Fuzzifying拓?fù)淇臻g中的強(qiáng)半分離性

楊文華

內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，呼和浩特 010020

1 引言

1991年，文獻(xiàn)[1]提出I-Fuzzy拓?fù)涓拍畹耐瑫r(shí)也提出了I-Fuzzy拓?fù)涞奶厥馇樾巍环置骰?Fuzzifying)拓?fù)涞母拍?，并且文獻(xiàn)[1-3]用連續(xù)值邏輯LΝ1語(yǔ)義的方法建立了Fuzzifying拓?fù)鋵W(xué)的基本理論。

自從Fuzzifying拓?fù)浠纠碚撘胫螅鸵鹆藝?guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并且相繼做了許多有意義的研究，如文獻(xiàn)[4-14]等。其中，文獻(xiàn)[4]討論了分離性問(wèn)題；文獻(xiàn)[5]研究了S-分離性；文獻(xiàn)[6]利用Fuzzifying半開(kāi)集、Fuzzifying半鄰域和Fuzzifying半閉包導(dǎo)入了一種新的分離公理；文獻(xiàn)[7]以預(yù)開(kāi)集為工具引入了預(yù)分離公理；文獻(xiàn)[8]以正則開(kāi)集、R-鄰域及δ-閉包為工具導(dǎo)入了幾乎分離公理；文獻(xiàn)[10]引入了擬R0分離公理。

文獻(xiàn)[15]利用文獻(xiàn)[16]中所定義的一種新的較為合理的半開(kāi)集給出了Fuzzifying拓?fù)淇臻g中的強(qiáng)半開(kāi)集、強(qiáng)半鄰域、強(qiáng)半閉包和強(qiáng)半內(nèi)部等概念。本文將運(yùn)用連續(xù)值邏輯LΝ1語(yǔ)義的方法，在Fuzzifying拓?fù)淇臻g中以強(qiáng)半開(kāi)集、強(qiáng)半鄰域、強(qiáng)半閉包和強(qiáng)半內(nèi)部為工具引入強(qiáng)半分離公理SPTi(i=0,1,2,3,4)，并且深入討論它們的性質(zhì)及彼此間的關(guān)系。

2 預(yù)備知識(shí)

本文中，I=[0,1]，X是非空集合，A?X，Ac=X-A。

首先，列出在本文中經(jīng)常使用的關(guān)于模糊邏輯（賦值格為L(zhǎng)ukasiewicz單位區(qū)間的邏輯）的一些記號(hào)。

對(duì)任意公式φ，符號(hào)[φ]表示φ的真值，這時(shí)真值集是[0,1]。一個(gè)公式φ為重言式，記作?φ當(dāng)且僅當(dāng)[φ]=1 。

（1）[α]:=α(α∈[0,1])

（2）若 A∈2X，則[x∈A]:=A(x)。

（3）若 X 是論域，則[?xφ(x)]:=infx∈X[φ(x)]。

此外，相應(yīng)的導(dǎo)出公式有：

⑦若?A,B∈2X，則：

其次，給出本文中經(jīng)常使用的一些概念及定理。

定義1[1]若映射τ:2X→I滿(mǎn)足以下條件：

則稱(chēng)(X,τ)是Fuzzifying拓?fù)淇臻g，一元模糊謂詞τ稱(chēng)為X上的Fuzzifying拓?fù)洹?/p>

定義2[16]設(shè)(X,τ)是Fuzzifying拓?fù)淇臻g。

（1）定義一元模糊謂詞 Sτ:2X→I如下，稱(chēng) Sτ為Fuzzifying半開(kāi)集。?A∈2X

（2）定義一元模糊謂詞SCτ:2X→I如下，稱(chēng)SCτ為Fuzzifying半閉集。

（3）?x∈X，定義一元模糊謂詞Sx:2X→I如下，稱(chēng)Sx為x的Fuzzifying半鄰域系。

定義3[15]設(shè)(X,τ)是Fuzzifying拓?fù)淇臻g。A∈2X,int(A)、cl(A)、ints(A)、cls(A)分別表示 Fuzzifying拓?fù)湎翧的內(nèi)部、閉包、半內(nèi)部、半閉包。

