基于解析法的變風(fēng)量空調(diào)解耦優(yōu)化控制

陳大鵬，張九根，梁 星

1.南京工業(yè)大學(xué) 電氣工程與控制科學(xué)學(xué)院，南京 211816

2.南京工業(yè)大學(xué) 建筑智能化研究所，南京 211816

1 引言

近年來，由于電子、制藥、化工等行業(yè)對產(chǎn)品質(zhì)量要求的提高，其生產(chǎn)工藝對空氣環(huán)境也提出了更高的要求[1]。變風(fēng)量（Variable Air Volume，VAV）空調(diào)能夠通過調(diào)整送風(fēng)量滿足室內(nèi)實(shí)際負(fù)荷需求，故有著較佳的節(jié)能性[2]。然而其室內(nèi)溫度控制過程具有大時滯性，并且與送風(fēng)溫度回路間存在強(qiáng)耦合關(guān)系，兩個回路相互干擾，嚴(yán)重影響室內(nèi)空氣環(huán)境的質(zhì)量[3]。因此，消除兩支回路間的耦合作用，改善其穩(wěn)定性與精度，拓展其在高環(huán)境質(zhì)量要求工業(yè)場合的應(yīng)用是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)。

目前，針對VAV空調(diào)中不同回路間的解耦控制研究已較多，其中一些對常規(guī)解耦補(bǔ)償結(jié)構(gòu)進(jìn)行了改進(jìn)，如張會[4]等從預(yù)期控制效果出發(fā)尋找開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣，使得解耦矩陣的對角元素為1，從而簡化了解耦矩陣；馮增喜[5]等將前饋補(bǔ)償與無模型自適應(yīng)控制相結(jié)合，加快了收斂速率，縮短了振蕩時間。另外一些在解耦控制回路中引入了智能算法，如李界家[6]等構(gòu)建了模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解耦控制器，有效減弱了溫濕度回路間的耦合效應(yīng)，并拓展了其自適應(yīng)能力；胡欽華[7]等以系統(tǒng)論的觀點(diǎn)將VAV系統(tǒng)劃分為若干部分，再將單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制器融入各部分進(jìn)行解耦，具有較好的實(shí)時控制效果。然而改進(jìn)補(bǔ)償結(jié)構(gòu)與引入智能算法分別存在確定參數(shù)困難與難以應(yīng)用于實(shí)際的缺陷。

本文在建立室內(nèi)溫度與送風(fēng)溫度耦合數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，利用解析法設(shè)計了一個易于物理實(shí)現(xiàn)的PID解耦控制器，不僅簡化了獲取參數(shù)的計算過程，還可定量地分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性與魯棒性。仿真結(jié)果表明，該控制器不僅能夠消除兩支回路間的耦合效應(yīng)，具備良好的控制性能，還能在模型受到不確定攝動影響時維持較大的魯棒穩(wěn)定裕度。

2 VAV空調(diào)系統(tǒng)原理與建模

2.1 系統(tǒng)原理

VAV空調(diào)通常由VAV Box、AHU及其傳輸通路、風(fēng)機(jī)盤管與控制回路構(gòu)建而成[1]，圖1為兩支控制回路結(jié)構(gòu)框圖。

圖1 VAV空調(diào)控制回路結(jié)構(gòu)圖

VAV空調(diào)系統(tǒng)在運(yùn)行期間通過調(diào)節(jié)送風(fēng)量并保證送風(fēng)溫度為一常值來改變各區(qū)域溫度，故而在對室內(nèi)溫度進(jìn)行穩(wěn)定而有效地控制同時需要維持送風(fēng)溫度恒定。然而在VAV Box調(diào)整送風(fēng)量來改變房間溫度時，區(qū)域送風(fēng)量的變化勢必改變總風(fēng)量，進(jìn)而通過換熱器又會導(dǎo)致送風(fēng)溫度波動，送風(fēng)溫度波動會繼續(xù)影響房間溫度，期間還會不斷受到外界環(huán)境影響。

