gòu)造一次函數(shù)模型研究題目，既應(yīng)用了相似三角形性質(zhì)和一次函數(shù)的知識(shí)，并用代數(shù)方法解決幾何問題，又揭示了問題本質(zhì).同時(shí)也可以把各題統(tǒng)一起來，把初中的一些主干知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法結(jié)合起來.一方面，為學(xué)生滲透了用函數(shù)思想研究幾何問題的方法，與高中解析幾何銜接起來；另一方面，應(yīng)用習(xí)題研究成果進(jìn)行培優(yōu)，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和解決問題的能力，讓不同的學(xué)生得到充分的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)高效的課堂教學(xué).