設(shè)問—碰撞—提煉，積累數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)
——以一節(jié)幾何復(fù)習(xí)課為例

張萬梅

（廣東省中山市黃圃鎮(zhèn)中學(xué)）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）在傳統(tǒng)“雙基”基礎(chǔ)上，新增了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本思想，即提出了“四基”.根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要獲得必需的知識(shí)和技能，還要在學(xué)習(xí)過程中積累經(jīng)驗(yàn)，獲得數(shù)學(xué)思想和解決問題的能力.幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的結(jié)果.

在實(shí)際教學(xué)中，一提到數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)或數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)常被認(rèn)為是讓課堂熱鬧起來、讓學(xué)生操作起來.所以，教師開設(shè)公開課喜歡講授新課，特別是在一些探究課中，讓學(xué)生動(dòng)手操作，認(rèn)為這才能體現(xiàn)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)包括思維的經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，任何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)最后都必須促成思維的發(fā)展.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在“做”的過程和“思考”的過程中沉淀，是在學(xué)習(xí)活動(dòng)中逐步積累的.復(fù)習(xí)課在數(shù)學(xué)教學(xué)中占了不小的比例，如何讓復(fù)習(xí)課從廣度和深度上達(dá)成目標(biāo)？如何讓復(fù)習(xí)課更好地成為積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的土壤？筆者以培養(yǎng)初中學(xué)生邏輯能力的起始章“相交線與平行線”的一節(jié)復(fù)習(xí)課為例，談?wù)勛约旱恼n堂實(shí)踐.在復(fù)習(xí)“相交線與平行線”的第2課時(shí)，設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)是復(fù)習(xí)平行線的判定和性質(zhì)，靈活應(yīng)用平行線的性質(zhì)，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和演繹推理的思維能力.

一、巧設(shè)問，提供思維空間

問題1：如圖1，要說明AB∥CD，需要什么條件？試把所有可能的情況寫出來，并說明理由.

圖1

【設(shè)計(jì)意圖】平行線的判定有以下幾點(diǎn)：兩條直線被第三條直線所截形成的同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.在這個(gè)問題中，找出截線很重要，直線AB和CD的截線有三條，考慮不同的截線，觀察不同位置關(guān)系的角，可以得到不同的條件.問題1需要學(xué)生分情況考慮、全面觀察，發(fā)現(xiàn)各種位置關(guān)系的角，通過復(fù)習(xí)平行線的三種判定方法，積累分類討論思想，鞏固判定依據(jù)的說理.

問題2：如圖2，已知AB∥CD，試說明∠B，∠D與∠BPD的關(guān)系.

圖2

【設(shè)計(jì)意圖】解決這個(gè)問題需要建立兩平行線的聯(lián)系，需要知道第三條直線即截線.問題2中沒有給出已知的明顯的截線，需要作輔助線.由于兩平行線間有兩條折線，建立截線的方法就有很多種，鞏固學(xué)生對(duì)平行線的傳遞性、性質(zhì)和三角形內(nèi)角和知識(shí)的掌握，培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理及論證表述能力.

問題3：如圖3，已知AB∥CD，∠ABF=∠DCE.試說明∠BFE=∠FEC.

圖3

【設(shè)計(jì)意圖】問題3是對(duì)問題2的變式和拓展.兩平行線間有兩個(gè)轉(zhuǎn)折角，需要學(xué)生用到解決圖2的基本圖形的思想方法，可以再構(gòu)造出兩條平行線，也可以延長(zhǎng)折線構(gòu)成截線，也可以直接加截線建立兩平行線的聯(lián)系.此題需要學(xué)生具有較強(qiáng)的幾何直觀和對(duì)已學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力.設(shè)置此題意在發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維和較強(qiáng)的對(duì)基本圖形的把握能力.

二、說思路，產(chǎn)生思維碰撞

教學(xué)片斷1：?jiǎn)栴}1采用的是學(xué)生輪流回答的方式教學(xué).

生1：可以是∠FEC=∠FAB.

師：依據(jù)是什么？

生1：它們是同位角.同位角相等，兩直線平行.

師：截線是哪一條？

生1：它們被AF所截.

師：好，下一位同學(xué).

