2018年全國I卷理科數(shù)學第19題溯源與探究

廣東省華南師范大學附屬中學汕尾學校(516600) 劉光明

2018年全國1卷理科數(shù)學第19題解析幾何試題雖說平淡但卻蘊含著知識的本質(zhì),經(jīng)過試題的多解與拓展,從橢圓特殊情況到橫縱向的探究,發(fā)現(xiàn)對于一般的二次曲線同樣具有相似性質(zhì),并且它們的逆命題也是成立的.本文試圖通過8個結論的推理論證和闡述,挖掘其中的通性通法,最后因探究而引發(fā)了數(shù)學核心素養(yǎng)背景下圓錐曲線的一些教學思考.

1 試題呈現(xiàn)與多解

方法2(同一法):根據(jù)橢圓的對稱性,要證∠OMA=∠OMB,只需要證點A關于x軸的對稱點A′′在直線MB上即可,因此只需證明直線MA′′與直線AF的交點B在橢圓上即可.不妨設A(x0,y0)為第一象限點,則點A關于x軸的對稱點A′′(x0,?y0),直線AF的方程為

圖1

評析試題在給定橢圓方程的基礎上,研究過焦點的直線與橢圓的位置關系,通過定點M、直線與橢圓的交點,兩者建立關系,即可通過解析法將等角的幾何性質(zhì)轉化為代數(shù)方程,也可以通過三角相似解決與橢圓有關的幾何問題,為不同基礎和能力的考生搭建思維平臺,也使解析幾何的思想方法在解答過程中得以展示.試題通過直線和橢圓的幾何性質(zhì)建立幾何元素之間的關系,營造數(shù)形結合的環(huán)境.

2 試題背景溯源

歷年來,全國卷的解析幾何問題都牽動著一線數(shù)學教師的心,也是最容易受到狂熱挖掘的素材之一.2018年全國1卷文理解析幾何雖題目的呈現(xiàn)的曲線不同,但考查的核心知識點一致,細細查找不難發(fā)現(xiàn)其根源,具體摘抄如下:

背景1[1]人教A版選修4-4教材第34頁習題2.2第2題,摘抄如下:已知橢圓上點B,B′的連線垂直于長軸,橢圓上除了點B,B′外任意一點,與B,B′連線分別與x軸交于P,Q兩點,O橢圓中心,求證:|OP||OQ|為定值為a2.

背景2(2015年全國1卷理科第20題)在直角坐標系xOy中,曲線與直線l:y=kx+a(a＞0)交于M,N兩點.(1)當k=0時,分別求曲線C在點M和N處的切線方程;(2)y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由.

背景3(2013年陜西高考理科第20題)設拋物線C:y2=8x,若點B(?1,0),設不垂直于x軸的直線l與C有兩個不同的交點P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,則l過定點(1,0),反之也成立.

背景4[2]文獻[2]中定理2指出:已知N(n,0),M(m,0)(mn=a2)是橢圓(a＞b＞0)的一對“伴侶點”.過M作與坐標軸不平行的直線l與橢圓相交于A,B兩點,則直線AN和直線BN與x軸成等角.

從上述的4個背景可以發(fā)現(xiàn)無論是期刊文章還是高考試題,更甚至是課本習題都對試題考查核心知識和思想方法進行了深入的挖掘,因此在平時的教學過程中必須要重視課本之源,關注學科前沿領域之水.固本清源,水到渠成.

考題因探究而精彩,數(shù)學中的許多發(fā)現(xiàn)常常都是通過類比、歸納、猜想和證明的基本思路進行.作為全國卷的考題更是匯聚我國數(shù)學工作者的智慧結晶,無論橫向探究還是縱向挖掘都值得用心雕琢.

3 縱向探究

下面主要證明結論1,結論2的證明可以仿造進行,不再贅述.

證明根據(jù)已知,不妨設直線l的方程為x=my+t,消去x可得(b2m2+a2)y2+2b2mty+b2t2?a2b2=0,又N(t,0)為橢圓內(nèi)的點,故直l線與橢圓必相交于兩個不同點,由韋達定理可得

4 橫向探究

結論3如圖2,圓O的直徑DC所在射線上兩點M,N其中N在圓內(nèi),且滿足OC2=OM·ON,過點N的直線交圓O與A,B兩點,則∠OMA= ∠OMB.

圖2

圖3

結論3可以經(jīng)過射影變換可以得到橢圓、拋物線和雙曲線中類似的性質(zhì).

結論4如圖3,設拋物線y2=2px,若點N(n,0),點M(?n,0).過N的直線與拋物線交與A,B,則∠OMA=∠OMB.

