對比法在“數(shù)字信號處理”課程中的應用

鄒寶娟 譚文群

摘 要：本文針對“數(shù)字信號處理”課程的特點，將對比教學法應用于課程的教學實踐，以達到培養(yǎng)學生思維能力，改善教學效果，提高教學質(zhì)量的目的。

關鍵詞：對比法；數(shù)字信號處理；譜分析

一、 引言

對比法就是對各相互聯(lián)系的對象進行比較，找出其異同點。在教學中，對比法是非常重要的方法之一，恰當?shù)剡\用對比的方法，能加強學生對課程中基本概念和規(guī)律本質(zhì)的理解，對培養(yǎng)學生的思維能力，加強學生對基本知識的理解和記憶，提高課堂教學效果都是有好處的。

“數(shù)字信號處理”是用數(shù)值計算的方法對信號進行處理的一門學科，課程內(nèi)容涉及面廣、理論性強、概念抽象多，起點高，難度大。學生們初學時常感覺到概念難以建立，方法難以掌握。通過對數(shù)字信號處理課程內(nèi)容的梳理可以發(fā)現(xiàn)，很多基本概念、性質(zhì)和算法之間有著密切的聯(lián)系，具有某些相似性。同時，該課程與先修的“信號與系統(tǒng)”在理論基礎、分析方法上密切相關，知識繼承性強。因此，在數(shù)字信號處理課程教學中恰當運用對比法，有助于學生在新舊知識之間建立聯(lián)系，溫故而知新，使學生更深刻理解基本概念、掌握正確的學習方法，提高學生的學習興趣。

下面就此談幾點具體的做法。

二、 綜合運用多種對比法，加深學生對概念的理解和對性質(zhì)及算法的把握

對比的方法多種多樣，如新舊對比、正反對比、相似對比、同類對比、總結(jié)對比等。恰當?shù)剡\用對比法可以加深學生對課程中概念的理解和對性質(zhì)及算法的把握。

（一） 系統(tǒng)因果性、穩(wěn)定性的判斷

在離散時間系統(tǒng)的分析中，系統(tǒng)的因果性、穩(wěn)定性判斷問題是一個學生易錯的知識點。在該課程中，判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性共有三種方法：定義、充要條件和系統(tǒng)函數(shù)的極點分布（收斂域）。之所以有三種判斷方法，跟系統(tǒng)的描述法有關。離散時間系統(tǒng)可以分別從時域和Z域（復頻域）進行描述，時域的描述有輸入輸出描述法和系統(tǒng)的單位脈沖響應兩種，Z域的描述是系統(tǒng)函數(shù)（傳輸函數(shù)）。這三種系統(tǒng)描述法分別對應系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性的判斷的三種方法，如表1。

按照表1，我們可以根據(jù)給定的系統(tǒng)描述方法確定采用相應的判斷法。筆者在教學過程中發(fā)現(xiàn)有的學生只記充要條件，往往把簡單問題復雜化了。如系統(tǒng)H（z）=1-z-1（1-0.9z-1）（1-0.2z） 5<|z|≤∞，判斷其因果性穩(wěn)定性。按照表1中第三種方法，系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包含∞點，但不包含單位圓，這是一個因果且不穩(wěn)定的系統(tǒng)。有的學生第一反應是進行逆Z變換，大量計算（計算過程復雜易出錯）最后還是得到一個不正確的結(jié)論。

y（n）=∑Mi=0bix（n-i）-∑Ni=1aiy（n-i）

系統(tǒng)n時刻的輸出取決于n時刻及n時刻以前的輸入信號，而和n時刻以后的輸入信號無關

系統(tǒng)對任意的有界輸入，都能得到有界輸出

系統(tǒng)的單位脈沖響應

h（n）

系統(tǒng)的單位脈沖響應是因果序列

h（n）=0 n<0

系統(tǒng)的單位脈沖響應絕對可和∑∞n=-∞|h（n）|<∞

系統(tǒng)函數(shù)

H（z）

系統(tǒng)函數(shù)的極點均在某個圓內(nèi)，收斂域包含∞點

系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包含單位圓

（二） 譜分析中譜線密度與頻譜分辨率的對比

對信號進行譜分析，就是計算信號的傅里葉變換。由于DFT是時域和頻域均為離散化的變換，適合數(shù)值運算，所以常采用DFT對連續(xù)信號進行譜分析。譜分析中需要經(jīng)歷2個步驟：一是時域采樣并且截斷；二是為了數(shù)值計算，在頻域上也要離散化。其中柵欄效應、頻率分辨率是譜分析中常見的問題。

