微積分思想和方法在最優(yōu)問題中的應(yīng)用初探

趙齊超　劉濤

【摘 要】數(shù)學(xué)學(xué)科同其他學(xué)科之間存在區(qū)別，可以為其他學(xué)科提供相對(duì)精準(zhǔn)和可靠的計(jì)算方法與數(shù)據(jù)支持，利用微積分能有效解決生產(chǎn)和生活中的最優(yōu)問題。本文對(duì)微積分思想方法在微觀經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域當(dāng)中的應(yīng)用進(jìn)行了簡單概述，最后在此基礎(chǔ)中重點(diǎn)探究了微積分思想方法在最優(yōu)問題解決中的實(shí)際應(yīng)用，旨在為關(guān)注這一領(lǐng)域的人士提供一些可行性較高的參考意見，優(yōu)化微積分解決實(shí)際問題的效果。

【關(guān)鍵詞】微積分；最優(yōu)問題；微觀經(jīng)濟(jì)

【中圖分類號(hào)】G71 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】1671-8437（2018）10-0007-02

隨著我國國民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展以及人民生活水平的提高，各界對(duì)于我國數(shù)學(xué)領(lǐng)域理論知識(shí)，特別是微積分思想方法在解決現(xiàn)實(shí)問題中的應(yīng)用越來越關(guān)注。在科學(xué)技術(shù)發(fā)展的推動(dòng)下，社會(huì)生產(chǎn)和生活中的各個(gè)專業(yè)學(xué)科之間的交融作用越來越明顯。高等數(shù)學(xué)中的微積分思想方法為人們解決生物、醫(yī)療、化學(xué)、軍事和經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的問題提供了許多思路。因此，對(duì)微積分思想方法在最優(yōu)問題中應(yīng)用的研究顯得尤為重要。

1 微積分思想方法在均衡理論中的應(yīng)用

經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域當(dāng)中經(jīng)常會(huì)涉及到邊際分析問題，所謂邊際分析即對(duì)邊際效用進(jìn)行重新解讀，對(duì)其蘊(yùn)含的價(jià)值進(jìn)行重新分析。物品的邊際效用取決于物品的稀缺程度，通常情況下物品數(shù)量越少其邊際效用越明顯，物品的價(jià)值也就越大[1]。邊際效通常會(huì)被認(rèn)為是物品某一項(xiàng)特殊的變量發(fā)生變化之后，另一項(xiàng)變量會(huì)隨之發(fā)生變動(dòng)。在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域當(dāng)中引入邊際分析方法，可以確保當(dāng)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的各項(xiàng)活動(dòng)主體發(fā)生變化時(shí)，市場和價(jià)格之間的機(jī)制能夠解決經(jīng)濟(jì)問題。微積分中的微分概念可以幫助經(jīng)濟(jì)學(xué)中的消費(fèi)者均衡理論問題，分析在何種條件下消費(fèi)者可以獲取最大化的效益。從實(shí)際出發(fā)，無論是基數(shù)效用理論還是序數(shù)效用理論，都可以得出如下結(jié)果： ，邊際效用以公式中的MU來表示，而物品的價(jià)格則用字母P表示。利用微積分進(jìn)行分析可以得出，當(dāng)消費(fèi)者的貨幣收入固定，市場中的商品價(jià)格不等時(shí)，消費(fèi)者效用最大化均衡條件為消費(fèi)者最后一元錢的邊際效用最大化。

2 微積分思想方法在彈性經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用

微積分思想方法除了可以解決微觀經(jīng)濟(jì)當(dāng)中的均衡理論問題之外，在彈性經(jīng)濟(jì)問題的解決中也具有較好的應(yīng)用效果。在經(jīng)濟(jì)函數(shù)當(dāng)中，因變量對(duì)于自變量變化的反應(yīng)程度通常情況下會(huì)用彈性經(jīng)濟(jì)概念進(jìn)行表示[2]。一般來說，彈性概念可以表示為經(jīng)濟(jì)函數(shù)因變量的變化百分比除以導(dǎo)致其變化的自變量變化的百分比。需求彈性可以通過需求函數(shù)中的產(chǎn)品價(jià)格、相關(guān)產(chǎn)品價(jià)格、消費(fèi)者收入以及產(chǎn)品廣告費(fèi)等自變量的變化，判斷因變量的反應(yīng)情況，用公式表示即為：y=f（x），其中的相對(duì)改變量為ΔY/Y，自變量ΔX/X，當(dāng)變量ΔX趨近于0時(shí)，公式用來表示。由此可見，在解決彈性經(jīng)濟(jì)問題時(shí)，微積分思想方法也具有較好的應(yīng)用效果。

