基于Dual-Tree CWT和自適應(yīng)雙邊濾波器的圖像去噪算法

崔金鴿，陳炳權(quán)，2，徐 慶

1.吉首大學(xué) 物理與機(jī)電工程學(xué)院，湖南 吉首 416000

2.湖南大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410082

1 引言

采集圖像時(shí)，往往因?yàn)榭陀^因素（如光照）或者主觀因素（如人）會(huì)給圖像添加部分噪聲，使得原始圖像的細(xì)節(jié)和邊緣信息不能完整保留，嚴(yán)重影響圖像的使用價(jià)值及后續(xù)處理的可行性。目前圖像去噪方法主要包括空域?yàn)V波法和頻域?yàn)V波法，中值濾波器[1]、維納濾波器[2]、雙邊濾波器[3]等是空域?yàn)V波的常見算法，其中中值濾波對(duì)于乘性噪聲有較好的濾除效果，尤其是椒鹽噪聲；后者主要常見算法有小波離散變換（DWT）[4]、雙樹復(fù)小波變換（Dual-Tree CWT）[5-8]和Contourlet變換[9]等，該類方法往往先對(duì)圖像進(jìn)行多尺度和不同方向上的分解，然后根據(jù)建立的模型對(duì)頻域的系數(shù)進(jìn)行處理來去除噪聲。其中DWT具有自身的局限性，缺乏平移不變性和方向選擇性，在奇點(diǎn)附近容易出現(xiàn)震蕩，相比后兩者在去噪性能上有較大的提高。在實(shí)際應(yīng)用中，頻域?yàn)V波相比于空域?yàn)V波能獲得更好的去噪效果，但計(jì)算復(fù)雜度增加。

基于對(duì)空域?yàn)V波局限性和頻域?yàn)V波復(fù)雜度高的不足，文獻(xiàn)[3]提出了一種多分辨率雙邊濾波圖像去噪算法。將DWT與雙邊濾波相結(jié)合，不僅對(duì)分解后小波系數(shù)的細(xì)節(jié)部分進(jìn)行閾值量化，還對(duì)每一尺度上的近似部分通過雙邊濾波進(jìn)行模糊去噪。但文獻(xiàn)[3]不具有平移不變性，多方向性，且雙邊濾波沒有自適應(yīng)控制，可能出現(xiàn)平滑過度現(xiàn)象。考慮到雙樹復(fù)小波變換[7-8]具有近似平移不變性、低冗余度和能夠提取圖像在6個(gè)頻率方向上信息的優(yōu)點(diǎn)，本文提出了一種基于Dual-Tree CWT和自適應(yīng)雙邊濾波器的圖像去噪算法。使用改進(jìn)閾值收縮算法對(duì)雙樹復(fù)小波分解后的高頻子帶系數(shù)進(jìn)行閾值量化處理；同時(shí)采用自適應(yīng)雙邊濾波器對(duì)重構(gòu)得到的圖像進(jìn)一步去噪。仿真結(jié)果表明，本文的去噪效果有了明顯的改善，結(jié)合自適應(yīng)雙邊濾波器，去噪的同時(shí)能夠增強(qiáng)了低頻部分圖像的能量，保護(hù)好邊緣細(xì)節(jié)信息，且算法復(fù)雜度低耗時(shí)短，通過調(diào)節(jié)參數(shù)能夠?qū)崟r(shí)有效剔除混合噪聲。

2 去噪理論分析

2.1 噪聲分析

根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)理論統(tǒng)計(jì)特性可知，平穩(wěn)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間變化，非平穩(wěn)噪聲卻隨時(shí)間變化，正常采集的圖像都混有各種噪聲，但根據(jù)圖像噪聲污染程度及成因等特性分析，主要表現(xiàn)為高斯噪聲和脈沖噪聲[10]。

（1）高斯噪聲（Gaussian Noise）。其隨機(jī)變量 z的概率密度分布函數(shù)為：

其中，z表示灰度值，μ表示z的平均值，σ表示z的標(biāo)準(zhǔn)差。

（2）脈沖噪聲（又稱為椒鹽噪聲，Impulse Noise）。其變量z的概率密度分布函數(shù)為：

其中，當(dāng)b＞a，則灰度值b在圖像中顯示為一個(gè)亮點(diǎn)，反之則為一個(gè)暗點(diǎn)。若Pa或Pb為零，則脈沖噪聲稱為單極脈沖。若Pa與Pb均不為零，脈沖噪聲在圖像分布表現(xiàn)為胡椒和鹽粉等微粒。