生2：可以是∠DEA=∠FAB，因?yàn)樗鼈兪莾?nèi)錯(cuò)角.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

生3：可以是∠D+∠DAB=180°，因?yàn)樗鼈兪侵本€AB和CD被直線AD所截的同旁內(nèi)角.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

師：非常好！表達(dá)得很完整.下一位同學(xué)，還有其他情況嗎？

生4：當(dāng)∠FCE=∠FBA時(shí)，AB∥CD.因?yàn)橥唤窍嗟?，兩直線平行，截線是FB.

生5：當(dāng)∠DCB+∠B=180°時(shí)，AB∥CD.因?yàn)橥詢?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

師：很好，已經(jīng)五種情況了，還有嗎？

生6：∠CEA+∠EAB=180°也可以說明AB∥CD.因?yàn)樗鼈兪侵本€AB和CD被AF所截的同旁內(nèi)角.

師：所以直線AB和CD被AF所截時(shí)，同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角都有形成，三種情況都可以.還有其他情況嗎？

生7：還有很多.如∠D=∠ECF，很明顯它們是內(nèi)錯(cuò)角.

生：它們得出的平行線不是需要判定的兩條直線.

生7：哦，我看看，那就沒有了.

師：所以當(dāng)圖形不止出現(xiàn)三條直線時(shí)，判定平行線需要確定好截線，看清楚是否是我們要判定的兩條直線.

教學(xué)后記：對(duì)于平行線的性質(zhì)和判定，當(dāng)只有三條直線時(shí)，同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角很容易識(shí)別出來，兩條平行線也能一下“看”出來.但當(dāng)圖形出現(xiàn)不止三條線，需要對(duì)平行線進(jìn)行判定時(shí)，要明確所要判定的兩直線和截線，再去發(fā)現(xiàn)基本圖形.課堂教學(xué)時(shí)，在提問環(huán)節(jié)課堂氣氛比較緊張，因?yàn)樵酵筮M(jìn)行，可回答的情況越少，學(xué)生需要對(duì)已出現(xiàn)的情況進(jìn)行識(shí)別和排除，再去補(bǔ)充不同的選擇.又因?yàn)閱栴}設(shè)置難度不大，是學(xué)生比較熟悉的，所以學(xué)生對(duì)基本圖形的識(shí)別較容易.從圖形上看還有平行線AD和BF，給部分學(xué)生造成一定的迷惑，也在學(xué)生思維上產(chǎn)生了一定的沖擊.在這個(gè)過程中，學(xué)生的思維活動(dòng)非常激烈，不斷識(shí)別和排除、自我否定和重新建構(gòu).

教學(xué)片斷2：?jiǎn)栴}2采用的是全體學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行演繹推理，書寫完整過程，再投影分析不同的解答.下面是學(xué)生出現(xiàn)的幾種解答方法.

解：（方法1）如圖4，過點(diǎn)P作AB的平行線EF，

因?yàn)锳B∥CD，AB∥EF，

所以EF∥CD.

所以∠B=∠1，∠D=∠2.

所以∠B+∠D=∠1+∠2=∠BPD.

圖4

圖5

（方法2）如圖5，延長(zhǎng)DP交AB于點(diǎn)E，

因?yàn)锳B∥CD，

所以∠D=∠1.

所以∠B+∠1=∠2.

所以∠2=∠B+∠D，即∠BPD=∠B+∠D.

（方法3）如圖6，過點(diǎn)P作CD的垂線，交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，

因?yàn)锳B∥CD，EF⊥CD，

所以AB⊥EF.

所以∠BEP=∠PFD=90°.

所以∠B+∠1=∠2+∠D=90°.

