試談“圖形直觀”的表現形式及教學策略

李玲玲

孔凡哲和史寧中教授提出：“幾何直觀是借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關系，對數學的研究對象（空間形式和數量關系）進行直接感知、整體把握的能力?！睆倪@里可以知道，幾何直觀與“圖形”是密不可分的?？追舱芙淌谡J為，在中小學數學中，幾何直觀具體表現為四種表現形式：實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀。而在小學數學教學中，圖形直觀發(fā)揮著重要的作用，圖形直觀是以明確的幾何圖形為載體的幾何直觀。圖形教給學生用直觀圖示描述問題的方法，是發(fā)展學生直觀感受力的重要途徑。本文擬從圖形直觀的表現形式及教學策略入手，談談自己的幾點思考，就教于方家。

一、 小學數學中圖形直觀的幾種表現形式

在小學數學中，圖形直觀的常見表現形式主要有以下幾種：

1.線段圖

在各種版本教材中，畫線段圖仍然是引導學生解決問題的一種輔助策略。在問題解決過程中，利用線段圖將題中蘊涵的抽象的數量關系以形象、直觀的方式表達出來，能有效促進問題的解決，這已成為許多數學教師的普遍共識。比如，在解決問題時，借助線段圖（如圖1）可以幫助學生分析數量關系，明確各部分間的關系。

2.方形圖

方形圖是一種借助長方形來分析數量關系的圖形。比如，在學習乘法分配律時，可以引導學生觀察長方形圖（如圖2），ac表示的是哪部分面積？bc表示的是哪部分面積？大長方形的面積可以怎樣計算？通過學生的觀察、思考，在頭腦中構建出了一個乘法分配律的思維圖形，這樣可以避免出現類似（a+b）c=ac+b的常見錯誤。又如，在解決面積變化問題“開心農場有一塊長方形試驗田。如果這塊試驗田的長增加6米，或者寬增加4米，面積都比原來增加48平方米。你知道原來試驗田的面積是多少平方米嗎？”時，引導學生借助方形圖（如圖3）來思考，能幫助學生化解困難，更容易找到思維的切入點。

3.模型圖

新加坡把數學模型方法作為重要的解題策略，不僅教材中有許多范例，作業(yè)中也要求學生用圖形展示其思考過程，并將其作為新加坡的數學教學特色和重要的學習策略積極向外推介。這一方法是要求學生畫出圖片模型來表征題目中的數量（已知和未知的）以及數量之間的關系（部分——整體或比較），來幫助他們形象化數量關系以解決問題。比如，在解決問題“一個筐子，4塊大鵝卵石和2塊小鵝卵石共重千克。一個筐子，2塊大鵝卵石和1塊小鵝卵石共重千克。一個空筐子重多少千克？”時，老師這樣引導學生畫圖并思考（如圖4）。新加坡小學數學模型方法與我國的線段圖在教學效果上有異曲同工之妙，但模型圖更符合兒童的認知特點，幫助學生溝通形象與抽象的聯(lián)系。

4.集合圖

集合圖就是文氏圖，也稱韋恩圖，是用封閉曲線（內部區(qū)域）表示集合及其關系的圖形。運用集合圖，能幫助學生理清信息之間的邏輯關系。例如，在學習方程的意義時，借助集合圖（如圖5）可以幫助學生理解“方程一定是等式，但等式不一定是方程”的意義。

5.關系圖

這樣的圖能幫助學生厘清問題中蘊含的邏輯關系。例如，在教學人教版五年級下冊“打電話”一課時，可以引導學生畫圖（如圖6）來表示出思維過程，這樣有助于厘清思路，從而計算出“打電話所需要的最少時間”。而北師版教材《成員間的關系》中有兩個圖（如圖7），左圖是帶情境的說明圖，右圖只是關系的呈現，就更加結構化了。

6.示意圖

這里有兩種情況，一種是用普通的圖形來代替問題中的事物，比如“白兔有2只，黑兔有8只，黑兔的只數是白兔的幾倍？”（如圖8），可以用圓形來代替白兔和黑兔的只數，從而找出它們之間的關系；另一種是用簡筆畫的形式，描述出問題的信息。又比如“氣象組有12人，攝影小組人數是氣象小組的航模小組的人數又是攝影小組的，航模小組有多少人？”有學生畫出下邊的圖（圖9），在這個圖中，學生對分數的意義理解是非常清晰的。

7.替代圖

替代圖是依據兒童的思維特點和認知水平，用自己能理解的圖形或符號來幫助理解題意的圖形。這樣的圖形在兒童學習過程中經常出現。如圖10，學生用線段的形式，模擬出鐘面時間的進程，這是在實物直觀的基礎上，進行一定程度的抽象，形成半符號化的直觀。

