例談教材跨度與深度的把握

方翠琴

一、 教材循序漸進(jìn)的利與弊

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在編排上從數(shù)與計算、空間與圖形、統(tǒng)計與概率、實(shí)踐與綜合運(yùn)用（現(xiàn)已調(diào)整為數(shù)與計算、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實(shí)踐）四個維度體現(xiàn)循序漸進(jìn)、螺旋上升的特點(diǎn)。先以《認(rèn)識分?jǐn)?shù)》為例，看教材的漸進(jìn)性：

三年級上冊《認(rèn)識分?jǐn)?shù)》讓學(xué)生結(jié)合具體情境初步理解分?jǐn)?shù)的意義，認(rèn)、讀、寫簡單的分?jǐn)?shù)。先教學(xué)幾分之一，再教學(xué)幾分之幾，然后教學(xué)同分母分?jǐn)?shù)（分母小于10）的加減計算。

三年級下冊《認(rèn)識分?jǐn)?shù)》包括兩方面內(nèi)容：一是把由若干個物體組成的一個整體平均分成幾份，用幾分之一或幾分之幾這樣的分?jǐn)?shù)表示這個整體里的一份或幾份。二是應(yīng)用對分?jǐn)?shù)的理解，解決求一個整體的幾分之一或幾分之幾是多少個物體的實(shí)際問題。這兩個內(nèi)容，前者是重點(diǎn)、是基礎(chǔ)，后者為前者服務(wù)。

五年級下冊《認(rèn)識分?jǐn)?shù)》，在三年級教材初步認(rèn)識了分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上繼續(xù)教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義，涉及的有關(guān)知識比較多，大致分成五部分編排。

第36～37頁 分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)單位。

第38～43頁 真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)，用分?jǐn)?shù)表示兩個數(shù)量的關(guān)系。

第44～46頁 分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，用分?jǐn)?shù)表示除法的商。

第47～50頁 帶分?jǐn)?shù)，假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)與小數(shù)相互改寫。

第51～54頁 全單元內(nèi)容的整理與練習(xí)。

此外教材還安排了《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》和《分?jǐn)?shù)加法和減法》的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

六年級上冊學(xué)習(xí)內(nèi)容有《分?jǐn)?shù)乘法》、《分?jǐn)?shù)除法》、《分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算》。

從以上羅列中不難看出，教材由淺入深、由易到難、循序漸進(jìn)，系統(tǒng)安排了分?jǐn)?shù)相關(guān)知識的學(xué)習(xí)內(nèi)容，這樣安排既便于教師的“教”，更利于學(xué)生的“學(xué)”。

而對有些學(xué)習(xí)內(nèi)容，這種“蜻蜓點(diǎn)水”式的教學(xué)有時會顯得浮于表面，學(xué)生學(xué)得倒是輕松，但解決問題時就明顯感覺知識輻射不夠；教師教學(xué)時會有種“手腳被困”的感覺，講透了，知識“跨度”偏大，超出了教學(xué)內(nèi)容；不深究，不便解決問題，“深度”達(dá)不到，無法拓展。

二、 “漸進(jìn)”形成的跨度構(gòu)成了對深度的制約

以《圖形與幾何》板塊中“認(rèn)識物體”為例，看看“漸進(jìn)”形成的跨度對深度的制約：

教材安排一年級（上冊）認(rèn)識“體”，一年級（下冊）認(rèn)識“形”，這是從兒童的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，重組學(xué)科的知識體系。人們認(rèn)識事物一般是從粗略的整體感知開始，然后對物體進(jìn)行細(xì)致觀察和局部研究。客觀世界最常見的是各種形狀的物體，其“面”是附著于“體”上的。兒童首先看到的是一個個物體，在整體感知“體”的基礎(chǔ)上，才能逐漸研究“面”，建立“形”的概念。所以，先認(rèn)識“體”，后認(rèn)識“形”能降低認(rèn)知難度，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)。一年級下冊教學(xué)直觀認(rèn)識長方形、正方形、圓、三角形和平行四邊形。教學(xué)要求是：整體感知每種圖形的形狀，形成初步的表象；能識別各種圖形，在常見物體上找到這些形狀的面，并說出它們的名稱；能用簡單的方法制作這些圖形，初步感受圖形的變換。不細(xì)致研究圖形的邊和角，不用語言描述圖形的特征。

