基于GARCH模型的上證50的比較研究

胡后燕

(安徽大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

一、VaR及波動(dòng)率介紹

(一)VaR的描述

VaR一般表示在一定風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)下的價(jià)值，即在一定的置信水平下某個(gè)既定的持有時(shí)間內(nèi)，某種金融序列或者金融組合可能會(huì)遭受的最大限度上的損失額度。對(duì)于VAR的理解需要掌握幾個(gè)要點(diǎn)：首先是置信水平，VAR不是一般意義上的損失額而是對(duì)應(yīng)置信水平的最大損失額。其次是持有期VAR是對(duì)應(yīng)持有期的潛在的最大損失額。最后就是正常市場(chǎng),VaR不是極端市場(chǎng)的最大損失額而是正常市場(chǎng)中出現(xiàn)的最大損失[1]。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)講VaR就是針對(duì)某個(gè)損益在預(yù)期分布里面相應(yīng)的置信水平下的分為點(diǎn)數(shù)的值，其數(shù)學(xué)表達(dá)形式為：

VAR的計(jì)算公式為：

式中的V0代表金融序列的初始值，δ為方差，Zα表示下分位數(shù)，T表示持有期。

(二)波動(dòng)率的描述

傳統(tǒng)的理論一般認(rèn)為市場(chǎng)是有效的，波動(dòng)率指的是資產(chǎn)收益率的條件標(biāo)準(zhǔn)差，因此金融資產(chǎn)的波動(dòng)是恒定的，金融序列的波動(dòng)性基本上不會(huì)因?yàn)闀r(shí)間的關(guān)系改變，根據(jù)很多的實(shí)證研究結(jié)果，我們可以總結(jié)金融序列在波動(dòng)性方面存在一些比較明顯的特點(diǎn)。如，金融序列的波動(dòng)性一般在均值旁邊的點(diǎn)會(huì)存在比正態(tài)分布的狀態(tài)下更高的尖峰厚尾的特點(diǎn)，同時(shí)在分布的尾部也會(huì)看起來(lái)比正態(tài)分布寬大，分布的峰高超過(guò)3；金融序列的某一個(gè)變動(dòng)后面會(huì)伴隨著一種相應(yīng)的變動(dòng)，這就是所謂的波動(dòng)集聚效應(yīng)。波動(dòng)性對(duì)有利和不利消息的反應(yīng)展現(xiàn)出不對(duì)稱(chēng)的狀態(tài)，也就是說(shuō)在一定的條件下，不利消息對(duì)市場(chǎng)的影響要超過(guò)有利消息，這就是非對(duì)稱(chēng)性。金融序列收益率的絕對(duì)值展現(xiàn)出緩慢衰減的現(xiàn)象，即使相互之間有著較長(zhǎng)的時(shí)間間隔，也還是相互間存在關(guān)聯(lián)，這就是長(zhǎng)期記憶性所呈現(xiàn)的歷史對(duì)將來(lái)的影響。在一定程度上長(zhǎng)期記憶性表明收益存在可預(yù)測(cè)性，市場(chǎng)上可能因?yàn)槭找娴目深A(yù)測(cè)性產(chǎn)生套利行為[2]。因此有效市場(chǎng)假說(shuō)不成立。波動(dòng)性是影響上證50股票交易的因素之一，筆者側(cè)重對(duì)上證50股票收益率的波動(dòng)性進(jìn)行研究，考量其條件異方差模型。條件異方差模型有兩種類(lèi)型，一種是從函數(shù)的角度去描述方差；另外一種是借助隨機(jī)方程來(lái)描述方差。GARCH模型就是屬于第一種類(lèi)型。波動(dòng)率模型主要研究資產(chǎn)收益率是序列相不相關(guān)，還是低階相關(guān)的，我們可以通過(guò)對(duì)金融序列的單位根檢驗(yàn)圖來(lái)進(jìn)行判斷。假設(shè)金融資產(chǎn)的收益率序列為Xt,我們知道波動(dòng)率是刻畫(huà)金融序列收益率的某種相關(guān)關(guān)系，如果給定前一時(shí)刻已經(jīng)獲得的信息集合是我們可以得到Xt的條件均值和條件方差，其關(guān)系式分別為：

μ=E(Xt/Ft-1)

δ2=VaR(Xt/Ft-1)=E[(Xt-μt2/Ft-1)]

上述Ft-1表示已知的信息集合，它包括了金融資產(chǎn)收益率的函數(shù)，在某種程度上條件異方差模型就是把一個(gè)動(dòng)態(tài)方程加到一個(gè)金融序列的模型里面，這又在一定程度上闡明了資產(chǎn)收益率的條件異方差會(huì)順時(shí)而變的特點(diǎn)。

