多角度切入，妙方法處理——一道三角形模擬題的多解

☉貴州省興義市陽(yáng)光書(shū)院 陳福盛

解三角形主要通過(guò)對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能利用它們解決一些簡(jiǎn)單三角形度量問(wèn)題及一些與測(cè)量和計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.該部分是每年高考中的基本考點(diǎn)之一，大都運(yùn)算量大、公式應(yīng)用多，這就要求我們不僅要具有較高的運(yùn)算水平、較強(qiáng)的運(yùn)算能力和較大的記憶能力，還應(yīng)善于審題，采用相應(yīng)的策略，優(yōu)化過(guò)程.特別是解三角形中的參數(shù)取值問(wèn)題，不僅備受命題者青睞，更是各類考試中的熱點(diǎn)題型.下面結(jié)合一道三角形中的長(zhǎng)度求解問(wèn)題加以多解剖析.

題目 （2018年高考衡水金卷壓軸卷（二）·16）在△ABC中，D是邊BC上的一點(diǎn)，AD=2，BD=2DC，tan∠BAD=

本題給出三角形中的相關(guān)邊的關(guān)系與對(duì)應(yīng)角的正切值，如何巧妙利用題目中的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，可以借助正切的幾何意義，以坐標(biāo)系方式介入；可以借助解三角形的相關(guān)定理，以正弦定理方式介入；可以借助三角形的面積法思維來(lái)處理；還可以通過(guò)初中平面幾何知識(shí)來(lái)處理與轉(zhuǎn)化.從不同角度的思維來(lái)切入，都可以收到不錯(cuò)的解題效益.

角度1：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，結(jié)合條件建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系，利用兩相關(guān)角的正切值確定對(duì)應(yīng)的直線的斜率，構(gòu)造直線BC的參數(shù)方程，通過(guò)代入法確定tanθ的值，進(jìn)而確定直線BC的方程，與直線AB聯(lián)立確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而確定AB的長(zhǎng)度.

解法1：如圖1，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在直線為x軸，垂直于AD的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則D（2，0），直線AB，AC的方程分別為

圖1

所以直線BC的方程為y=3（x-2），

角度2：設(shè)出∠BAD=α，∠DAC=β，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及兩角和的余弦公式確定∠BAC=α+β=45°，結(jié)合正弦定理加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用得到而確定△ABC為等腰直角三角形，且∠C=90°，再結(jié)合直角三角形的性質(zhì)來(lái)轉(zhuǎn)化與求解即可.

解法2：如圖2，設(shè)∠BAD=α，∠DAC=β.

圖2

所以cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=，可得∠BAC=α+β=45°，

角度3：設(shè)出∠BAD=α，∠DAC=β，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及兩角和的正弦公式得到sin（α+β）=，通過(guò)過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，利用相似三角形的性質(zhì)得到AB=3ED，并結(jié)合正弦定理的轉(zhuǎn)化求得ED的長(zhǎng)度，進(jìn)而確定AB的長(zhǎng)度即可.

解法3：如圖3，設(shè)∠BAD=α，∠DAC=β.

圖3

所以

角度4：設(shè)出∠BAD=α，∠DAC=β，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及兩角和的正弦公式確定∠BAC=α+β=45°，結(jié)合三角形的性質(zhì)可知，S△ABC=3S△ADC，進(jìn)而得以求解AB的長(zhǎng)度.

解法4：如圖4，設(shè)∠BAD=α，∠DAC=β.

圖4

而根據(jù)三角形的性質(zhì)可知，S△ABC=3S△ADC，

角度5：通過(guò)作輔助線把一般三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題，設(shè)出CF=x，DF=y，借助相似三角形的性質(zhì)、正切函數(shù)的定義建立相關(guān)的方程組，通過(guò)求解方程來(lái)確定參數(shù)的值，進(jìn)而利用勾股定理來(lái)確定AB的長(zhǎng)度即可.

解法5：如圖5，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD交于點(diǎn)F，

設(shè)CF=x，DF=y，則由BD=2DC，可知BE=2x，DE=2y，

圖5

通過(guò)從多個(gè)不同角度來(lái)處理，巧妙把該題的底蘊(yùn)充分挖掘出來(lái)，多角度出發(fā)，多方面求解，真正體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，充分展現(xiàn)知識(shí)的交匯與綜合，達(dá)到提升能力，拓展應(yīng)用的目的.進(jìn)而真正達(dá)到在學(xué)中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.H