巧用柯西不等式解決數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的探究

☉安徽省固鎮(zhèn)縣第一中學(xué) 劉小樹(shù)

柯西不等式不僅形式優(yōu)美，結(jié)構(gòu)整齊，而且有重要的應(yīng)用價(jià)值，特別在國(guó)際以及國(guó)內(nèi)中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽中有著非常廣泛的運(yùn)用.本文主要從巧用柯西不等式的結(jié)構(gòu)靈活變化入手，例解分析最近幾年數(shù)學(xué)聯(lián)賽奧賽試題.柯西不等式是指下面定理：

定理：若a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn兩組實(shí)數(shù)，則有

一、代數(shù)式拆項(xiàng)配湊為定值

二、系數(shù)分離添加器

例2 （2014年第十屆中國(guó)北方數(shù)學(xué)奧林匹克邀請(qǐng)賽）設(shè)x，y，z，w∈R且x+2y+3z+4w=1，求f（x，y，z，w）=x2+y2+z2+w2+（x+y+z+w）2最小值.

解析：令S=f（x，y，z，w）=x2+y2+z2+w2+（x+y+z+w）2，先將系數(shù)分配好1=x+2y+3z+4w=2（x+y+z+w）-x+0·y+z+2w，

［（-1）2+02+12+22+22］·［x2+y2+z2+w2+（x+y+z+w）2］≥［-x+0·y+z+2w+2（x+y+z+w）］=1， ①

評(píng)注：系數(shù)分離添加器是柯西不等式的一個(gè)很好的應(yīng)用方向，需要注意的是待定的系數(shù)必須使得等號(hào)能夠成立.

三、常數(shù)巧拆

例3（2013年第十二屆女子數(shù)學(xué)奧林匹克試題）已知正實(shí)數(shù)a1，a2，…，an，證明：存在正實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn，滿(mǎn)足的正實(shí)數(shù)y1，y2，…，yn均有

這樣結(jié)論左邊

評(píng)注：常數(shù)的巧拆根據(jù)條件結(jié)論的關(guān)系，為了巧用結(jié)構(gòu)而變化.

四、因式嵌套

在利用柯西不等式解決問(wèn)題時(shí)需要根據(jù)題目已知條件和證明結(jié)論聯(lián)系起來(lái)，其中很重要一點(diǎn)就是嵌套因式，使得證明順利進(jìn)行.

例4（2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽預(yù)賽試題）已知正實(shí)數(shù)x，y，z，滿(mǎn)足x+y+z=1，求證≥0.

證明：因?yàn)閤+y+z=1，將證明結(jié)論等價(jià)變形

根據(jù)柯西不等式結(jié)構(gòu)思想，增加個(gè)因式就可以使用柯西不等式，同時(shí)發(fā)現(xiàn)嵌乘的這個(gè)式子又是個(gè)常數(shù)，即上式等號(hào)成立，即本題得證.

評(píng)注：因式嵌套（乘）很常見(jiàn)，其本質(zhì)就是巧妙使得柯西不等式結(jié)構(gòu)完整.

五、因式巧分

例5（2014年第十一屆中國(guó)東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克試題）設(shè)n為大于1的整數(shù)，正實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn滿(mǎn)足

證明：首先注意結(jié)論，左邊是求和，右邊是關(guān)于n的常數(shù)，因此需要將左邊進(jìn)行結(jié)構(gòu)變化因式分解為xi+1-xi+13=xi+1·（1-xi+12），然后再降次，由柯西不等式容易將求和轉(zhuǎn)化到乘積，為自然數(shù)的出現(xiàn)奠定基礎(chǔ).得證.

評(píng)注：因式分解是為了柯西不等式結(jié)構(gòu)的成立，對(duì)于復(fù)雜聯(lián)賽奧賽不等式結(jié)構(gòu)要注意變形，其中因式分解是很重要變換形式之一，然而這種方法使用不是單一的.

六、局部巧用

例6 （2011年克羅地亞試題）設(shè)正實(shí)數(shù)a，b，c，滿(mǎn)足a+b+c=3.證明

局部先均值放縮，再運(yùn)用柯西不等式

評(píng)注：有些不等式的證明需要對(duì)局部使用柯西不等式，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算，對(duì)局部的控制達(dá)到對(duì)整體的控制.

一點(diǎn)感悟：柯西不等式是非常美的結(jié)構(gòu)定理，為兩組數(shù)形式變換，次數(shù)的變化，使用時(shí)機(jī)、程度，等號(hào)成立盡心盡力，這都需要我們多角度多方面嘗試，才能推進(jìn)命題形式結(jié)論的豐富.其中有些方法不一定是最佳的，有些方法可以互用.