2.2 傳統(tǒng)雙邊濾波器原理

雙邊濾波器是一種非線性及非迭代的濾波算法。該濾波器在處理鄰域內(nèi)的像素灰度值時(shí)，綜合考慮了空間距離關(guān)系和相鄰像素灰度值之間的關(guān)系，通過兩者非線性組合，有效地保護(hù)圖像邊緣信息，具有較好的去噪增強(qiáng)能力。其定義為[3]：

其中FB(I)為雙邊濾波處理后輸出圖像，I(k-n)為噪聲圖像；W(k,n)為雙邊濾波權(quán)重函數(shù)，即空間權(quán)系數(shù)與灰度權(quán)系數(shù)的乘積；Ω為第k個(gè)像素的鄰域范圍，n∈Ω。

雙邊濾波權(quán)重函數(shù)定義為：

其中Wσd為空間權(quán)系數(shù)，Wσr為灰度權(quán)系數(shù)，σd為空間幾何分布因子標(biāo)準(zhǔn)差，σr為灰度分布因子標(biāo)準(zhǔn)差。雙邊濾波的權(quán)重系數(shù)是由空間幾何分布因子和灰度因子共同決定，σd的大小決定高斯函數(shù)含有的像素個(gè)數(shù)，當(dāng)σd變大時(shí)，則σr對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償，一定程度上保證了高頻邊緣的亮度信息不與非邊緣亮度作運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)降噪的目的。

3 本文去噪算法

設(shè)某一個(gè)二維圖像信號(hào) f(n)被噪聲e(n)污染后為s(n)，本文構(gòu)建的噪聲模型為：

其中，e1(n)為高斯噪聲，e2(n)為脈沖噪聲，δ，σ分別表示脈沖噪聲密度，高斯噪聲標(biāo)準(zhǔn)差。該模型充分考慮了加性和乘性兩大噪聲類型，這也是實(shí)際圖像采集中主要的噪聲類型，為研究混合噪聲去噪問題提供重要的參考依據(jù)。

去噪的目的是抑制噪聲恢復(fù) f(n)，當(dāng) f(n)的分解系數(shù)越稀疏，去噪效率越好。本文構(gòu)建的去噪算法流程如圖1所示。

圖1 本文去噪算法流程圖

圖1中Hw代表高頻子帶，Lw代表低頻子帶。為了表示方便，文中對(duì)含噪圖像進(jìn)行兩層雙樹復(fù)小波分解，得到一個(gè)最低頻子帶和若干高頻子帶，由于大部分噪聲主要能量分布在高頻子帶，只有局部殘留的低頻子帶上。因此，大部分變換域圖像去噪主要集中在高頻子帶系數(shù)的濾波處理。文中通過采用改進(jìn)小波閾值收縮法（Wave Threshold Shrinkage，WTS）對(duì)子帶上的高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化處理，同時(shí)采用自適應(yīng)雙邊濾波（Adaptive Bilateral Filtering，ABF）對(duì)于低頻系數(shù)進(jìn)行濾波處理，剔除低頻子帶上殘余的噪聲系數(shù)，最終將重構(gòu)得到的圖像進(jìn)一步進(jìn)行ABF濾波處理，就可得到去噪后的圖像。

Dual-Tree是由kingsbury[11]于1998年提出，該理論在圖像處理上已有廣泛的應(yīng)用，因其平移不變性和方向選擇性，使其在圖像去噪方面具有較好的優(yōu)越性。離散小波變換[4]采用單個(gè)雙值濾波器產(chǎn)生一組實(shí)小波系數(shù)，雙樹復(fù)小波變換并行使用一對(duì)雙值濾波器，產(chǎn)生一組復(fù)小波系數(shù)的實(shí)部、虛部及其他冗余系數(shù)。雙樹復(fù)小波變換模型可表示為[10]：

