高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維的四個(gè)維度例析

☉江蘇省常熟市梅李高級(jí)中學(xué) 孫 長(zhǎng)

美國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為數(shù)學(xué)這一目標(biāo)明確的思維活動(dòng)是人類(lèi)的一種理性精神，人類(lèi)思維的完善往往能夠在數(shù)學(xué)現(xiàn)象、問(wèn)題的探究中逐步得以實(shí)現(xiàn).但是，當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教育卻在很大程度上展現(xiàn)出與這一理念完全相悖的局面，這主要是數(shù)學(xué)教學(xué)功利化造成的，學(xué)生與教師因此也將數(shù)學(xué)成績(jī)視作數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)優(yōu)良的唯一標(biāo)準(zhǔn).但事實(shí)上，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能夠不斷提升其思維品質(zhì)才是數(shù)學(xué)教育應(yīng)該確立的主要目標(biāo).

一、培養(yǎng)思維廣闊性

對(duì)同一個(gè)問(wèn)題能夠從多種角度、多個(gè)方面進(jìn)行考慮就是我們所說(shuō)的思維廣闊性，數(shù)學(xué)中的一題多解正是培養(yǎng)學(xué)生思維廣闊性的有效途徑.

解題方法單一是大多數(shù)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)候的表現(xiàn)，這主要是學(xué)生在大量練習(xí)中欠缺深入思考而造成的.因此，教師在教學(xué)中應(yīng)不斷引導(dǎo)學(xué)生對(duì)同一問(wèn)題進(jìn)行多角度的思考以達(dá)成思維廣闊性的提高.

圖1

表1f（x）及f′（x）隨x的變化情況表

看似簡(jiǎn)單的一道題實(shí)際上卻可以通過(guò)七種方法來(lái)解決，這七種方法涵蓋了高中整個(gè)階段的主要內(nèi)容，學(xué)生長(zhǎng)期在這種一題多解的訓(xùn)練中一定能提升思維的廣闊性.

二、培養(yǎng)思維靈活性

數(shù)學(xué)思維僵化是很多學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中普遍存在的，很多時(shí)候是由于教師教學(xué)中過(guò)于強(qiáng)調(diào)程序化與模式化而造成的，很多教師在例題教學(xué)中習(xí)慣于幫助學(xué)生歸納類(lèi)型與解題方法，學(xué)生在長(zhǎng)期的重復(fù)練習(xí)中自然養(yǎng)成了按部就班解題的思維習(xí)慣，學(xué)生自主思考與探索的意識(shí)也就慢慢淡化了，長(zhǎng)期的模仿、套用模式解題的習(xí)慣使學(xué)生的思維應(yīng)變能力逐漸喪失.因此，教師在教學(xué)中應(yīng)善于運(yùn)用變式教學(xué)以清除數(shù)學(xué)思維僵化的現(xiàn)象.

層層遞進(jìn)的變式題目有力地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)生在更好地掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)的同時(shí)也大大提升了自身思維的靈活性.

三、培養(yǎng)思維的批判性

發(fā)現(xiàn)與辨別事物本質(zhì)的能力往往與思維深刻性的強(qiáng)弱息息相關(guān)，思維深刻的學(xué)生在數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性及其內(nèi)在聯(lián)系的把握上往往更有心得，在思維深刻性基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的批判性對(duì)于問(wèn)題的深層分析與辯證又起到?jīng)Q定性的作用.

學(xué)生的思維如果能具備一定的深刻性與批判性，就能夠?qū)?shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性和相互聯(lián)系進(jìn)行更好的認(rèn)知、分析與理解，但實(shí)際上，很多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理往往缺少必要的思考，學(xué)生因?yàn)殡y以產(chǎn)生自己的見(jiàn)解而導(dǎo)致學(xué)習(xí)缺乏創(chuàng)新.

（解題略）學(xué)生給出了單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）的錯(cuò)誤答案.

分析：一般地，給定區(qū)間I上的函數(shù)y=f（x）：若對(duì)屬于這個(gè)區(qū)間I上的自變量的任意兩個(gè)值x1、x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)都有f（x1）＜f（x2），就說(shuō)函數(shù)y=f（x）在該區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間I叫做函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間.當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＞f（x2），就說(shuō)函數(shù)y=f（x）在該區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間I則稱(chēng)作函數(shù)y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間.這是函數(shù)的定義，其中“任意”和“都有”這兩個(gè)詞是大家都需要注意的.在學(xué)生給出的區(qū)間（-∞，0）∪（0，+∞）上確實(shí)能找到x1=-1，x2=1，則f（x1）=-1，f（x2）=1，此時(shí)雖有x1＜x2，但f（x1）＜f（x2），這與單調(diào)遞減的定義矛盾.