證明根據(jù)已知,不妨設直線l的方程為x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x可得y2?2pty?2pn= 0,又N(t,0)為拋物線內(nèi)的點,故直線l與拋物線必相交于兩個不同點,由韋達定理可得y1+y2=2pt,y1y2=?2pn,又則代入整理可得,故k+k=MAMB,于是 ∠OMA=∠OMB.

結論5設雙曲線E:平面內(nèi)一點N(t,0)(t＞a),點M的坐標為.過N的直線l與雙曲線右分支交與A,B,則∠OMA=∠OMB.

通過圓、拋物線的推理論證,可以運用同樣的邏輯推理方法和通性通法得到雙曲線類似結論的證明,有興趣的讀者可以嘗試,在此不作過多論證.至此,二次曲線中相似性質(zhì)都得到了證明,故可總結得到更統(tǒng)一的結論6.

結論6設M是二次曲線Γ對稱軸上的一個定點,A,B為該二次曲線Γ上的兩個動點,且滿足直線AB過定點,則存在λ,μ,t∈R使得λ(kMA+kMB)+μkMAkMB=t.

結論6中,如果取特殊值λ=1,μ=t=0,則得到結論1、結論2、結論3、結論4和結論5等性質(zhì)成立.證明推理過程,請感興趣的讀者自行完成.

5 逆向探究

結論7已知橢圓C:,點直線MA,MB與橢圓分別相交于A,B兩點,且滿足∠OMA=∠OMB,若直線AB斜率存在,則直線AB恒過定點

證明由已知,不妨設直線AB的方程為y=kx+t,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y可得(b2+a2k2)x2+2a2ktx+a2t2?a2b2=0,根據(jù)已知直線MA,MB與橢圓分別相交于A,B兩點,故直線AB必與橢圓相交,即 ?＞0,由韋達定理可得又,則k+k=MAMB因為 ∠OMA= ∠OMB,所以kMA+kMB=0,于是有x2y1+x1y2?m(y1+y2)=2kx1x2+(t?mk)(x1+x2)?2mt=0,將根與系數(shù)關系代入整理得2k(a2t2?a2b2)?2kt(t?mk)a2?2mt(b2+a2k2)=0,所以?2ka2b2?2mtb2=0,又,因此ka2+mt=0,直線AB的方程為,于是直線AB恒過定點

依據(jù)類比可推理得到拋物線和雙曲線也是有類似結論7的結論,故可以概括得到結論8.

結論8設M是二次曲線Γ對稱軸上的一個定點,A,B為該二次曲線Γ上的兩個動點,且滿足λ(kMA+kMB)+μkMAkMB=t(其中λ,μ,t為定值),若直線AB斜率存在,則直線AB過定點.

6 教學與備考啟示

(1)深入挖掘課本教材,關注知識的通性通法.圓錐曲線教學過程中都會感覺到思維的方式還是比較統(tǒng)一,但學生的排斥和畏難心理會給學習帶來巨大的阻礙.因此,在圓錐曲線教學中需要深入挖掘教材,引入數(shù)學文化,讓課堂豐富精彩.解題教學中,需要舍得花時間引領學生審題,逐個條件“翻譯”成數(shù)學知識.滲透轉化思想,采取聯(lián)想和類比的方法,多角度引導學生去選取解法,深入挖掘課本習題,借助變式教學傳遞通性通法.

(2)深入思考,多維分析,培育運算素養(yǎng).運算能力的生成是學生個體的數(shù)學知識、思想、方法、解題經(jīng)驗、情感意識自然內(nèi)化不斷升華的活動過程,是建立在記憶能力、觀察能力、理解能力、表述能力等基礎上的,各種思維能力的聯(lián)系、比較是運算能力生成的關鍵,更是確定解決問題的前提[3].在圓錐曲線甚至是每一節(jié)數(shù)學課中都大膽地給時間讓學生自主去經(jīng)歷和體驗運算程序,日積月累地突破計算難點,培養(yǎng)計算自信心.當然教師也要在課堂中做好良好的示范,耐心指導學生計算困難的解決辦法.通過課堂運算,切實培養(yǎng)運算素養(yǎng).

(3)基于建構主義學習理論在教學中開展類比、猜想探究教學,引導學生關注“前概念”與“科學概念”之間的關系,通過推理論證培育學生合情推理和邏輯推理能力.圓錐曲線具備代數(shù)與幾何的雙重性質(zhì),是培養(yǎng)學生數(shù)形結合思想和思維靈活性的良好契機,故此需要重視挖掘知識間的橫向和縱向聯(lián)系.