反應(yīng)擴散模型數(shù)值解及生物斑圖中的應(yīng)用

艾合麥提尼亞孜·艾合麥提江，開依沙爾·熱合曼

(1.和田師范?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院, 新疆 和田 848000;2.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 烏魯木齊 830046)

在研究經(jīng)典生物動力系統(tǒng)中，很多模型沒有考慮到空間因素而建立差分方程或常微分方程模型來研究生物動力系統(tǒng)生物進化過程。實際上所有動物、植物等生物群體都生活在空間環(huán)境中。為了提高研究的準確性，切近現(xiàn)實，在研究某些生物動力系統(tǒng)時，一定要考慮其所在空間和時間中的演化問題[1]。1952年計算機科學(xué)之父英國著名數(shù)學(xué)家 Turing 在論文《形態(tài)形成的化學(xué)基礎(chǔ)》[2]中用一個反應(yīng)擴散模型成功地解釋了某些生物群體表面上的圖文，并提出空間斑圖的Turing原理，之后他的研究在物理和化學(xué)中得到了發(fā)展，但是實驗中一直未能得到證實。1991年我國理論生物學(xué)家歐陽頎在實驗中首次發(fā)現(xiàn)二維Turing斑圖與Turing分岐[3-4]，從而使理論研究有了實驗上證據(jù)。國內(nèi)外學(xué)者也進行了大量空間斑圖的研究。

用反應(yīng)擴散模型來研究斑圖動力學(xué)行為是非常有趣和重要的，便于實施有效的利用和控制以及解釋某些生物反應(yīng)擴散系統(tǒng)所呈現(xiàn)出來的各種空間斑圖。本文應(yīng)用幾種常用的反應(yīng)擴散模型通過計算機模擬手段來研究各種斑圖結(jié)構(gòu)。

1 生物斑圖動力學(xué)

生物斑圖(pattern)是在空間或時間上具有某種規(guī)律性的非均勻宏觀結(jié)構(gòu)，在大自然經(jīng)常遇到。動物身上的斑圖(如斑馬、魚、蛇等)都是生物斑圖。生物斑圖在動力學(xué)中得到廣泛研究。動物斑圖結(jié)構(gòu)通常是群體之間局部相互作用和擴散形成的，利用反應(yīng)擴散方程來討論生物群體的空間結(jié)構(gòu)使得我們能有效解釋某些斑圖現(xiàn)象。

2 反應(yīng)擴散模型

自然界經(jīng)?？吹缴锇邎D，如魚外表面的花紋以及斑馬身上的斑紋等，如圖1所示。

為什么會出現(xiàn)這些豐富多彩的紋理形態(tài)呢？為了解決這個問題，Turing[2]提出了反應(yīng)擴散模型，并用一組反應(yīng)擴散方程闡釋，從而有了生物形態(tài)發(fā)生的化學(xué)理論基礎(chǔ)。模型中的兩種化學(xué)反應(yīng)物質(zhì)(活化因子和抑制因子)是相互作用的并且獨自擴散的，模型表明了這些分子自發(fā)地形成穩(wěn)定的周期性，被稱作Turing模型。當反應(yīng)-擴散模型形成Turing模型時，活化因子(activator)及抑制因子(inhibitor)顯示出穩(wěn)定分布。一般擴散是指濃度和溫度等達到均勻分布的現(xiàn)象。但是，反應(yīng)擴散系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)在某種條件下將失去均勻化，并自發(fā)形成非均勻化現(xiàn)象，體現(xiàn)出了不同的模樣，并且還能說明擴散組織細胞間用化學(xué)物質(zhì)的相互反應(yīng)來形成形態(tài)的現(xiàn)象。

圖1 自然界生物斑圖形態(tài)

3 反應(yīng)擴散模型穩(wěn)定性分析

下面對雙變量反應(yīng)擴散系統(tǒng)為例進行線性穩(wěn)定性分析。雙變量化學(xué)反應(yīng)擴散方程的一般形式為：

(1)

令X=X0+x,Y=Y0+y,代入方程經(jīng)泰勒級數(shù)展開，去掉高階項可得線性微擾方程

代入微擾方程(2)，可得特征方程：

解特征方程，可得色散關(guān)系：

其中：

trk=a11+a22-k2(Dx+Dy)=

tr0-k2(Dx+Dy)

(6)

Δκ=a11a22-a21a12-k2(a11Dx+a22Dy)+

k4DxDy=?Δ0-k2(a11Dx+a22Dy)+k4DxDy

(7)

