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    淺析第三代微積分

    2020-03-13 08:08:01夏云青夏云龍
    數(shù)學學習與研究 2020年4期
    關鍵詞:微積分數(shù)學家實數(shù)

    夏云青 夏云龍

    【摘要】本文首先回顧了微積分的發(fā)展史,重點介紹第三代微積分的內(nèi)容及應用價值,最后提出希望廣大數(shù)學教育工作者熱心研究數(shù)學教育,隨著新思想和新方法的普及,能將微積分變成多數(shù)學生都容易理解的一門數(shù)學課程.

    【關鍵詞】極限;不等式;微分中值定理;乙函數(shù);差商有界;強導數(shù);廣義差商有界;赫德爾導數(shù);連續(xù);數(shù)學教育

    【基金項目】2017年鄭州工程技術學院校級教學改革項目(ZGJG2017023B).

    微積分是理工、經(jīng)管類本科學生的一門必修的重要基礎理論課.通過本課程的學習,要使學生獲得微積分的一些基本概念、基本理論和基本運算技能,為學習后繼課程和進一步獲取數(shù)學知識奠定必要的數(shù)學基礎.同時,逐步培養(yǎng)學生抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力和自學能力,還要特別注意培養(yǎng)學生綜合運用所學知識去分析問題和解決問題的能力.但是對一部分學生來說,學起微積分來可真是力不從心,下了九牛二虎之力,但結果總令人不滿意.多年來國內(nèi)外從事數(shù)學教育的工作者也是使盡一切解數(shù),大多是從教學方法、解題技巧上做一些創(chuàng)新改革使學生容易理解記憶傳統(tǒng)微積分的一些概念結論,而第三代微積分則是以全新的方式處理微積分,改革微積分本身,目的是使學生先明白微積分的原理,然后在此基礎上更深入地學習微積分,這樣就不會“知其然而不知其所以然”了.那么什么是第三代微積分呢?

    一、微積分的誕生

    17世紀,伴隨著工業(yè)革命和科學技術的發(fā)展,給數(shù)學界提出了許多十分棘手但又需迫切解決的問題,對于這些問題的研究,促使微積分作為一門學科而誕生.歸納總結主要是四類問題:第一類,求曲線上任意點處的切線;第二類,求運動物體的瞬時速度;第三類,求函數(shù)的最值;第四類,求曲線長度、曲線所圍平面圖形的面積、曲面所圍立體圖形的體積、物體重心等.

    二、微積分發(fā)展回顧

    第一代微積分是由戈特弗里德·威廉·萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646年7月1日—1716年11月14日,德國哲學家、數(shù)學家)和牛頓(Isaac Newton,1643—1727,英國偉大的物理學家、數(shù)學家)各自創(chuàng)建的微積分.這時的微積分誰也說不清楚,出現(xiàn)00的問題,我們知道分母不能為0.創(chuàng)建者說不清楚,使用微積分解決問題的數(shù)學家也說不明白,導致了第二次數(shù)學危機.微積分的原理雖然說不清楚,但是微積分的應用卻很廣泛.所以微積分在說不清楚的情形下發(fā)展了130多年.

    第二代微積分是在19世紀末期產(chǎn)生的,當時柯西(Cauchy,1789—1857,法國偉大的數(shù)學家、物理學家、天文學家)和魏爾斯特拉斯(Weierstass,Karl Theodor Wilhelm,1815—1897,德國偉大的數(shù)學家)等建立了嚴謹?shù)臉O限理論,用極限給出了無窮小的概念,夯實了微積分的基礎,形成了第二代微積分.這次數(shù)學家把微積分說清楚了,第二次數(shù)學危機解除了.但是由于概念煩瑣,邏輯推理很多,對絕大多數(shù)學習高等數(shù)學的人來說,仍然是聽不明白的、搞不清楚的.微積分在多數(shù)學習者弄不清楚的情形下,又向前發(fā)展了170多年.