2.2 送風(fēng)溫度控制回路

根據(jù)換熱器能量守恒關(guān)系[8]可得：

式（1）中，mc為換熱器質(zhì)量（kg）；Cc，Ca，Cw分別為換熱器、空氣、冷凍水的定壓比熱容(kJ/(kg?℃))；tc為換熱器表面溫度(℃)；Gs為送風(fēng)流量（kg/s）；Gw為冷凍水流量（kg/s）；tc,in,tc,out分別為換熱器進(jìn)風(fēng)與出風(fēng)溫度(℃)；tw,in,tw,out分別為換熱器進(jìn)水溫度與出水溫度(℃)。

換熱器進(jìn)風(fēng)溫度可表示為：

式（2）中，Gs,f，Gs,r分別為新風(fēng)與回風(fēng)流量（m3/s）；tc,f，tc,r分別為新風(fēng)與回風(fēng)溫度(℃)；此處假設(shè)換熱器出風(fēng)溫度與其表面一致，即tc,out=tc。

將式（2）代入式（1）中可得：通過式（3）可得tc,out與Gw間的傳函為：

由于tc,out與Gs之間的關(guān)系呈非線性，故利用Taylor展開法在工作點(diǎn)處對其作近似線性化處理，得到其傳函為：

2.3 室內(nèi)溫度控制回路

根據(jù)室內(nèi)熱平衡方程[4]可得溫度模型如式（6）所示：

式（6）中，V 為房間體積（m3）；tr為室內(nèi)溫度(℃)；ρa(bǔ)為空氣密度（kg/m3）；qr為室內(nèi)熱源的散熱量（kJ/s）；R為房間維護(hù)結(jié)構(gòu)的熱阻(kW/℃)；to為室外溫度(℃)。式（6）經(jīng)整理后可簡化為式（7）：

tr與Gs之間的傳函由兩個子項(xiàng)構(gòu)成，第一個子項(xiàng)可以在工作點(diǎn)附近利用Taylor展開法得到，即

第二個子項(xiàng)為：

因此tr與Gs之間總的傳函為：

在以上機(jī)理分析結(jié)果的基礎(chǔ)上，利用南京工業(yè)大學(xué)建筑智能化研究所內(nèi)VAV空調(diào)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺進(jìn)行階躍響應(yīng)測試。表1給出了物理參數(shù)，表2為系統(tǒng)在夏季工況下穩(wěn)定運(yùn)行期間所測變量數(shù)據(jù)，結(jié)合表1的物理參數(shù)，最終獲得耦合對象的傳函模型矩陣如式（13）所示：

表1 物理參數(shù)

表2 夏季工況下實(shí)驗(yàn)測得數(shù)據(jù)

3 解耦設(shè)計分析

為了解決上章所述VAV空調(diào)中室內(nèi)溫度與送風(fēng)溫度兩支回路間的耦合問題，利用解析法定量地對其進(jìn)行解耦控制設(shè)計，其結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 解析解耦控制結(jié)構(gòu)圖

若將G-1(s)與C(s)表述為一個對角陣與一個非對角陣相加的形式，即

再將式（15）與（16）代入式（14）可得：

從式（17）可以看出，通過H1(s)已經(jīng)能夠無耦合地分別控制兩支回路，而H2(s)中卻仍然包含一個帶有耦合性質(zhì)的乘積矩陣，如果令

顯然僅通過M(s)就能夠反映出兩支回路間的耦合情況，而若要實(shí)現(xiàn)輸出響應(yīng)完全解耦，則只需令M(s)為0即可，進(jìn)而可以解得：

再將式（19）與（20）代入 H1(s)中能夠得到式（21）：

從式（21）可以看出，若已能夠確定解耦之后所期望得到的對角閉環(huán)傳函陣H(s)，即h11(s)與h22(s)已知，則可以反求出c11(s)與c22(s)分別如式（22）與（23）所示：