其中，ψr(t)，ψi(t)分別表示復(fù)小波的實(shí)部和虛部，均為實(shí)函數(shù)，表示2個(gè)獨(dú)立的實(shí)小波變換。為了完整表示一個(gè)實(shí)的二維信號(hào)，還要采用行或列濾波器的復(fù)共軛來濾波，這樣在第1、2象限分別產(chǎn)生3個(gè)子帶，對(duì)應(yīng)空間的6個(gè)方向：±15° ,±45 °,±75 °，如圖2所示。圖中最下端分別是Lena圖像在6個(gè)方向的分解子帶。

圖2 雙樹復(fù)小波分解的二維脈沖響應(yīng)

含噪圖像經(jīng)過Dual-Tree CWT分解后，在每個(gè)方向的子帶上會(huì)分布著不同頻率的小波系數(shù)，其中高頻部分主要是噪聲信息和部分圖像邊緣信息，低頻部分主要為圖像的能量分布區(qū)域。針對(duì)高頻部分系數(shù)，文獻(xiàn)[12]提出了改進(jìn)閾值收縮法，由于噪聲圖像分解后對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)往往偏低，利用這一特性通過計(jì)算出相應(yīng)子帶的方差選定判斷閾值，采用閾值對(duì)高頻子帶進(jìn)行閾值量化處理。但這樣會(huì)忽略混合噪聲中非加性噪聲的特性，在較小尺度下已具有系數(shù)的較大值。為此，引入考慮像素的空間距離和亮度信息的雙邊濾波器，在去噪完成后會(huì)對(duì)重構(gòu)圖像進(jìn)行二次濾波，剔除非加性噪聲。

根據(jù)DT-CWT分解后的小波系數(shù)都具有稀疏集簇和鄰域相關(guān)的特性，通用的閾值估計(jì)方法很難估計(jì)子帶內(nèi)系數(shù)的局部性和鄰域相關(guān)性，在鄰域重疊區(qū)域，單個(gè)小波系數(shù)可以同屬多個(gè)鄰域。為此，文中基于文獻(xiàn)[13]思路運(yùn)用貝葉斯求解閾值最優(yōu)解。

定義鄰域窗口N×N濾波窗口，以當(dāng)前系數(shù)為中心位置，其鄰域系數(shù)位于該鄰域內(nèi)的其他位置，則在大小為m×n的子帶中。窗口內(nèi)含噪圖像的方差為：

其中，Ai,j為窗口內(nèi)所有小波系數(shù)，則在大小m×n子帶內(nèi)噪聲圖像的方差為：

這樣就可以根據(jù)鄰域系數(shù)的局部特性，計(jì)算出含噪圖像的鄰域方差。由于DT-CWT是基于DWT線性變換，滿足下面關(guān)系：

噪聲方差采用中值估計(jì)器估計(jì)為[13]：

在閾值函數(shù)的選取上，文中采用一種基于折中閾值和半軟閾值的改進(jìn)閾值函數(shù)，不僅克服了軟硬閾值的不足，同時(shí)具備了新的優(yōu)點(diǎn)。通過上下限閾值細(xì)化對(duì)有用小波系數(shù)的處理，使得處理后的圖像細(xì)節(jié)和邊緣信息保留更加完整。具體表達(dá)式如下：

式（12）中a為調(diào)節(jié)參數(shù)，可根據(jù)圖像的去噪效果合理調(diào)節(jié)其取值。當(dāng)a=0時(shí)，上分段函數(shù)成為硬閾值函數(shù)；當(dāng)a=1時(shí)，位于區(qū)間的系數(shù)全部置零，上分段函數(shù)類似半軟閾值函數(shù)。在閾值點(diǎn)T,T0均保持連續(xù)，且當(dāng)時(shí)，有效防止圖像重構(gòu)后出現(xiàn)邊緣震蕩、過于平滑等現(xiàn)象。經(jīng)過仿真實(shí)驗(yàn)可得，當(dāng)a=0.4,k=0.6時(shí)，去噪效果最佳；當(dāng)a=1,k=0.1時(shí)，去噪效果最不理想（見圖3）。