若想學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)中勇于發(fā)現(xiàn)并提出自己的見(jiàn)解，這與他們對(duì)概念、定理的精準(zhǔn)把握與徹底理解是離不開(kāi)的.因此，教師在教學(xué)中應(yīng)關(guān)注概念的形成過(guò)程并促使學(xué)生在概念的學(xué)習(xí)中形成真正的理解，抓住問(wèn)題的本質(zhì)才能展開(kāi)問(wèn)題的深入分析與解決，才不至于被問(wèn)題的一些表面現(xiàn)象所迷惑.

四、培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

思維創(chuàng)造性和創(chuàng)造性思維在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中表現(xiàn)形式是一樣的，即根據(jù)已有的信息與經(jīng)驗(yàn)并在思考、探索的基礎(chǔ)上產(chǎn)生一些新穎、獨(dú)特的有價(jià)值的思維成果.高中數(shù)學(xué)中的“信息遷移題”就是考查學(xué)生思維創(chuàng)造性的有效練習(xí).

例4 已知M（x0，y0）是圓C：x2+y2=r2上一點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線(xiàn)l的方程應(yīng)該是怎樣的？

結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)M（x0，y0）在圓C：x2+y2=r2上時(shí)，直線(xiàn)x0x+y0y=r2是過(guò)點(diǎn)M的切線(xiàn).

教師在此題講解結(jié)束之后可以這樣啟發(fā)學(xué)生：如果M（x0，y0）不在圓上，直線(xiàn)x0x+y0y=r2會(huì)不會(huì)具備其他的意義或性質(zhì)呢？經(jīng)過(guò)一番自主、合作探究易得下列結(jié)論：

結(jié)論1：當(dāng)點(diǎn)M（x0，y0）在圓C：x2+y2=r2外時(shí)，過(guò)點(diǎn)M向圓作兩條切線(xiàn)且與圓切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，故直線(xiàn)AB的方程是x0x+y0y=r2.

結(jié)論2：當(dāng)M（x0，y0）在圓C：x2+y2=r2內(nèi)但不與圓心重合，直線(xiàn)l：x0x+y0y=r2與圓C：x2+y2=r2相離并有以下性質(zhì)：

如圖2，連接OM并延長(zhǎng)交直線(xiàn)l：x0x+y0y=r2于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別是A和B，則直線(xiàn)AB過(guò)點(diǎn)M.

改變點(diǎn)M和圓的位置關(guān)系得到了上述兩個(gè)結(jié)論，那么如果題中某些條件改變之后能否得到其他的結(jié)論呢？經(jīng)過(guò)教師的啟發(fā)，學(xué)生模仿上述探究過(guò)程并得到了以下幾個(gè)新的問(wèn)題：

圖2

問(wèn)題1：已知圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0）上有一點(diǎn)M（x0，y0），則過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線(xiàn)方程是怎樣的？

問(wèn)題2：已知M（x0，y0）是橢圓=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)M的橢圓的切線(xiàn)方程.

問(wèn)題3：?jiǎn)栴}2中的曲線(xiàn)是橢圓，如果這一條件改成雙曲線(xiàn)或者拋物線(xiàn)呢？結(jié)論又會(huì)是什么呢？

教師在教學(xué)中如果想加強(qiáng)學(xué)生思維創(chuàng)造性的培養(yǎng)，首先要讓學(xué)生能夠?qū)λ鶎W(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，引導(dǎo)學(xué)生面對(duì)問(wèn)題時(shí)首先進(jìn)行自主獨(dú)立的思考，然后引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生在合作探究中積極探索并勇于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，問(wèn)題的提出意味著學(xué)生創(chuàng)新思維的啟動(dòng)與發(fā)展.

教育家斯托利爾曾明確表達(dá)了數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)這一鮮明的觀(guān)點(diǎn)，學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展在他的觀(guān)念里是數(shù)學(xué)教學(xué)所有目標(biāo)中應(yīng)該排在首位的.事實(shí)上，重視“雙基”基礎(chǔ)上的思維深度、廣度的挖掘與訓(xùn)練確實(shí)能夠很好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，只有思維品質(zhì)提高了，學(xué)生在分析問(wèn)題、解決問(wèn)題時(shí)才能有較好的基礎(chǔ)與底蘊(yùn)，這對(duì)于素質(zhì)教育的深化改革來(lái)說(shuō)也是極具價(jià)值的有效途徑.