    第三代微積分是正在創(chuàng)建和發(fā)展的新一代的微積分.人們希望微積分不但嚴謹,而且直觀明了.讓學習者用較少的時間和精力就能夠明白其原理,不但知其然而且知其所以然,不但數(shù)學家能說清楚,而且非數(shù)學專業(yè)的學生也能聽得明白.

    近幾十年來,國內(nèi)外都有人從事第三代微積分的研究和教學實踐.我國的林群院士在此方向上做了近10年的研究工作,代表作有《微積分快餐》,還有張景中院士的《直來直去的微積分》,他們以全新的方式處理微積分,被稱為第三代微積分.

    三、第三代微積分

    四、第三代微積分的價值

    第三代微積分的出現(xiàn)和發(fā)展,對數(shù)學教育的影響是不言而喻的,微積分入門難的問題有望解決;絕大多數(shù)學習微積分的學生知其然而不知其所以然的情形有望改觀;對數(shù)學系的學生來說,了解微積分的新概念和新方法也可以使自己的學習內(nèi)容更加豐富多彩,親身經(jīng)歷學科大發(fā)展大變化,對啟發(fā)創(chuàng)新思維也是大有裨益的.因此,建議所有學習微積分的學生、所有講授微積分的教師,都能夠在百忙之中抽空翻閱一下第三代微積分的內(nèi)容,多角度地思考微積分,相信一定能從第三代微積分的思想和方法中獲益.

    目前,第三代微積分的內(nèi)容還沒有作為教材在各高等院校推廣使用.但是有專家建議:第三代微積分可以限制在初等數(shù)學范圍內(nèi)講授,因為它沒有極限的內(nèi)容,便于高中學生掌握和理解.而以極限為基礎的微積分是人類智慧的最高成果,在大學講授,這樣可以避免中學微積分和大學微積分之間的重復.筆者很贊成這個建議.

    另外,第三代微積分也有其學術價值.現(xiàn)代物理認為,當測量的尺度小到一定程度時,時間和空間的性質(zhì)成為量子了,這樣就不能像牛頓所想象的讓時間間隔趨于0來取極限,也就是說基于實數(shù)理論和極限概念的數(shù)學模型僅僅是現(xiàn)實物理世界的近似描述.如果采用第三代微積分的理論,用估值不等式作為數(shù)學模型,就克服了這個缺點,使數(shù)學理論更適應于現(xiàn)實物理世界.

    我們大家知道,計算機只能計算有理數(shù).但在傳統(tǒng)微積分中,計算所用的理論和公式卻是借助實數(shù)理論推導出來的.能不能不依賴于實數(shù)理論為計算機所用的計算方法提供理論依據(jù)呢?第三代微積分提供的數(shù)學模型,恰好可以為計算機所用的微積分提供理論基礎.

    第三代微積分基本理論的建立不依賴實數(shù)理論和極限,但并不排斥實數(shù)理論和極限.極限思想是數(shù)學的精華之一,極限的理論和計算在微積分中有重要的地位.實數(shù)理論對存在性的論證是不可或缺的.

    五、提出希望

    當代著名的數(shù)學家阿蒂亞在1976年任倫敦數(shù)學會主席時的演說中,有這樣幾句話:“如果我們積累起來的經(jīng)驗要一代一代傳下去,就必須不斷努力把它們簡化和統(tǒng)一.”“過去曾經(jīng)使成年人困惑的問題,在以后的年代里,連孩子們都能容易地理解.”作為人類精神的最高的成果,微積分曾使成年人中的數(shù)學家都感到困惑.我們希望并且相信,在不遠的將來,隨著新思想和新方法的普及和應用,微積分將會變成多數(shù)孩子都容易理解的一門數(shù)學課程.

    【參考文獻】

    [1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].北京:高等教育出版社,2014:127.

    [2]林群.新版微積分[R].北京:科學技術出版社,2006.

    [3-13]張景中.直來直去的微積分[M].北京:科學技術出版社,2016.

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