由此，最終可以用式（24）來表述解耦控制器矩陣。

4 解耦控制器設(shè)計

4.1 構(gòu)建期望對角閉環(huán)傳函陣

由于直接對包含大時滯環(huán)節(jié)的傳函陣G(s)求逆會令計算過程尤為復(fù)雜，因此通過建立式（25）可以簡化表述 G-1(s)中各元素

式（26）中：

xk(k=1,2,…,l)為分布在復(fù)右半平面的極點(diǎn)，l為極點(diǎn)總數(shù)，r為各極點(diǎn)的重數(shù)，q為低通濾波器的階次，通常一階濾波器相對而言是反饋濾波器中性能最佳的[9]，φj為濾波器時間常數(shù)，是唯一附加的調(diào)節(jié)變量，用以改變輸出響應(yīng)的追蹤速率，同時也能夠反映出魯棒穩(wěn)定性與動態(tài)性能間的折中特性。

4.2 確定參數(shù)形式

將上節(jié)中構(gòu)建的期望傳函陣H(s)以及通過簡化計算后得到的 G-1(s)中各元素代入式（24）中，能夠得到理想的解耦控制器矩陣的待定系數(shù)形式如式（27）所示：

顯然式（27）所描述的控制器矩陣中同時含有高階有理項(xiàng)與大延遲項(xiàng)，幾乎無法應(yīng)用于實(shí)際過程中，故可以考慮對其做逼近處理將其轉(zhuǎn)換成PID形式。首先利用勞斯降階[10]將cij中高階有理項(xiàng)轉(zhuǎn)換為一階慣性環(huán)節(jié)：

再通過一階帕德近似[11]消除大延遲項(xiàng)，即

在連續(xù)時間域中，常規(guī)PID控制器的算法[12]如式（30）所示：

式（31）中，Kp為比例系數(shù)，Ti為積分時間常數(shù)，Td為微分時間常數(shù)，Tf為低通濾波器時間常數(shù)。結(jié)合式（28）～（30）可以確定解耦控制器矩陣的PID形式如式（31）所示：

4.3 整定參數(shù)

在設(shè)計解耦控制器時必須著重考慮參數(shù)獲取過程中系統(tǒng)的穩(wěn)定性與魯棒穩(wěn)定性，并以此為前提進(jìn)一步考慮其他動態(tài)響應(yīng)性能，而在采用解析法時只需要改變一個調(diào)節(jié)變量，故而可以簡化獲取過程。

4.3.1 穩(wěn)定性

由于待解耦回路的閉環(huán)傳函陣中包含多個延遲環(huán)節(jié)，若依據(jù)其極點(diǎn)分布位置來判斷穩(wěn)定性會尤為復(fù)雜，因此將圖2所示控制結(jié)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)換后如圖3所示。

圖3 等價控制結(jié)構(gòu)

經(jīng)過化簡后可得：

則在整定參數(shù)過程中根據(jù)文獻(xiàn)[13]，若要使含有大延遲環(huán)節(jié)的雙入雙出PID單位反饋系統(tǒng)維持穩(wěn)定，只需要滿足以下兩個條件：

（1）式（32）中每一個傳函的極點(diǎn)都分布于復(fù)左半平面。

4.3.2 魯棒穩(wěn)定性

若δin與δout分別代表輸入與輸出不確定性，同樣將包含δin與δout的控制系統(tǒng)按圖3所示結(jié)構(gòu)進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換，簡化后則可以得到帶有輸入與輸出不確定性的閉環(huán)傳函陣Fin與Fout，即：

則根據(jù)文獻(xiàn)[14]，該系統(tǒng)是否維持魯棒穩(wěn)定性可以通過觀察其譜半徑是否比1小來得知，即：

4.3.3 整定過程

當(dāng)模型中沒有出現(xiàn)攝動時，可以通過傳統(tǒng)的Z-N法來整定控制器參數(shù)。而當(dāng)模型中出現(xiàn)不確定攝動時，由于M(s)≠0，則輸出響應(yīng)也無法用式（26）表述，因此考慮如式（35）與（36）所示較為普遍的帶有乘性輸入、輸出不確定攝動的對象傳函陣。

其中，δtin,δtout(t=1,2)分別為輸入與輸出不確定攝動，再將式（37）與（38）分別代入M(s)中可以獲得其各元素為：

顯然，只有當(dāng) δ1in=δ2in或δ1out=δ2out時，M(s)=0。

具體步驟如下：

步驟1將調(diào)節(jié)變量φj的初始值設(shè)定在τjj附近。

步驟2依據(jù)實(shí)測輸出響應(yīng)在線地調(diào)節(jié)φj從而獲取期望的追蹤響應(yīng)速率，即減小或增大φj來相應(yīng)地提升或降低第 j個系統(tǒng)的輸出響應(yīng)速率。