圖3 a值和k值對(duì)去噪結(jié)果的影響

針對(duì)低頻子帶部分，在采用雙邊濾波去噪實(shí)驗(yàn)中，筆者發(fā)現(xiàn)，當(dāng)σr較小時(shí)，處理后的圖像會(huì)出現(xiàn)較多的奇點(diǎn)；當(dāng)σr較大時(shí)，會(huì)造成圖像過度平滑。為了克服這些不足，基于文獻(xiàn)[15-16]的思路，提出了一種新自適應(yīng)雙邊濾波器的設(shè)計(jì)方法，重新定義權(quán)重函數(shù)：

其中自適應(yīng)參數(shù)θ值是反映自適應(yīng)程度，其取值大小直接影響去噪的效果，分別定義滑動(dòng)窗口內(nèi)最大像素值max,最小像素值min，中間像素值avg，同時(shí)令Δ=I0-avg。I0為選定像素的值。

（1）當(dāng)θ=0時(shí)，仍為傳統(tǒng)雙邊濾波器。

（2）當(dāng)θ=avg時(shí)，向平均值方向變化。

（3）當(dāng)θ=max-I0，Δ＞0時(shí)，向max方向變化。

（4）當(dāng)θ=min-I0，Δ<0時(shí)，向min方向變化。

通過選定像素的值與中心像素的值的關(guān)系判斷θ的取值，當(dāng)朝向平均值變化，圖像會(huì)模糊；當(dāng)背向平均值變化，圖像會(huì)被銳化，由此就可以有效保護(hù)邊緣信息。另外，根據(jù)圖像噪聲水平與空間分布因子標(biāo)準(zhǔn)差存在線性關(guān)系，如下：

在實(shí)驗(yàn)中雙邊濾波器的核長(zhǎng)取為3，如圖4所示。單一噪聲時(shí)，當(dāng)σ=0.2,δ=0.4，θ取最小值；混合噪聲時(shí)，當(dāng) σ=δ=0.3，θ取最小值；當(dāng) σ=δ=0.5時(shí)，θ取最大值；當(dāng) p=7，PSNR最佳。在不同噪聲背景下，為了保證取得最佳的效果，可根據(jù)噪聲的污染程度嚴(yán)格控制θ大小。通過自適應(yīng)雙邊濾波對(duì)低頻小波系數(shù)處理，有效地保護(hù)了圖像主要信息。最終將處理后的小波系數(shù)，通過雙樹復(fù)小波逆變換進(jìn)行重構(gòu)，得到去噪后的圖像。

4 仿真結(jié)果及其分析

圖4 不同噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ（高斯）和密度δ（脈沖）對(duì)θ值的影響

為驗(yàn)證本文算法的正確性，筆者在AMD A8-4500M APU with Radeon HD Graphics CPU，1.90 GHz，RAM 4.00 GB的PC上進(jìn)行仿真，仿真軟件平臺(tái)選擇MATLAB 2010。實(shí)驗(yàn)圖像為大小256×256的Lena圖像（其他標(biāo)準(zhǔn)圖像也適用）。為了驗(yàn)證本文算法對(duì)不同噪聲污染圖像去噪效果，仿真前對(duì)Lena圖像添加了噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.01的高斯噪聲和噪聲密度δ=0.05的脈沖噪聲，將中值濾波（MF）[1]、維納濾波（WF）[2]、小波閾值（DWT）[4]、開關(guān)中值濾波（Switching Median Filter，SMF）[17]、雙邊濾波（Bilateral Filtering，BF）[3]、自適應(yīng)雙邊濾波（Adaptive Bilateral Filtering，ABF）[15]與本文去噪算法進(jìn)行比較。Lena原始圖像及幅度譜如圖5所示。采用不同去噪算法分別對(duì)含有高斯噪聲、脈沖噪聲、兩者混合噪聲的Lena圖像進(jìn)行降噪，結(jié)果如圖6所示。