（1）定義一元模糊謂詞SPτ:2X→I如下，稱(chēng)SPτ為Fuzzifying強(qiáng)半開(kāi)集。

其中

（2）定義一元模糊謂詞SPCτ:2X→I如下，稱(chēng)SPCτ為Fuzzifying強(qiáng)半閉集。

（3）?x∈X，定義一元模糊謂詞SPNx:2X→I如下，稱(chēng)SPNx為x的Fuzzifying強(qiáng)半鄰域系。

定義4[15]設(shè) (X,τ)是 Fuzzifying拓?fù)淇臻g，?A∈2X，A的強(qiáng)半閉包記作SPcl(A)，定義為SPcl(A)(x)=1-SPNx(Ac)；A的強(qiáng)半內(nèi)部記作SPint(A)，定義為SPint(A)(x)=SPNx(A)。

定理1[15]設(shè)(X,τ)是Fuzzifying拓?fù)淇臻g，則：

（1）SPτ(X)=SPτ(?)=1

定理2[15]設(shè)(X,τ)是Fuzzifying拓?fù)淇臻g，?A,B∈2X，則：

3 強(qiáng)半分離公理及其等價(jià)刻畫(huà)

定義5設(shè)Ω是所有Fuzzifying拓?fù)淇臻g類(lèi)，一元模糊謂詞SPT0，SPT1，SPT2，SPT3，SPT4∈IΩ分別定義如下：

定理3設(shè)(X,τ)是Fuzzifying拓?fù)淇臻g，則

證明

定理4設(shè)(X,τ)是Fuzzifying拓?fù)淇臻g，則

證明由定義3及定理2（2）知：

另一方面：

類(lèi)似的

所以

定理5設(shè)(X,τ)是Fuzzifying拓?fù)淇臻g，則

證明

定理6設(shè)(X,τ)是Fuzzifying拓?fù)淇臻g，令

證明首先證明

只需證明下面的等式成立：

下證

綜上

所以

定理7設(shè)(X,τ)是Fuzzifying拓?fù)淇臻g，令

證明首先證明

只需證明下面的等式即可：

4 強(qiáng)半分離公理間的關(guān)系

定理8設(shè)(X,τ)是Fuzzifying拓?fù)淇臻g，則

證明（1）需證。因?yàn)?/p>

所以

（2）需證[SPT2(X,τ)]≤[SPT1(X,τ)]。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，SPNx(A)=0；當(dāng)時(shí)，SPNy(B)=0，故

所以

即 [SPT2(X,τ)]≤[SPT1(X,τ)]。

（3）由（1）、（2）可知：

引理1 ?α,β∈[0,1]，則

證明分α≤β及α＞β兩種情況討論，易證。

定理9設(shè)(X,τ)是Fuzzifying拓?fù)淇臻g，則

證明只需證明

由定理4知：

于是

又由于[SPT2(X,τ)]≥0，所以

定理10設(shè)(X,τ)是Fuzzifying拓?fù)淇臻g，則

證明只需證明

即 [SPT3(X,τ)]≥[SPT4(X,τ)]+[SPT1(X,τ)]-1 。又由于[SPT3(X,τ)]≥0 ，所以

5 結(jié)論

本文主要在Fuzzifying拓?fù)淇蚣芟乱肓藦?qiáng)半分離公理SPTi(i=0,1,2,3,4)，給出了各自的等價(jià)刻畫(huà)以及它們彼此間的關(guān)系。文中運(yùn)用了連續(xù)值邏輯LΝ1語(yǔ)義的方法，所涉及到的賦值格為L(zhǎng)ukasiewicz單位區(qū)間，它是一個(gè)MV代數(shù)，所以這里就可以提出一個(gè)問(wèn)題：能否將賦值格[0,1]推廣到MV代數(shù)，甚至是正則剩余格。一方面，推廣賦值格[0,1]，那么拓?fù)淇蚣芤蚕鄳?yīng)變得更廣泛，在這個(gè)更廣泛的拓?fù)淇蚣芟卵芯繌?qiáng)半分離公理，那就需要相應(yīng)一系列的研究基礎(chǔ)；另一方面，Lukasiewicz單位區(qū)間是一個(gè)特別的MV代數(shù)，如果推廣成一般的MV代數(shù)或正則剩余格，無(wú)疑會(huì)更加的復(fù)雜，所以這個(gè)問(wèn)題能否解決還有待研究，可以作為一個(gè)思考方向。