步驟3若符合穩(wěn)定性要求則結(jié)束整定過程，否則須繼續(xù)在線增大φj直至系統(tǒng)穩(wěn)定。

步驟4在以上所得結(jié)果基礎(chǔ)上，當(dāng)對象模型中出現(xiàn)不確定攝動時，可繼續(xù)在線單調(diào)增大φj以確保系統(tǒng)能夠維持魯棒穩(wěn)定性。

5 仿真研究

目前，在實(shí)際工程中仍然普遍采用基于PID的前饋補(bǔ)償解耦控制策略[15]，為了獲得與其相接近的追蹤響應(yīng)速率，分別取調(diào)節(jié)變量φ1=150，φ2=200。依據(jù)推導(dǎo)出的對象模型式（13），先利用式（25）、（26）分別獲得模型逆矩陣G-1(s)以及廣義對象矩陣H(s)，再通過式（27）推導(dǎo)出解耦控制器矩陣的理想表述形式，最后經(jīng)過式（28）～（31）轉(zhuǎn)換獲得其PID參數(shù)如下：

為了盡可能減少運(yùn)行能耗，送風(fēng)溫度設(shè)定值會根據(jù)室內(nèi)實(shí)際熱負(fù)荷需求來調(diào)整，因此在仿真過程中，12 000 s時送風(fēng)溫度設(shè)定值將由12℃上調(diào)至16℃，而在16 000 s時下調(diào)回12℃。此外，由于室內(nèi)人員對舒適性要求的變化，房間溫度設(shè)定值也會隨之調(diào)整，因此在設(shè)定值，雖然其調(diào)節(jié)時間略長一些，但是輸出響應(yīng)幾乎無超調(diào)量，穩(wěn)定性較佳。

圖4 標(biāo)稱系統(tǒng)控制效果圖

圖5 不確定系統(tǒng)譜半徑幅頻曲線

圖6 輸入不確定系統(tǒng)控制效果圖

圖7 輸出不確定系統(tǒng)控制效果圖

可以看出，前饋補(bǔ)償PID法并不能完全消除兩支回路間的耦合效應(yīng)，當(dāng)送風(fēng)溫度設(shè)定值發(fā)生變化時，室內(nèi)溫度也會產(chǎn)生一定波動。通過解析法設(shè)計的控制器兼具解耦和控制兩項(xiàng)功能，不僅能夠完全實(shí)現(xiàn)兩支回路的獨(dú)立控制，還能在設(shè)定值發(fā)生階躍變化時更平穩(wěn)地趨于

可以看出，在對象模型受到不確定攝動影響時，采用本文方法系統(tǒng)的譜半徑幅頻曲線仍小于1，并且魯棒穩(wěn)定裕度較大，同時跟蹤響應(yīng)依然能夠保持平穩(wěn)，而采用前饋補(bǔ)償PID法卻會使系統(tǒng)超調(diào)量增大，振蕩時間變長，同時解耦效果也會明顯下降。

6 結(jié)束語

VAV空調(diào)中控制回路存在耦合性強(qiáng)、延遲時間大、易出現(xiàn)不確定攝動等問題，嚴(yán)重制約其在電子、制藥等工業(yè)生產(chǎn)場合的應(yīng)用。利用解析法定量地設(shè)計PID解耦控制器，通過改變唯一的調(diào)節(jié)變量獲取良好的輸出響應(yīng)性能，并依據(jù)譜半徑幅頻曲線評判系統(tǒng)的穩(wěn)定性與魯棒穩(wěn)定性，相比于前饋補(bǔ)償PID解耦更容易獲得理想的控制器參數(shù)。仿真結(jié)果顯示，該方法能夠完全消除兩支回路間的耦合特性，提高了控制質(zhì)量，尤其是當(dāng)模型中出現(xiàn)不確定攝動時，依然能夠維持較大的魯棒穩(wěn)定裕度與較好的跟蹤性能。