揭示問題本質(zhì) 發(fā)展數(shù)學(xué)思維
——從一類幾何最值問題的變式教學(xué)研究談起

黃悅軍

（廣東省深圳市龍崗區(qū)坪地中學(xué)）

變式教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中常采用的方法.變式教學(xué)過程中對(duì)數(shù)學(xué)基本思想的滲透，可以促進(jìn)學(xué)生思維結(jié)構(gòu)和思維能力的提高，是一種思維訓(xùn)練的有力工具，有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、問題提出

題目1如圖1，在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點(diǎn)，把一個(gè)三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處，以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點(diǎn)A，B.連接AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，△AOB的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，說明理由.

圖1

圖2

解析：如圖2，連接MO，易證得△MAO≌△MBQ（ASA）.從而有OA=BQ.因而△AOB的周長(zhǎng)為OA+OB+AB=OQ+AB=4+AB.注意到△MAB是等腰直角三角形，易知當(dāng)MB⊥OQ時(shí)，MB最短，AB最短.此時(shí)△AOB的周長(zhǎng)為.

題目2如圖3，E，F(xiàn)分別是邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中BC，CD邊上的點(diǎn)，∠B=∠EAF=60°，探究：△AEF的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，說明理由.

圖3

圖4

解析：如圖4，連接AC，易證得△ABE≌△ACF（ASA）.從而有AE=AF.因此△AEF為等邊三角形.因而△AEF的周長(zhǎng)為3AE.易知當(dāng)AE⊥BC時(shí)，AE最短.此時(shí)△AEF的周長(zhǎng)為6 3.

可以看出，在題目1中，三角板在繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)的過程中，有以下結(jié)論：①△MAB始終是等腰三角形；②△MAB與△MOQ相似；③四邊形OAMB的面積始終保持不變，是△POQ面積的一半，因而當(dāng)△MAB面積有最小值時(shí)，△AOB的面積有最大值.

在題目2中，將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，類似于題目1中的三個(gè)結(jié)論依舊成立.雖然題目背景改變，但是結(jié)論不變，在變與不變中展示了幾何的魅力.對(duì)于題目1的解答，在證明OA+OB=4后，另一種方法是由勾股定理可知，利用OA（或者OB）表示AB的長(zhǎng)，從二次函數(shù)的角度來(lái)考查線段AB的最值問題，但這種方法在題目2中不適用，不是一種通法.

題目1和題目2的條件簡(jiǎn)單，結(jié)論優(yōu)美，具有典型性和拓展性，在結(jié)論和解決問題的方法上均高度一致.依據(jù)此特點(diǎn)，筆者對(duì)題目進(jìn)行如下變式研究.

二、推廣與變式

推廣：如圖5，直線l是線段AC的垂直平分線，點(diǎn)B是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)B不在線段AC上），將△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使得BC與BA重合，點(diǎn)D，E是分別是線段A′A和線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持∠DBE=∠ABC，試探究△DAE的周長(zhǎng)和面積的最值情況.

圖5

可以看出，對(duì)于題目1中的三個(gè)結(jié)論，在推廣題目中依舊成立.特別地，當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，推廣問題即為題目1；當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，即為題目2的形式.原問題的推廣抓住了數(shù)學(xué)本質(zhì)，由特殊角到一般角，體現(xiàn)了從具體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

變式1：如圖6，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是線段BC上的一點(diǎn)，∠ADE=75°，AD=AE，M，N分別是線段CD和線段DE上（不含端點(diǎn)）的任意兩點(diǎn)，且AM=AN.

（1）求∠MAN的度數(shù)；

（2）若AD=2，求四邊形AMDN的面積.

圖6

圖7

解析：（1）如圖7，過點(diǎn)A作AG⊥DE于點(diǎn)G，易證得 Rt△ACM≌Rt△AGN. 因此 ∠CAM=∠GAN. 所以∠MAN=∠MAG+∠GAN=∠MAG+∠CAM=∠CAG=30°.

（2）由AD=2，易求得△ADE的面積為1.由問題推廣的結(jié)論可知，四邊形AMDN的面積等于△ADE的面積，故四邊形AMDN的面積為1.

