平面向量基本定理常用題型歸納

☉湖北省秭歸縣第一中學(xué) 梅 杰 何 堯

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使得a=λ1e1+λ2e2.

平面向量基本定理是正交分解和坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，它為“數(shù)”和“形”搭起了橋梁，在向量知識(shí)體系中處于核心地位.筆者對(duì)近十年高考有關(guān)平面向量基本定理題目作了系統(tǒng)研究，認(rèn)為大致分為以下題型：

一、基本題型隨處可見(jiàn)

1.直接利用λ1，λ2唯一性求解

2.構(gòu)建三角形，利用正余弦定理求解

圖1

解：過(guò)C作CD∥OB交OA的延長(zhǎng)線于D，

二、共線問(wèn)題常考常新

1.感受平面內(nèi)三點(diǎn)共線的結(jié)論在解題中簡(jiǎn)明快捷

常用結(jié)論：如圖2，點(diǎn)O是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A，B是直線l上任意兩點(diǎn)，求證：直線上任意一點(diǎn)P，存在實(shí)數(shù)t，使得關(guān)于基底{OA，OB}的分析式為（1-t）·.

圖2

因?yàn)锽，P，N三點(diǎn)共線，

圖3

2.感受向量數(shù)形二重性在證明平面幾何中獨(dú)特魅力

圖4

三、區(qū)域問(wèn)題漸成熱點(diǎn)

由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理拓展可以研究區(qū)域問(wèn)題，為解決線性規(guī)劃問(wèn)題畫出可行域提供理論上的依據(jù)和操作上的便利，也可以解決向量中類似于點(diǎn)所在位置問(wèn)題.

定理：設(shè)O，A，B為平面內(nèi)不共線的三個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C滿足O—→C=x（x，y∈R），記直線OA，OB，AB分別為lOA，lOB，lAB，平面被分成如圖5的7個(gè)部分（Ⅰ—Ⅶ），得出結(jié)論表1，表2.

圖5

表1

表2

在近十年高考題中，區(qū)域問(wèn)題常以下面兩種題型出現(xiàn).

1.固定動(dòng)點(diǎn)所在的位置，判斷系數(shù)滿足條件

例5 如圖6，平面內(nèi)的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個(gè)部分，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ（不包括邊界），若O—→P=a，且點(diǎn)P落在第Ⅲ部分，則實(shí)數(shù)a，b滿足（ ）.

A.a＞0，b＞0 B.a＞0，b＜0 C.a＜0，b＞0 D.a＜0，b＜0

答案：B.

例6 如圖7，OM∥AB，點(diǎn)P在射線OM，射線OB及AB的延長(zhǎng)線圍成的陰影部分內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且O—→P=，則x的取值范圍是______，當(dāng)x=-時(shí)，y的取值范圍是______.

圖6

圖7

圖8

2.固定系數(shù)滿足的條件，判斷動(dòng)點(diǎn)所在位置

圖9

答案：D.

因?yàn)樵诘谝幌笙?，λ?，μ＞0，