改革實(shí)施后發(fā)現(xiàn)學(xué)生參與設(shè)計(jì)的熱情高、進(jìn)度快，設(shè)計(jì)報(bào)告整體上更加規(guī)范、完整，由于參與度高學(xué)生們基本都寫出了較為深刻的心得體會(huì)，杜絕了雷同報(bào)告，由于細(xì)化了平時(shí)成績(jī)的考核，組員間的成績(jī)區(qū)分度好，體現(xiàn)了評(píng)價(jià)指標(biāo)中的差異性。教學(xué)實(shí)踐表明：這種“以學(xué)生為中心”的教學(xué)模式，結(jié)合任務(wù)型教學(xué)和討論法相結(jié)合的教學(xué)方式，以及關(guān)注過程管理的綜合成績(jī)?cè)u(píng)定方法提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和參與度，形成了良好的互助互學(xué)的學(xué)習(xí)氛圍，在學(xué)生鞏固專業(yè)知識(shí)的基礎(chǔ)上，提高了學(xué)生的工程實(shí)踐能力。

所以∠B+∠1+∠2+∠D=180°.

又因?yàn)椤?+∠2+∠3=180°.

所以∠3=∠B+∠D，即∠BPD=∠B+∠D.

圖6

圖7

（方法4）如圖7，連接BD，

因?yàn)锳B∥CD，

所以∠ABD+∠BDC=180°，

即∠3+∠1+∠2+∠4=180°.

又因?yàn)椤?+∠2+∠P=180°，

所以∠3+∠4=∠P.

教學(xué)后記：對(duì)于平行線中轉(zhuǎn)折角問題的處理，大部分學(xué)生易于接受方法1，即在轉(zhuǎn)折點(diǎn)處添加平行線，從而構(gòu)造出特殊位置的角，為解決問題搭橋鋪路.在演繹推理的過程中，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，一是作輔助線的表達(dá)，如過點(diǎn)P作AB的平行線EF或過點(diǎn)P作直線EF∥AB，要求非常簡(jiǎn)潔而準(zhǔn)確、科學(xué)的表達(dá)，使學(xué)生對(duì)圖形語言和文字語言、符號(hào)語言的相互轉(zhuǎn)換經(jīng)驗(yàn)得到加強(qiáng)和積累；二是圖形“告訴”的并非全部，所作的輔助線EF是與AB平行，但EF與CD也平行是需要通過平行的傳遞性來證明的，也是部分學(xué)生經(jīng)常漏掉的步驟，所以這里再次考查積累數(shù)學(xué)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S經(jīng)驗(yàn).對(duì)圖形信息能夠綜合分析處理的學(xué)生樂于嘗試其他的方法，他們對(duì)幾何圖形的性質(zhì)非常熟悉，能夠靈活轉(zhuǎn)換，發(fā)散思維得到訓(xùn)練.

教學(xué)片斷3：?jiǎn)栴}3是讓學(xué)生代表做思路點(diǎn)撥，再由其他學(xué)生簡(jiǎn)述推理過程.一開始學(xué)生獨(dú)立思考，最先出現(xiàn)的思路是如下幾種.

思路1（如圖8）是利用平行線的傳遞性將已知平行線聯(lián)系起來，與圖4類似；思路2（如圖9）與思路3（如圖10）都是延長(zhǎng)兩平行線間的折線將截線顯性化，與圖5類似；思路4（如圖11）是利用特殊點(diǎn)建立新的截線，與圖7類似.在學(xué)生分析這幾種思路后，有學(xué)生提出了思路5（如圖12），輔助線與圖6相同，但在具體推理過程中又出現(xiàn)不同的思維，有的用三角形內(nèi)角和及平角的定義，有的用三角形內(nèi)角和得出角相等，繼而轉(zhuǎn)化為同位角相等.當(dāng)教師在課堂指出“剛才的全部方法都是利用兩平行線間的特殊線或點(diǎn)作出平行線或截線”，馬上有學(xué)生發(fā)出這樣的疑問“在不是特殊位置作的截線可不可以呢？”然后由其中一位學(xué)生在黑板畫圖，得出思路6（如圖13），其他學(xué)生通過觀察分析，發(fā)現(xiàn)也可以利用三角形內(nèi)角和得出角相等，通過對(duì)頂角等量代換，得出BF與CE平行，再由內(nèi)錯(cuò)角相等得證.