3 微積分思想方法用于解決最小成本問題

設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某區(qū)間內(nèi)部有定義，當(dāng)這一區(qū)間中的任意一點(diǎn)x（x≠x0）時(shí)，若能始終確定f（x）

例如，當(dāng)某機(jī)械工廠生產(chǎn)的機(jī)械零件x個(gè)，成本為mx3-nx2+px，將此時(shí)的成本函數(shù)設(shè)為C（x）=mx3-nx2+px，其中m>0、n>0、p>0。最小平均成本和邊際成本可以表示為C（x）=m（）2-2n（）+p= ，根據(jù)微積分的計(jì)算思想和計(jì)算方法，可以將導(dǎo)數(shù)C'（x）進(jìn)一步變成為3mx2-2nx+p，在x=n/2m時(shí)，C（n/2m）=3m（）2-2n（）+p= ，由此可得，企業(yè)的最小平均成本與其對(duì)應(yīng)的邊際成本相等。

4 微積分思想方法用于解決最大利潤問題

微積分思想和方法在解決最大利潤相關(guān)問題時(shí)，同樣也具有較好的應(yīng)用效果。利用微積分思想方法，能幫助企業(yè)判斷出在不同變量影響下，、企業(yè)的經(jīng)營成本和凈利潤之間的關(guān)系，從而解決若想使經(jīng)營利潤最大化，企業(yè)需要控制的變量種類以及如何進(jìn)行變量控制等方面問題。例如，設(shè)定某企業(yè)將生產(chǎn)零件的初始投資成本設(shè)定為50，000元，變動(dòng)成本為每個(gè)零件20元，商品價(jià)格函數(shù)P=60- ，其中Q為產(chǎn)品的銷售量，分析當(dāng)企業(yè)零件的生產(chǎn)量達(dá)到多少時(shí)，企業(yè)才能獲取最大的經(jīng)濟(jì)利潤。根據(jù)上述條件可以得出，企業(yè)生產(chǎn)成本函數(shù)C（Q）=50000+20Q，生產(chǎn)商品全部銷售得到的毛利潤為R（Q）=P·Q=（60- ）（Q）=60Q- ，凈利潤L（Q）=R（Q）-C（Q）=60Q- +40Q-5000，根據(jù)微積分思想，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)，經(jīng)過計(jì)算可以得出，當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量為20，000個(gè)時(shí)，此時(shí)的企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益會(huì)達(dá)到最大值，最大利潤為35，000元。此種方式可以為現(xiàn)代企業(yè)在經(jīng)營和管理過程中計(jì)算成本最低和利潤最高等最優(yōu)問題，提供可靠的理論和數(shù)據(jù)支持。

綜上所述，在人類社會(huì)發(fā)展的各個(gè)階段，數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)也得到了不斷深化和完善。數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)已經(jīng)全面滲透到人們?nèi)粘Ｉa(chǎn)和生活的各個(gè)領(lǐng)域當(dāng)中，對(duì)于人們的生活產(chǎn)生了巨大的影響。今后，在計(jì)算機(jī)技術(shù)和互聯(lián)網(wǎng)信息技術(shù)必將取得長足的發(fā)展與進(jìn)步，數(shù)學(xué)同其他領(lǐng)域的學(xué)科之間的聯(lián)系也會(huì)更加緊密，微積分的應(yīng)用范圍和影響力不斷擴(kuò)大，掌握嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)方法對(duì)于社會(huì)發(fā)展具有積極的作用。

【參考文獻(xiàn)】

[1]王嬌.淺談高數(shù)微積分思想及其在實(shí)踐中的應(yīng)用[J].科技視界，2015（14）.

[2]吳迪.基于二進(jìn)制極值優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階PID控制方法及其應(yīng)用研究[D].溫州大學(xué)，2016.