圖5 Lena原始像及幅度譜

由圖6可以看出，MF和WF在整體視覺效果上不如后面的新方法，細(xì)節(jié)信息缺失較多，但MF對(duì)于脈沖噪聲具有較好的去噪效果，而通過改進(jìn)SMF效果又要?jiǎng)龠^MF。相比之下DWT對(duì)于高斯噪聲比較理想，但對(duì)于脈沖噪聲效果卻不佳。在視覺效果上與其他方法相比，本文方法在上述三種不同噪聲背景下的整體去噪效果表現(xiàn)出了明顯的優(yōu)勢(shì)，尤其是混合噪聲，圖像中的噪聲基本被剔除，更接近原始圖像。圖像的幅度信息反映圖像主要能量分布狀況，為了證明各類方法去噪處理后圖像的信息分布情況，混合噪聲下Lena圖像的幅度譜如圖7所示，圖中明亮區(qū)域顯示了邊緣信息，頻域主要能量分布在圖像四個(gè)角的低頻部分，少部分集中在高頻部分。

由圖7可知，圖像中的噪聲點(diǎn)會(huì)干擾灰度級(jí)的排列，然而經(jīng)過去噪處理后，灰度級(jí)開始發(fā)生變化。由本文算法處理后幅度譜能量信息分布較SMF、BF、ABF更

圖6 基于不同去噪算法的Lena圖像去噪結(jié)果

（各算法中上圖為高斯噪聲σ=0.01；中圖為脈沖噪聲δ=0.05；下圖為混合噪聲σ=0.01,δ=0.05）均勻清晰，灰度無較大跳躍。

圖7 基于SMF、BF、ABF和本文去噪算法的Lena仿真圖像的幅度譜(σ=0.01,δ=0.05)

采用客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)均方根誤差（Root Mean Squared Error，RMSE）和峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）分別對(duì)圖6進(jìn)行客觀評(píng)價(jià)，不同去噪算法的定量結(jié)果如表1、表2所示，其公式如下[18]：

表1 各種去噪算法的峰值信噪比（PSNR）結(jié)果及混合噪聲下運(yùn)行時(shí)間(σ=0.01,δ=0.05)dB

表2 各種去噪算法的均方根誤差（RMSE）結(jié)果(σ=0.01,δ=0.05) dB

式中 f(i,j)原始位置(i,j)上無噪圖像的灰度值，h(i,j)為濾波處理后圖像位置(i,j)上的灰度值。MN為圖像的尺寸大小。

由表1、表2可知，通過對(duì)比三類噪聲的不同去噪效果。結(jié)果得出非線性濾波技術(shù)對(duì)于脈沖噪聲有較好的去噪效果，尤其是MF、SMF都具有較高的PSNR值，WF、DWT相對(duì)較差；DWT的多尺度分解又對(duì)高斯噪聲占據(jù)優(yōu)勢(shì)，又比MF、SMF好；針對(duì)混合噪聲BF、ABF考慮像素的空間距離和亮度信息，能夠較徹底降噪，PSNR值高出3.145 5～4.613 2 dB；綜合對(duì)比本文算法在三種噪聲背景下均有較好的去噪效果，尤其在混合噪聲背景下PSNR最大可超出4.82 dB，RMSE最低可到達(dá)8.742 1?；旌显肼暠尘跋逻\(yùn)行時(shí)間相對(duì)較低，具體如表1所示。

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)現(xiàn)有圖像去噪算法對(duì)混合噪聲背景下去噪效果不理想的現(xiàn)狀，本文提出了一種基于Dual-Tree CWT和自適應(yīng)雙邊濾波器的圖像去噪算法，保留了二維圖像小波變換的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)又具備平移不變性、數(shù)據(jù)冗余有限等特性，使得處理后的圖像更加接近原始圖像。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明：本文提出的圖像去噪算法能夠有效地去除噪聲（包括高斯噪聲和脈沖噪聲），克服了以往針對(duì)混合噪聲去噪出現(xiàn)邊緣缺失嚴(yán)重的局限性。在混合噪聲去噪中，往往是將復(fù)雜的噪聲轉(zhuǎn)化為單一的噪聲，這樣勢(shì)必造成部分噪聲的遺漏，同時(shí)耗費(fèi)時(shí)間較長(zhǎng)。另外需指出的是，在改進(jìn)閾值函數(shù)對(duì)高頻子帶量化處理中，上下限閾值的比例關(guān)系由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)值，如何自適應(yīng)選取并考慮自適應(yīng)雙邊濾波器相關(guān)參數(shù)的影響，將是下一步繼續(xù)的工作。