二、理論模型的介紹

(一)ARCH模型

恩格爾在1982年提出了ARCH模型，認(rèn)為時(shí)間序列數(shù)據(jù)一般存在一種特殊的異方差，即自回歸條件異方差。ARCH模型的簡(jiǎn)單形式為：

ARCH(1):Yt=βXt+εt

Xt=δtεt

ARCH模型認(rèn)為金融序列的擾動(dòng)項(xiàng)之間是不相關(guān)的并且相互之間也是不獨(dú)立的；金融序列收益率的某一種變動(dòng)往往可能會(huì)跟著一個(gè)類(lèi)似的變動(dòng)。我們一般用LM檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)、Q檢驗(yàn)，來(lái)檢驗(yàn)金融序列的ARCH效應(yīng)，這里最常用的就是拉格朗日乘數(shù)法檢驗(yàn)，檢驗(yàn)步驟為：

H0:α1=α2=…αp如果α1=α2=…αp=0則說(shuō)明不存在ARCH效應(yīng)，如果其中存在一個(gè)αp不是0，說(shuō)明ARCH效應(yīng)是存在的。然后檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為L(zhǎng)M=nR2～χ2(q)這里的n代表樣本數(shù)量，R2代表輔助回歸項(xiàng)系數(shù)，如果原假設(shè)被推翻則認(rèn)為該金融序列存在ARCH效應(yīng)，反之如果原假設(shè)成立則樣本序列不存在ARCH效應(yīng)。

(二)GARCH模型

由上式可知，t期殘差的方差由其滯后一期殘差的平方和滯后一期殘差方差的平方?jīng)Q定，將上式進(jìn)行推廣可以得到更一般的GARCH模型，即GARCH(p,q)模型，其方程形式為:

在GARCH模型里面有幾個(gè)重要的參數(shù)，即α，表示誤差系數(shù)，它在很大程度上決定了金融序列的波動(dòng)性對(duì)市場(chǎng)運(yùn)動(dòng)反應(yīng)的敏感度，并且α數(shù)值越大，意味著波動(dòng)性的反應(yīng)越迅速。α的數(shù)值通常小于0.25;β表示滯后系數(shù)，它在很大程度決定著波動(dòng)性對(duì)市場(chǎng)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生反應(yīng)的持久性，β的數(shù)值越大，說(shuō)明產(chǎn)生波動(dòng)越持久。β數(shù)值通常大于0.7;上述兩個(gè)參數(shù)的和(α+β)被持久稱(chēng)作持久度，它的作用就是在一定程度上決定著波動(dòng)性向均值反轉(zhuǎn)的速度。(α+β)的數(shù)值越大，說(shuō)明持久性越強(qiáng)，向均值回復(fù)的速度就會(huì)更慢。

(三)TGARCH模型

不利的消息往往比有利的消息對(duì)金融資產(chǎn)的價(jià)格產(chǎn)生更大更強(qiáng)烈的影響，鑒于此Glosten,Jagannathan and Runkle在1993年提出了TGARCH模型。

假設(shè)條件方差方程為：

(四)EGARCH模型

EGARCH模型是由于對(duì)稱(chēng)的ARCH類(lèi)模型無(wú)法準(zhǔn)確地反映正負(fù)沖擊效應(yīng)而提出的改進(jìn)模型，在一定程度上可以處理股價(jià)比的非對(duì)稱(chēng)分布問(wèn)題。它的一般形式為：

(五)PGARCH模型

PGARCH模型是由Ding在1993年提出的，它具有一套科學(xué)模型，并能進(jìn)行量化計(jì)算。

三、實(shí)證分析

偏度S=-0.274635<0，峰度K=6.534878>3，這說(shuō)明上證50指數(shù)收益率比正態(tài)分布的圖像偏左一些并且呈現(xiàn)尖峰后尾的分布狀態(tài)。

表1 數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征

圖1 上證50基本統(tǒng)計(jì)特征

圖1里面的后兩項(xiàng)是總體分布的正態(tài)性檢驗(yàn)所采取的Jarque-Bera檢驗(yàn)所得到的結(jié)果，我們一般假設(shè)在JB檢驗(yàn)里面樣本序列一般服從正態(tài)分布，其檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為：

式中S表示金融樣本序列的偏動(dòng)幅度，K表示金融樣本序列的峰高，m代表進(jìn)行樣本序列估計(jì)時(shí)所采用的樣本系數(shù)的個(gè)數(shù)。一般在零假設(shè)的情況下，我們可以認(rèn)JB統(tǒng)計(jì)量服從χ2(2)分布通過(guò)Eviews軟件操作的結(jié)果，我們可以判讀有沒(méi)有必要拒絕原假設(shè)。由圖1我們可以看到，這里的概率值近乎為0，則說(shuō)明了在至少99%的置信水平的條件下我們可以不接受原假設(shè)，即認(rèn)為金融樣本序列不服從正態(tài)分布。