解得

當λk的實部都小于0時，微擾量衰變?yōu)?，而系統(tǒng)穩(wěn)定。有一個λk>0時，微擾變量不斷增加，系統(tǒng)的均勻定態(tài)解(X0,Y0)失穩(wěn)。設(shè)λk是μ的函數(shù)：λK=λk(μ)，臨界點μc，λk(μc)=0, ?λk/?μ≠0，則μ=μc是系統(tǒng)的一個動力學(xué)分岔(支)點。

4 反應(yīng)擴散系統(tǒng)中的分支問題

生物反應(yīng)擴散系統(tǒng)所呈現(xiàn)的各種空間斑圖的根本原因是非線性分支作用破壞了時間和空間的對稱性。這種方程常依賴于各種參數(shù)(溫度、催化率和擴散率)。當這些參數(shù)發(fā)生變化時，方程的解的數(shù)目和穩(wěn)定性都可能發(fā)生突然的變化。因此，分支分析是理解動力學(xué)的關(guān)鍵。

系統(tǒng)的不動點從穩(wěn)定焦點向不穩(wěn)定焦點的轉(zhuǎn)換時出現(xiàn)Hopf分支，對應(yīng)非平衡相變，是指系統(tǒng)從空間均勻定態(tài)到對時間的周期振蕩態(tài)，對應(yīng)時間平移對稱性破缺。當系統(tǒng)在臨界點，即trk=0時，如果Δk>0，則系統(tǒng)出現(xiàn)Hopf分支，文獻[7]中詳細地介紹了Hopf分支。

文獻[8]給出Turing分支發(fā)生的必要條件，并且給出系統(tǒng)分支區(qū)域，見圖2。

圖2 系統(tǒng)分支區(qū)域

5 利用Matlab數(shù)值模擬Gray-Scott模型

化學(xué)有一個反應(yīng)擴散系統(tǒng)，稱之為Gray-Scott模型[9]，該模型實驗證明參考理論分析[10]可以參考斑圖實驗[11-13]，下面討論模型不同時間段的數(shù)值模擬。

(9)

取初始條件為：

當1≤x,y≤1.5時，

u(x,y,0)=1-2v(x,y,0)

參數(shù)取值為：D1=8×10-5，D2=4×10-5，γ=0.024,κ=0.06[10]。由數(shù)值微分公式得到下面的離散形式：

(10)

利用Matlab得到的在不同時間段離散結(jié)果的圖像如圖3所示。

6利用Matlab數(shù)值模Schnackenberg模型

Schnackenberg 模型[12]最早是在研究三分子自催化反應(yīng)時提出的。量綱為一方程為：

參數(shù)取值為[13]：γ=800,a=0.250, b=0.1, d=20。

初始條件如下:

u0=cos(2πx)cos(2πy)

v0=cos(2πx)cos(2πy)

(12)

利用Matlab得到的不同區(qū)間的離散結(jié)果圖像如圖4所示。

我們發(fā)現(xiàn)模擬得到的圖像與自然界某些生物斑圖基本相似，如圖5所示。

7 利用Excel數(shù)值模擬Gray-Scott模型

對于Gray-Scott模型，同樣利用顯式差分格式Gray-Scott模型離散形式(10)，有關(guān)參數(shù)取值如下：dt=0.01, dx=0.05,γ=3，κ=2，D1=0.03,D2=0.033。

圖3 Gray-Scott模型的時間演化

圖4 Schnackenberg 模型的空間演化

圖5 實驗結(jié)果圖與生物圖比較

巧妙應(yīng)用Microsoft Excel的重新計算和迭代計算功能，將通過1 400次迭代計算得到的數(shù)據(jù)插入曲面圖表得到圖6。

圖6 Gray-Scott模型Excel離散圖

8 結(jié)果分析

本文以常用的反應(yīng)擴散模型Gray-Scott模型和Schnackenberg 模型為例，用差分方法，運用Excel和Matlab工具對具有不同的初始條件、不同的空間尺度、不同的時間段的兩種模型進行計算機數(shù)值模擬，從而得到了各種各樣相似于生物斑圖結(jié)構(gòu)，通過數(shù)值模擬的結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)：不同的區(qū)間和時間對斑圖形成與形狀有一定的影響，但對一定空間標準的群體而言，充分長的周期內(nèi)生物群體在空間中能表現(xiàn)出一定的空間有序斑圖結(jié)構(gòu)。