二年級（上冊）繼續(xù)教學(xué)直線圖形，使學(xué)生知道圖形的邊，初步認(rèn)識四邊形、五邊形、六邊形，感受圖形的變換。

二年級（下冊）《認(rèn)識角》。

三年級（上冊）《長方形和正方形》。

四年級（上冊）《平行和相交》。

……

一年級（下冊）的《認(rèn)識圖形》，是在學(xué)生直觀認(rèn)識了長方體、正方體、圓柱等幾何體的基礎(chǔ)上，通過一些實(shí)踐操作（用積木畫、紙折、釘子板圍、方格紙畫），教學(xué)生直觀認(rèn)識一些常見的平面圖形：長方形、正方形、圓、三角形和平行四邊形，教材只是作了“直觀認(rèn)識”“初步感知”的基本要求（直觀認(rèn)識平面圖形，初步感知平面圖形的基本特征），教學(xué)目標(biāo)似乎也不難達(dá)到。

但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生的作業(yè)卻常會出現(xiàn)一些狀況，畫圖形時，長方形、正方形、平行四邊形無法辨別，分析其原因如下。

1.學(xué)生態(tài)度不端正，難以畫出標(biāo)準(zhǔn)圖形

少數(shù)學(xué)生缺乏認(rèn)真的態(tài)度，畫圖時不用尺，隨手畫，這樣即使在方格紙上也不可能畫平直，更何況是在“找規(guī)律填空”之類，在白紙上畫圖形的作業(yè)，對一年級學(xué)生來說是很難隨手畫出標(biāo)準(zhǔn)圖形的。要避免這種情況，可以通過嚴(yán)格的要求加以改進(jìn)，嚴(yán)格要求學(xué)生畫圖時一律要用尺。

2.學(xué)生不會用尺，無法畫出標(biāo)準(zhǔn)圖形

有了嚴(yán)格的要求，也不能保證學(xué)生畫出的圖形就很規(guī)范。如要求把一個正方形或長方形分成2個三角形時，會出現(xiàn)這樣的作業(yè)：

很顯然，學(xué)生用尺畫圖時不會對準(zhǔn)。針對這一情況，教師教學(xué)中除了嚴(yán)格要求，還要仔細(xì)加以方法指導(dǎo)。

3.學(xué)生認(rèn)識模糊，難以呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)圖形

對一個僅僅能“初步感知平面圖形的基本特征”的一年級學(xué)生而言，作業(yè)中出現(xiàn)這樣不標(biāo)準(zhǔn)的長方形和正方形似乎不足為奇，作為教師的我們，面對這樣的作業(yè)唯一能說的可能也就是“你覺得這像長方形（正方形）嗎？”，只能借助學(xué)生對長方形、正方形的初步感知去驗證、修改，卻給不了明確的修改方法。此時，我們會想：如果學(xué)生知道“平行”、“直角”，問題就明朗、易解決多了，可“直角”是二年級下冊的內(nèi)容，“平行”是四年級上冊的內(nèi)容。

當(dāng)然，這個問題無需明朗化，憑借學(xué)生正確的“感知”也是可以解決的。但有些問題卻不是“感知”所能化解的。

分成2個長方形 分成4個正方形

分成2個平行四邊形 分成2個三角形和1個長方形

這4題，用紙去折一折，學(xué)生不會出現(xiàn)多大的問題，無需細(xì)說。

但要在圖中分一分，就困難得多。以下列作業(yè)為例：

學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的問題，顯而易見是對所學(xué)圖形邊的特點(diǎn)沒有把握，而圖形的“邊”和“角”的特征是三年級上冊所要了解的，如果學(xué)生掌握了長方形、平行四邊形對邊相等的特征，只要細(xì)心地量一量，認(rèn)真地畫一畫，很容易就可以將一個長方形或平行四邊形分成2個或幾個大小相等或大小不等的長方形或平行四邊形，上述問題就不會普遍存在。而要將一個正方形分成4個小正方形要拓展的知識就更多了，除了要知道正方形4條邊相等，還要知道“中點(diǎn)”以及如何找出線段的中點(diǎn)，這些顯然都超出了一年級的教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)要求。