緊接著利用QQ圖做驗(yàn)證，見(jiàn)圖2。

通過(guò)圖2我們可以看到，金融序列樣本的值在一起呈現(xiàn)出一條彎曲的線，與圖中傾斜45°的直線相偏離，即此金融序列不是正態(tài)分布。

(一)平穩(wěn)性檢驗(yàn)

檢驗(yàn)上證50指數(shù)對(duì)數(shù)收益率的單位根得如下結(jié)果，見(jiàn)表2。

表2 上證50對(duì)數(shù)收益率序列的單位根檢驗(yàn)圖

由此可以知道上證50對(duì)數(shù)收益率的單位根相較于臨界值小，說(shuō)明這個(gè)金融序列較為穩(wěn)定，繼續(xù)檢驗(yàn)相關(guān)和偏自相關(guān)性如下：

圖3 上證50指數(shù)對(duì)數(shù)收益率自相關(guān)圖

根據(jù)圖3，我們可以利用上證50的三階滯后量來(lái)求自相關(guān)函數(shù)值和偏自相關(guān)函數(shù)值，得知上證50指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率之間的關(guān)聯(lián)度不明顯，但是在更高階之后關(guān)聯(lián)度呈現(xiàn)明顯的現(xiàn)象。

(二)檢驗(yàn)條件異方差性

進(jìn)行條件異方差檢驗(yàn)就是判斷金融序列是否存在ARCH效應(yīng)，可以通過(guò)上面的結(jié)果知道樣本平方回報(bào)率存在著自相關(guān)性，緊接著用兩種方式檢查是不是存在條件異方差。

1.檢驗(yàn)殘差圖法

由圖4，可以得知?dú)埐钚蛄写嬖诓▌?dòng)集聚效應(yīng)，認(rèn)為金融序列存在條件異方差。

2.檢驗(yàn)ARCH效應(yīng)

一般根據(jù)ARCH效應(yīng)的存在與否來(lái)判斷隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是否存在GARCH效應(yīng)，利用拉格朗日乘數(shù)法檢驗(yàn)ARCH效應(yīng)。假設(shè)模型隨機(jī)誤差項(xiàng)εt～ARCH(q)建立輔助回歸方程：

圖4 殘差圖

若檢驗(yàn)的原假設(shè)H0=α1=α2=…=αq=0，則說(shuō)明不存在ARCH效應(yīng)，若回歸系數(shù)至少存在一個(gè)不為0，說(shuō)明序列存在ARCH效應(yīng)不接受原假設(shè)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為L(zhǎng)M=nR2～χ2(q)這里的n表示樣本個(gè)數(shù)，R2表示回歸系數(shù)。如果原假設(shè)被推翻則認(rèn)為金融序列有ARCH效應(yīng)，反之樣本序列不存在ARCH效應(yīng)。其結(jié)果見(jiàn)表3。

由上面的分析可以看出最小二乘法的檢驗(yàn)結(jié)果中的統(tǒng)計(jì)量Obs*R-squared的值及其概率，及統(tǒng)計(jì)量F的值及其概率，概率值都將近為零，由此認(rèn)為金融序列存在ARCH效應(yīng)。[4]

(三)建立GARCH模型對(duì)其進(jìn)行參數(shù)估計(jì)

筆者將對(duì)3個(gè)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差，由標(biāo)準(zhǔn)差得到VAR的值。

1.GARCH(1，1)的模型

表3 ARCH-LM檢驗(yàn)結(jié)果輸出

需要對(duì)這里的(α0α1γ1)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

2.EGARCH(1,1)的模型

需要對(duì)這里的(α0α1γ1β1)4個(gè)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

3.PGARH(1，1)的模型

需要對(duì)這里的(α0α1|1γ1δ)5個(gè)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

表4 正態(tài)分布假定下模型的參數(shù)估計(jì)

注：上述括號(hào)內(nèi)的數(shù)字表示為t的估計(jì)統(tǒng)計(jì)量，***表示在1%的置信水平下顯著；**表示在5%的置信水平下顯著；*表示在10%的置信水平下顯著。

表5 在T分布的假定下模型的參數(shù)估計(jì)

表6 在GED分布假定下模型的參數(shù)估計(jì)

