三角最值題，多角度探究——以2018年全國Ⅰ理第16題為例

☉湖南省長沙市明德中學 何 玲

三角函數(shù)最值問題是三角函數(shù)中基本性質(zhì)的重要內(nèi)容之一，其一直是高考三角函數(shù)部分的重點與難點之一，也是會考、高考必考內(nèi)容之一，其解題思路是合理運用三角函數(shù)基本公式將其表達式轉(zhuǎn)化為由一個三角函數(shù)表達的形式求解，或是通過導數(shù)法、基本不等式法等思維來分析與處理.2018年高考全國Ⅰ理第16題的三角函數(shù)最值問題就是三角函數(shù)最值中考查的一個重要類型之一.

題目（2018·全國Ⅰ理·16）已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是______.

分析：常見思維是把函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)或余弦型函數(shù)，再利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定對應(yīng)的最值.而本題無法轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的正弦型函數(shù)或余弦型函數(shù)，那么就得回歸函數(shù)本質(zhì)，考慮利用導數(shù)法、基本不等式法等其他的思維方式來處理，從而達到求解的目的.

通過對函數(shù)（fx）=2sinx+sin2x求導，結(jié)合f（′x）=0，解得cosx=或cosx=-1，通過分析極值點處cosx與sinx的對應(yīng)取值情況，以及所對應(yīng)的（fx）的函數(shù)值來分析與比較，進而得到函數(shù)（fx）的最小值.

解法1：由（fx）=2sinx+sin2x，可得f（′x）=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2.令f（′x）=0，解得cosx=或cosx=-1.

當cosx=-1時，sinx=0，此時（fx）=2sinx+2sinxcosx=0；

綜上分析可知，（fx）=2sinx+sin2x的最小值為

結(jié)合函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x的最小正周期把問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)（fx）=2sinx+sin2x在區(qū)間［0，2π］上的最小值，通過對函數(shù)（fx）=2sinx+sin2x求導，結(jié)合f（′x）=0，解得cosx=或cosx=-1，利用x∈［0，2π］來確定對應(yīng)的x的值，從而通過端點值（f0）或（f2π），以及極值f（），（fπ），f）的求解，通過比較來確定函數(shù)（fx）的最小值.

解法2：由于函數(shù)（fx）=2sinx+sin2x的最小正周期為T=2π，那么問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x在區(qū)間［0，2π］上的最小值，

由于f（′x）=2cosx+2cos2x=2（2cosx-1）（cosx+1）.

通過對函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x求導，結(jié)合f′（x）＞0與f′（x）＜0求解并利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)確定相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間，利用最值法得到進而得到函數(shù)f（x）的最小值.

解法3：由f（x）=2sinx+sin2x，可得f′（x）=2cosx+2cos2x=2（2cosx-1）（cosx+1）.

結(jié)合函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x的等價轉(zhuǎn)化，通過平方處理，并利用不等式的放縮轉(zhuǎn)化為含有cosx的三角不等式，結(jié)合系數(shù)的巧妙配比，通過4次均值不等式的應(yīng)用來確定函數(shù)f（x）的最小值.

結(jié)合函數(shù)（fx）=2sinx+sin2x的等價轉(zhuǎn)化，結(jié)合二倍角公式的應(yīng)用，以及通過平方處理，并利用不等式的放縮轉(zhuǎn)化為含有的三角不等式，結(jié)合系數(shù)的巧妙配比，通過4次均值不等式的應(yīng)用來確定函數(shù)（fx）的最小值.

解法5：根據(jù)題意，有

結(jié)合函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x的等價轉(zhuǎn)化，通過對f（x）的關(guān)系式的平方處理，結(jié)合三角解析式的轉(zhuǎn)化，結(jié)合系數(shù)的巧妙配比，通過4次均值不等式的應(yīng)用來確定函數(shù)f2（x）的最大值，進而求解二次不等式得到f（x）∈，從而得以確定函數(shù)f（x）的最小值.

對學生來說，各類考試題無疑是最典型、最熟悉的一個“問題”.如何提升學生的解題思維與能力，是每位教師思考和研究的重要課題.經(jīng)過理論和教學實踐證明，一題多解是提高解題能力的有效途徑之一，在呈現(xiàn)不同解法的同時，暴露思維過程，拓展知識能力，培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)，提升數(shù)學品質(zhì).H