變式1是問題推廣中△ABC的頂角為30°的情況.變式1中的條件AM=AN恰好是問題推廣中的結(jié)論.將條件和結(jié)論互換，解決問題的方法不變.基于變式1第（1）小題的解決易知，四邊形AMDN的面積為△ACD面積的兩倍，若能求出△ACD的面積，即可知四邊形AMDN的面積.但條件只給出了斜邊AD的長(zhǎng)，用含15°角的三角函數(shù)值不好求出面積，因而只能轉(zhuǎn)化為求△ADE的面積.第（2）小題在解決方案的選擇上，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、演繹推理等數(shù)學(xué)思想.

變式2：如圖8，邊長(zhǎng)為3的等邊三角形ODC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸正半軸上，F(xiàn)，G分別是邊OC和邊OD上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)E是△ODC的內(nèi)心，連接GE，EF，∠GEF=120°.

圖8

（1）連接GF，求△OGF周長(zhǎng)的最小值；

（2）連接GF，求△OGF面積的最大值；

（3）在邊OD和邊OC上是否存在點(diǎn)P，使得以G，E，F(xiàn)，P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形構(gòu)成菱形.若存在，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

解析：對(duì)于第（1）（2）小題，當(dāng)GE⊥OD，EF⊥OC時(shí)，△OGF周長(zhǎng)有最小值，其面積有最大值，即可得到結(jié)論.

對(duì)于第（3）小題，如圖9，若點(diǎn)P在線段OC上，此時(shí)GE∥OC，延長(zhǎng)GE交DC于點(diǎn)I，易證明此時(shí)OP=PF=FC.得點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(1，0).

圖9

圖10

如圖10，若點(diǎn)P在線段OD上，此時(shí)EF∥OD，得OP=1，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

在問題推廣中，當(dāng)∠BAC=30°時(shí)，即為此變式.變式2的第（1）小題和第（2）小題其實(shí)是在平面直角坐標(biāo)系背景下對(duì)題目1和題目2的變式，解決問題的方法不變.第（3）小題的呈現(xiàn)方式體現(xiàn)了漸進(jìn)性，充分利用題目1中得到的結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生在探索中思考解決問題的途徑，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

三、變式教學(xué)與數(shù)學(xué)思維發(fā)展

變式教學(xué)是指在教學(xué)過程中，對(duì)概念、性質(zhì)、定理、公式，以及問題，從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景等非本質(zhì)特征進(jìn)行變更，而本質(zhì)特征不變，以突出數(shù)學(xué)本質(zhì)特征而進(jìn)行的教學(xué).在數(shù)學(xué)題目的變式過程中，需要在具體和特殊的、有序變化的情境中，用比較、歸納等方法認(rèn)識(shí)相關(guān)問題的差異性和共性，抽象出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，建立抽象化和一般化的數(shù)學(xué)模型.在此基礎(chǔ)上，再次安排變化的問題情境，讓學(xué)生在理解和把握數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的基礎(chǔ)上，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)靈活解決問題.以上問題的變式探究中，思維的發(fā)展過程和涉及的數(shù)學(xué)基本思想如圖11所示.

圖11

在解答完題目1和題目2后，除了對(duì)解法進(jìn)行回顧與反思，為了使學(xué)生能進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)兩者之間的共性，可以設(shè)置以下問題，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作.

（1）若題目1中∠AMB≠90°，結(jié)論成立嗎？若題目2中∠EAF≠60°，結(jié)論成立嗎？

（2）若題目1中 ∠AMB=90°，∠OMQ≠90°，結(jié)論成立嗎？若題目2中 ∠EAF=60°，∠CAD≠60°，結(jié)論成立嗎？

（3）若題目1中OM≠M(fèi)Q，結(jié)論成立嗎？若題目2中CA≠AD，結(jié)論成立嗎？

（4）若題目1中∠POM≠∠MOQ，結(jié)論成立嗎？若題目2中∠BCA≠∠ACD，結(jié)論成立嗎？

學(xué)生通過對(duì)以上問題的思考和動(dòng)手操作，能更好地類比和歸納出題目1和題目2之間的共性，使學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性、全面性得到發(fā)展.