上述表4、表5、表6是由Eviews得到的在正態(tài)分布、T分布、廣義誤差分布下的參數(shù)估計(jì)的結(jié)果，我們可以知道3個(gè)模型在1%的置信水平下都是比較顯著的，擬合的效果較好。在GARCH、EGARCH、PGARCH模型下γ都比零大，這在一定程度上說(shuō)明有非對(duì)稱(chēng)效應(yīng)的存在，即不好的消息會(huì)比好的消息對(duì)市場(chǎng)產(chǎn)生更大的影響。根據(jù)檢驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)3個(gè)模型的參數(shù)都是顯著的，而在對(duì)殘差項(xiàng)進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)的時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)異方差現(xiàn)象不是很明顯，這說(shuō)明了上述模型可以比較好地刻畫(huà)上證50的對(duì)數(shù)收益率的異方差現(xiàn)象。

表7 正態(tài)分布下的VAR的計(jì)算結(jié)果

表8 T分布下VAR的計(jì)算結(jié)果

表9 廣義誤差分布下VAR的計(jì)算結(jié)果

(四)VAR的計(jì)算和回測(cè)檢驗(yàn)

利用Eviews軟件得到金融序列的條件異方差，根據(jù)條件異方差算出標(biāo)準(zhǔn)差，然后將其帶入VaR的公式里面，我們可以得到在不同分布不同置信水平下的VaR值。計(jì)算出所有金融序列VAR值的平均值，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行回測(cè)檢驗(yàn)，一個(gè)簡(jiǎn)單的做法就是向后構(gòu)建一個(gè)檢驗(yàn)樣本。比如樣本數(shù)為300天，根據(jù)2016年11月10日到2018年1月26日每日交易收盤(pán)價(jià)，逐日計(jì)算頭寸損益，并將計(jì)算結(jié)果按升序排列，即可得到一個(gè)關(guān)于損益的排序結(jié)果。然后把金融序列的VAR均值與頭寸損益的絕對(duì)值進(jìn)行比較，如果VAR均值大于頭寸損益，說(shuō)明檢驗(yàn)失?。蝗绻鸙AR均值小于頭寸損益，說(shuō)明檢驗(yàn)成功。統(tǒng)計(jì)出失敗天數(shù)和失敗頻率就可以得到上面的3個(gè)表，即表5、表6、表7。

(五)模型的效果分析和比較

通過(guò)以上的3個(gè)計(jì)算VAR結(jié)果的表格，(見(jiàn)表7，表8,表9)我們可以看到上證50對(duì)數(shù)收益率在T分布下失敗天數(shù)和失敗率最小，這說(shuō)明在T分布條件下，金融序列的尾部特征得到了較好的表現(xiàn)，但是在T分布下金融序列的VAR值高于正態(tài)分布和廣義誤差分布，從側(cè)面反映出其風(fēng)險(xiǎn)被高估，正態(tài)分布和廣義誤差分布的估計(jì)效果也不錯(cuò)，失敗天數(shù)和失敗率一致。

綜上，可以發(fā)現(xiàn)在同一個(gè)分布條件下，GARCH模型、EGARCH模型、PGARCH模型的VAR值在同一個(gè)置信區(qū)間相差不大，在失敗率和失敗天數(shù)上正態(tài)分布和廣義誤差分布上基本一致，并且在正態(tài)分布和廣義誤差分布下VAR的值在相同的置信區(qū)間下，GARCH模型下的VAR值要高于EGARCH和PGARCH值，說(shuō)明EGARCH模型和PGARCH模型的擬合效果比GARCH模型的擬合效果要好。這同時(shí)證明上證50指數(shù)存在顯著的杠桿效應(yīng)，不好信息給股市帶來(lái)影響力比好的信息給股市帶來(lái)的影響力還要大。

四、結(jié)論

第一，上證50對(duì)數(shù)收益率呈現(xiàn)出左偏，尖峰后尾的特點(diǎn)，并且有強(qiáng)烈的波動(dòng)聚集，存在自回歸的條件異方差，從檢驗(yàn)結(jié)果可以看出歷史的波動(dòng)對(duì)將來(lái)的波動(dòng)變化的影響變得逐漸減小。

第二，上證50的收益率序列存在比較顯著的杠桿效應(yīng)，也就是在相同的條件下，股市中的利空消息給市場(chǎng)帶來(lái)的影響比利好消息帶來(lái)的影響更大，也就是所謂的非對(duì)稱(chēng)效應(yīng)。

第三，我們根據(jù)GARCH模型族對(duì)金融序列進(jìn)行一系列的檢驗(yàn)，得到了在正態(tài)分布、T分布以及廣義誤差分布下的參數(shù)，由參數(shù)可以得到模型在99%的置信區(qū)間內(nèi)比較顯著，從整體上來(lái)說(shuō)正態(tài)分布的結(jié)果較為保守，而T分布和廣義誤差分布的效果要略勝一籌。