顯然，教材對知識的“跨度”分割制約了某個階段對知識“深度”的挖掘。

三、 把握“度”，化解跨度對深度的制約

1.跨度小，將感知的表象“明朗化”

如，認(rèn)識長方形、正方形、平行四邊形時，運(yùn)用折、剪、拼、圍等直觀操作，讓學(xué)生在操作中知道長方形、平行四邊形的對邊相等，正方形4條邊都相等，這樣的知識拓展只是讓學(xué)生對圖形特點(diǎn)的感知在直觀操作中明朗化而已，不會加深學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，反而為解決上述問題提供了便捷。

2.操作難度大，可將拓展的知識“模糊化”

分成4個正方形

將一個正方形分成4個正方形，僅僅知道正方形4條邊相等，很難把一個正方形分成4個小正方形，而學(xué)生如果能找到每條邊的中點(diǎn)，問題就簡單多了，為此要讓學(xué)生知道什么是中點(diǎn)以及如何找中點(diǎn)。知道什么是中點(diǎn)，并不難，而要找出一條線段的中點(diǎn)，對一年級的學(xué)生來說，難度并不小，若線段的長度是整厘米數(shù)，并且是雙數(shù)的還比較好找，若長度不是整厘米數(shù)或不是雙數(shù)，則難度更大。對一年級學(xué)生而言，操作要求不必太高，只要差距不大，感覺上相等即可。我們可以進(jìn)行如下的分步操作：

讓學(xué)生先在方格紙中的正方形上分，這樣學(xué)生借助方格就能很輕松地分出4個正方形，完成后再讓學(xué)生觀察分割線的位置，知道分割線在大正方形的中間，模糊拓展了“中位線”、“中點(diǎn)”的知識，建立了這樣的感知，再要求學(xué)生在沒有方格的正方形中分時，學(xué)生就會通過感知和調(diào)整作出較標(biāo)準(zhǔn)的分割。

3.跨度大，則借助操作、感知進(jìn)行遷移

如：

分成2個三角形和1個長方形

完成這樣的操作后，拓展的知識就更多了，知識跨度相對也就更大。學(xué)生僅僅感知“長方形相鄰的兩條邊直直的，平行四邊形相鄰的兩條邊斜斜的”還不夠，需要明確知道：長方形相鄰的兩條邊直直的，是有一定標(biāo)準(zhǔn)的，要成90°，是垂直關(guān)系；還得學(xué)會畫垂線。否則，學(xué)生畫出的圖，很容易就將一個平行四邊形分成了2個三角形和1個平行四邊形。

可能存在這樣的困惑：做這樣的練習(xí)勢必要肆意拔高教材的要求，如若不然，該如何教學(xué)生解決這些問題？亦或回避這類練習(xí)，降低要求，只限操作，用紙折一折？

回避此類練習(xí)或肆意拔高教材要求均不可取，課堂教學(xué)中，我利用學(xué)生較易接受折紙的現(xiàn)狀，啟發(fā)學(xué)生思考：怎樣把這種分法畫出來？

引導(dǎo)：折三角形的時候，我們是把左下角向右平折，保持下面的一條邊重合，并且折痕要經(jīng)過左上角，怎樣確保畫出的圖也能達(dá)到這一要求呢？可以啟發(fā)學(xué)生借助工具。學(xué)生借助三角尺，會把三角尺擺成左側(cè)三角形的方位，然后把三角尺向右翻轉(zhuǎn)，并使翻轉(zhuǎn)后的三角尺下面的邊和圖形的底邊重合，翻轉(zhuǎn)后的三角尺左邊經(jīng)過圖形的左上角，并沿著三角尺的左側(cè)畫一條直線，右側(cè)方法相似，亦或量出中間長方形下面一條邊的長度，在圖形的上面截取同樣長的一條邊，學(xué)生借助操作，也能感知出分割的要點(diǎn)，而不是盲目分割。這樣，就能有效地遏制畫出的圖形不規(guī)范的現(xiàn)象大量發(fā)生。

我想，只要我們把握一個度，就不會違背循序漸進(jìn)的思想；運(yùn)用一些方法，一樣可以幫助學(xué)生解決這些有深度、有難度的問題。