因為DFT計算頻譜只限制在基頻整數(shù)倍處的頻譜，兩點之間的頻譜值不知道，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應。減少柵欄效應的一種方法是增加頻域的采樣點數(shù)N，在不改變時域長度的情況下，可以在時域數(shù)據(jù)的尾部加零，增加一個周期內(nèi)的點數(shù)，這樣進行DFT后譜線更密。

頻率分辨率是譜分析中能夠分辨的兩個頻率分量最小的間隔。為提高頻率分辨率，在不減小譜分析范圍的情況下，只能增加觀測時間，即實際信號的長度及相應的采樣點數(shù)。而補零不能增加數(shù)據(jù)的有效長度，是不能提高頻率分辨率的。

下面通過一個例子來說明譜線密度與頻率分辨率的不同。設時域采樣后的信號為x（n）=cos（0.46πn）+sin（0.54πn），分別求采樣20點的低密度譜，采樣20點且補80個零的高密度譜，以及采樣10點的高分辨率譜，如圖1。

（a） （b） （c）

圖1 低密度譜、高密度譜及高分辨率譜的對比

從圖1中可以知道，圖（a）的譜線間隔和頻率分辨率均為2π20=0.1π；圖（c）的譜線間隔和頻率分辨率均為2π100=0.02π；圖（b）的譜線間隔為2π100=0.02π，與圖（c）的譜線間隔相同，譜線密度明顯高于圖（a），原來看不到的譜分量可以看到了，有效地減少了柵欄效應。由于圖（b）中數(shù)據(jù)的有效長度是20個點，所以圖（b）的頻率分辨率是2π20=0.1π，與圖（a）的頻率分辨率相同，即頻率分辨率較低。原信號中有兩個頻率分量，分別是0.46π和0.54π，它們相差0.08π，圖（a）和圖（b）的頻率分辨率為0.1π>0.08π，不足以區(qū)分出兩個頻率分量，而圖（c）的頻率分辨率為0.02π<0.08π，能夠區(qū)分出這兩個頻率分量。由于是周期信號，有效長度取信號周期的整數(shù)倍還可以減少頻譜泄漏。

三、 一題多解對比，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造思維能力

本課程的各種運算不少，經(jīng)常有意識地讓學生做一些一題多解練習并加以對比，可擴展學生的思維空間，增強運用知識的靈活性，對所學知識融會貫通，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造思維能力。

例如，求兩序列h（n）=δ（n）+2δ（n-1）+3δ（n-2），x（n）=δ（n）+2δ（n-1）線性卷積。

在數(shù)字信號處理中，卷積運算是求線性時不變系統(tǒng)輸出的主要方法，其定義為y（n）=x（n）*h（n）=∑∞m=-∞x（m）h（n-m），求兩個有限長序列的線性卷積，可采用圖表法、解析法、豎式乘法等多種方法。以本題為例。

（1）圖表法 該法按照卷積的定義，在圖形上分為翻褶、移位、相乘、相加幾個步驟，列表如表2：

最后得卷積結(jié)果y（n）=δ（n）+4δ（n-1）+7δ（n-2）+6δ（n-3）

（2）解析法 該法可以分成幾個區(qū)間來分別考慮，對于有限長序列，可用單位脈沖序列來表示，并利用卷積運算性質(zhì)進行計算，如式1。

y（n）=h（n）*x（n）=[δ（n）+2δ（n-1）+3δ（n-2）]*[δ（n）+2δ（n-1）]=δ（n）+2δ（n-1）+3δ（n-2）+2δ（n-1）+4δ（n-2）+6δ（n-3）=δ（n）+4δ（n-1）+7δ（n-2）+6δ（n-3）（1）

（3）豎式乘法 如式2，這種方法要注意n=0的位置。

卷積結(jié)果為y（n）=δ（n）+4δ（n-1）+7δ（n-2）+6δ（n-3）

除這三種方法，MATLAB信號工具箱還提供了conv函數(shù)用于計算兩個有限長序列的線性卷積。

通過此例，不僅總結(jié)了求卷積的幾種不同方法，通過對比，也活躍了學生的思維。

四、 結(jié)語

數(shù)字信號處理課程教學中可以進行的對比是多種多樣，在教學中采用對比法對于提高學生靈活運用能力，建立縱橫交錯的基礎知識網(wǎng)都有很大提高。但對比法不是萬能的，應根據(jù)學生的特點，結(jié)合其他教學方法和教學手段，使學生在牢固掌握專業(yè)知識的同時，提高創(chuàng)造性思維和分析與解決問題的能力。

參考文獻：

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[3] 程佩青.數(shù)字信號處理教程（第2版）[M].北京：清華大學出版社，2001.

作者簡介：

鄒寶娟，譚文群，江西省南昌市，南昌工程學院信息工程學院。