圖8

圖9

圖10

圖11

圖12

圖13

教學(xué)后記：思路1是大部分學(xué)生的第一思路，也是“轉(zhuǎn)折角”問題的一種基本轉(zhuǎn)化方法，思路2的出現(xiàn)最讓學(xué)生折服，原來可以轉(zhuǎn)化得這么便捷.當(dāng)討論到思路6時(shí)，學(xué)生好像恍然大悟般：原來只要一條截線將兩平行線和BF，F(xiàn)E，EC都聯(lián)系起來，可以運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定、三角形內(nèi)角和等知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得出結(jié)論.有的學(xué)生開始發(fā)出感嘆：原來幾何證明這么好玩！每想出一種新的思路就很有成就感.七年級(jí)學(xué)生在這一章要求會(huì)進(jìn)行說理和簡(jiǎn)單推理，分析完問題3后，學(xué)生對(duì)于本章的對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、垂線、平行線的判定和性質(zhì)，以及小學(xué)已知的三角形內(nèi)角和為180°進(jìn)行了靈活的運(yùn)用，對(duì)圖形語言和數(shù)學(xué)語言進(jìn)行了一次深度的解讀和轉(zhuǎn)換.下課后，有幾位學(xué)生拿著其他不同的思路與教師討論，可見，學(xué)生對(duì)幾何圖形的研究興趣已建立，學(xué)生的邏輯思維經(jīng)驗(yàn)得到積累和發(fā)展.

三、重小結(jié)，提煉思維經(jīng)驗(yàn)

1.重視教師的歸納總結(jié)

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是一個(gè)循序漸進(jìn)、層層遞進(jìn)的過程，思維經(jīng)驗(yàn)只有在學(xué)生真正參與、經(jīng)歷知識(shí)形成的過程中才能不斷積累.學(xué)生在活動(dòng)中獲得的經(jīng)驗(yàn)，起初往往是模糊、零散的，并且不易被學(xué)生直接感受到，所以這就需要教師幫助學(xué)生將學(xué)習(xí)過程中習(xí)得的這些模糊、零散的經(jīng)驗(yàn)清晰化、條理化、系統(tǒng)化，并因此留在大腦中.教學(xué)中對(duì)學(xué)生獲得的經(jīng)驗(yàn)、形成的表象要進(jìn)行分析歸納、深化應(yīng)用，形成抽象化意義的統(tǒng)一認(rèn)識(shí)，即形成思維經(jīng)驗(yàn).教學(xué)中借助學(xué)生在新知學(xué)習(xí)過程對(duì)平行線的判定和性質(zhì)、對(duì)頂角相等、三角形內(nèi)角和為180°等知識(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，在復(fù)習(xí)綜合運(yùn)用時(shí)，通過師生、生生之間的交流，將初步的感悟上升到新的高度，共同總結(jié)出平行線問題的解決關(guān)鍵是找到平行線間的聯(lián)系點(diǎn).在問題逐層解決過程中提升學(xué)生對(duì)平行線的性質(zhì)和判定的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生在總結(jié)概括中提高思維水平.

2.重視學(xué)生的反思小結(jié)

弗賴登塔爾認(rèn)為，反思是一種重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，它是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力.當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累到一定程度后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在回顧知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行深度反思.所以在課堂教學(xué)中，教師對(duì)知識(shí)進(jìn)行歸納強(qiáng)化后，要注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)反思，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行提煉、總結(jié)、提升，使之成為經(jīng)驗(yàn)并加以推廣.在此過程中，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，促使學(xué)生養(yǎng)成反思、體驗(yàn)的習(xí)慣，發(fā)展思維經(jīng)驗(yàn).思維經(jīng)驗(yàn)也是一種感悟和體驗(yàn)，在本節(jié)課的課堂教學(xué)中，教師讓學(xué)生說出每個(gè)問題解決后的感悟.例如，對(duì)問題1，有學(xué)生說“找平行的條件，一定要先明確是說明哪兩條直線平行”，針對(duì)問題2有學(xué)生說“要用平行線的性質(zhì)就要先找到或者建立第三條直線”，針對(duì)問題3有學(xué)生說“解決幾何問題，可以先考慮特殊位置、特殊點(diǎn)，輔助線的建立可以是特殊的，有時(shí)也可以一般化”.當(dāng)學(xué)生在述說自己的感悟時(shí)，思維經(jīng)驗(yàn)就已經(jīng)得到了穩(wěn)固的提升.

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