又如，求平均數問題“有8個數，從小到大排列，前5個數的平均數是46，后4個數的平均數是68，問第5個數是多少？”時，引導學生畫圖整理信息，有學生用字母替代數（如圖11），這樣，就能很直觀地看出“第5個數在兩句話中的位置”，有效地找到了解決問題的切入點。

直觀，通常沒有經過嚴格的邏輯推理，卻往往能把握對象的全貌和本質。借助幾何圖形的直觀，常常能發(fā)現圖形之間的關系，甚至會產生對相關數量之間關系的猜想，在研究數學問題的過程中，幾何直觀有時能使問題變得簡明。從以上各類小學數學學習過程中出現的圖形可以看出，畫圖是一個“去情境化”的過程，能夠直觀呈現數量關系，是幫助學生理解數學問題的重要補充，有利于學生對問題的理解；數學中的圖形是一種最簡單的數學語言，體現了一種數學的簡潔美；畫圖是對現實中數學問題不斷抽象的過程，有助于培養(yǎng)學生的抽象能力，以及抓住問題本質尋找解決策略的能力。因此，在小學數學學習過程中，應重視學生圖形直觀意識與能力的培養(yǎng)。

二、 小學數學教學中圖形直觀的教學實施策略

史寧中教授說：“直觀并不是一成不變的，隨著經驗的積累其功能可能逐漸加強”，“只有把‘先天的存在與后天的經驗有機結合起來，才能形成人的直觀能力”。雖然學生的幾何直觀有先天的成分，但后天的有意培養(yǎng)與強化，能使孩子的幾何直觀得到有效發(fā)展。以下談談小學數學學習過程中圖形直觀教學的實施策略。

1.有機結合，幾何直觀應滲透在各個領域的教學中

培養(yǎng)和發(fā)展學生的幾何直觀是數學課程“圖形與幾何”領域的核心目標之一，這也是之前數學課改關注比較多的。但教師應明確，“幾何直觀”并不僅僅與“幾何”相關，在數與代數、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐活動領域都應該抓住契機，有意識地滲透在日常的教學環(huán)節(jié)中。比如，在統(tǒng)計與概率的教學中，利用條形統(tǒng)計圖能很好地幫助學生理解求平均數問題“移多補少”的道理。

2.開發(fā)課程，培養(yǎng)學生的圖形直觀意識

在各種版本教材中，蘇教版教材在四下安排了《解決問題的策略——畫圖》，引導學生學會用方形圖來解決有關面積變化的數學問題，除此之外，與其他版本教材一樣，對于培養(yǎng)學生的圖形直觀意識和能力大都借助于具體的教學內容，采用有機結合甚至是滲透式的方式，并不作為單獨的教學內容?？梢哉f，教師在教學過程中，如果沒有對圖形直觀充分的重視，圖形直觀的培養(yǎng)就有可能陷入“可有可無”的尷尬狀況。因此，作為教師，應該在解讀現有教材的基礎上，開發(fā)設計有利于培養(yǎng)學生圖形直觀能力的課程。江蘇育才小學蔡月珍老師給三年級學生上的《畫圖學數學》一課，為我們做了很好的示范。蔡老師自主設計教學內容，引導學生感受畫圖的優(yōu)勢，掌握畫圖的策略，她引導學生經歷了“美術圖”到“數學圖”的變化過程，從實物直觀（課件模擬情境）到符號直觀再到圖形直觀，學生不僅經歷了思維的發(fā)展過程，而且深刻地感受到了數學圖形的“簡潔美”。除此之外，線段圖可以適當強化，新加坡的模型圖也可以適當借鑒。當然，這需要教師樹立新的數學課程觀。

3.呵護個性，尊重學生的“獨特”圖形

曾幾何時，線段圖是小學數學學習過程中必過的一關，有些教師強求學生一定要畫出規(guī)范的線段圖再解題，因此使不少學生“望圖生畏”，對畫圖產生厭煩，也影響了學生畫圖的積極性，幾何直觀的培養(yǎng)也無從談起了。我認為，針對兒童喜歡求異的心理，可以允許學生畫有個性的圖形，教師應充分地呵護學生的這種幾何直觀意識，尊重并欣賞學生的個性化圖形。而這也往往能給教師帶來很多驚喜。比如，在解決問題“一個人帶兩只桶去河邊取水，一只桶能裝3千克水，一只桶能裝5千克水?，F在要取4千克水，應該怎樣做？”時，我班學生出現了下面的圖文表示方法。（如圖13、14）