在學(xué)生經(jīng)歷抽象和建模得出問題的本質(zhì)之后，教師可以引導(dǎo)他們利用已知的數(shù)學(xué)模型自己出題，在此過程中讓學(xué)生理解此模型的特點(diǎn).在運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)建模的過程中，多次經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程，發(fā)展學(xué)生思維的創(chuàng)造性，體驗(yàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造帶來(lái)的喜悅.教師給出變式1和變式2，增加和改變具體情境中的背景，讓學(xué)生模仿熟悉的數(shù)學(xué)建模過程解決問題，多次體驗(yàn)和經(jīng)歷真實(shí)的數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步深刻理解問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)而發(fā)展思維的綜合性和靈活性，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

四、教學(xué)啟示

變式教學(xué)對(duì)于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)的有效性、領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的美感能夠起到積極的作用，同時(shí)也能培養(yǎng)他們靈活應(yīng)用知識(shí)的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).對(duì)于如何在變式教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，筆者有以下三點(diǎn)感悟.

1.重視對(duì)教材資源的深度挖掘

選題是變式教學(xué)的關(guān)鍵.教材是數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)載體，是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的具體體現(xiàn)，也是學(xué)生獲得知識(shí)的主要來(lái)源和教師教學(xué)的主要依據(jù).教材中的例、習(xí)題具有典范性、拓展性和研究?jī)r(jià)值，對(duì)這些問題進(jìn)行變式訓(xùn)練和挖掘拓展，有利于啟發(fā)學(xué)生多角度地思考問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

2.重視解題后的回顧與反思

波利亞在《怎樣解題》一書中分解了數(shù)學(xué)解題的思維過程，得到了“怎樣解題表”，包括弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃，回顧與反思四個(gè)步驟.教師在教學(xué)中往往只關(guān)注解題表中的前三個(gè)步驟，經(jīng)常忽略第四個(gè)步驟.研究表明，通過解題后的回顧與反思來(lái)改編、引申和推廣問題，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題與問題之間、方法與方法之間、概念與概念之間、體系與體系之間的包含關(guān)系、相似關(guān)系、相聯(lián)關(guān)系等，并進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部之間各種各樣的有機(jī)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).解題之后進(jìn)行推廣引申，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，還能幫助學(xué)生洞察本質(zhì)，提高認(rèn)識(shí).

題目1和題目2的類比和歸納正是關(guān)鍵性的回顧與反思環(huán)節(jié)，通過類比和歸納，可以發(fā)現(xiàn)兩者在解法上高度統(tǒng)一，這就揭示了它們背后隱藏著本質(zhì)的聯(lián)系.解題后的回顧與反思不僅僅提供找到更簡(jiǎn)單解答的可能性，它還能讓學(xué)生體驗(yàn)到如何提出數(shù)學(xué)問題，體驗(yàn)到真正“做數(shù)學(xué)”的味道.在得出問題推廣后，教師讓學(xué)生自己動(dòng)手出題，這是再一次回顧與反思.學(xué)生需要根據(jù)模型的特點(diǎn)，設(shè)置具體化的情境，并利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)，該過程既發(fā)展了學(xué)生思維的靈活性和綜合性，又讓學(xué)生體會(huì)到“做數(shù)學(xué)”的樂趣.

3.重視學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本原與根基.在建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系框架與積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上形成數(shù)學(xué)技能，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù).在課堂上，教師通過例題和習(xí)題揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu).當(dāng)學(xué)生的思維發(fā)展還不夠深刻時(shí)，單純依靠教師的講解往往效果不佳.例如，在題目1和題目2的歸納中，若學(xué)生無(wú)法歸納、類比出兩者的共性，就需要教師搭建腳手架，讓學(xué)生自己動(dòng)手操作體驗(yàn)，在得出問題推廣后，讓學(xué)生自己出題，進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造，通過多種途徑的思辨活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生理解和發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì).