多形式設(shè)計(jì)問題 多角度挖掘潛能—基于問題鏈探究一道習(xí)題的性質(zhì)及應(yīng)用

廣東省廣州市從化區(qū)第四中學(xué)(510900) 黃強(qiáng)

采取多種形式設(shè)計(jì)問題鏈,多角度挖掘課本習(xí)題潛在的性質(zhì),既可以有效避免“題海戰(zhàn)術(shù)”,又能較好地培養(yǎng)學(xué)生的探究能力,這也正是新課程標(biāo)準(zhǔn)的重要理念之一.在處理課本例題和習(xí)題時(shí),可以合理設(shè)置問題鏈對其進(jìn)行深化、推廣并綜合應(yīng)用,以促使學(xué)生在探索知識(shí)的過程中,拓寬知識(shí)視野,提高數(shù)學(xué)能力.

一、題源式設(shè)計(jì)問題,發(fā)現(xiàn)習(xí)題的性質(zhì)

例已知點(diǎn)P和點(diǎn)Q是曲線y=x2?2x?3上的兩點(diǎn),且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是1,點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是4.

(1)求割線PQ的斜率;

(2)求曲線在點(diǎn)P處的切線方程.

這是新課程選修1-1中的一道習(xí)題,難度不大,學(xué)生也很容易解答,但筆者不僅僅滿足學(xué)生會(huì)解該題,而是把它設(shè)置為探究性課題,采用多種形式設(shè)計(jì)問題鏈,繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘其潛能,拓展習(xí)題豐富的性質(zhì).

筆者以問題鏈形式引導(dǎo)學(xué)生對此習(xí)題進(jìn)行性質(zhì)探索,原本計(jì)劃兩個(gè)星期完成,由于學(xué)生思路比較活躍,發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)越來越多,結(jié)果又增加了一個(gè)星期.有些問題是筆者提出,而有些問題則是學(xué)生提出,在此不加區(qū)別,均以問題形式表述,下面是對此課題的簡單整理:

問題1已知點(diǎn)P和點(diǎn)Q是曲線y=x2?2x?3上的兩點(diǎn),且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是1,點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是4,直線PA、QA為曲線切線且交于A點(diǎn),你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A、P、Q有什么關(guān)系嗎?

問題2從問題1的結(jié)論中,你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A又與哪個(gè)點(diǎn)有關(guān)系?

問題3已知點(diǎn)P和點(diǎn)Q是曲線y=x2?2x?3上的兩點(diǎn),且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是1,點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是4,線段PQ的中點(diǎn)為H,直線PA、QA為曲線的切線且交于點(diǎn)A,直線AH交曲線于點(diǎn)G,你對過點(diǎn)G的切線有什么發(fā)現(xiàn)嗎?

問題1的設(shè)計(jì)旨在引導(dǎo)學(xué)生從幾何去發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A橫坐標(biāo)是點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)和的一半.問題2的設(shè)計(jì)旨在引導(dǎo)學(xué)生從方程中發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A與線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同.問題3的設(shè)計(jì)略帶開放性,旨在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)過點(diǎn)G的切線平行直線PQ這個(gè)奇妙的性質(zhì).

從問題1至問題3,學(xué)生對可能產(chǎn)生什么結(jié)論進(jìn)行一定的探索,在獲得一些具體的性質(zhì)后,教師繼續(xù)擴(kuò)大學(xué)生視野,推廣到一般拋物線中去進(jìn)行探討.

二、推廣式設(shè)計(jì)問題,挖掘習(xí)題潛在的性質(zhì)

問題4把例題中的拋物線推廣為x2=2py(p＞0),點(diǎn)A,B是拋物線上任意不同的兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為H,切線AC、BC交于點(diǎn)C,直線CH交拋物線于點(diǎn)G,過點(diǎn)G的切線會(huì)平行直線AB嗎?

經(jīng)過探究,得到如下結(jié)論:

性質(zhì)1設(shè)A,B為拋物線E上兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)H,拋物線E在A、B處切線相交于C,直線CH交拋物線E于G,則過G的切線平行直線AB.

問題5上述證明中,點(diǎn)G與線段CH具有怎樣的位置關(guān)系?過點(diǎn)G的切線與△ABC又有什么關(guān)系?

再做探究,就有下列:

推論1設(shè)A,B為拋物線E上兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)H,拋物線E在A、B處切線相交于C,直線CH交拋物線E于G,則G是線段CH中點(diǎn).

推論2設(shè)A,B為拋物線E上兩點(diǎn),拋物線E在A、B處切線相交于C,若E的切線平行直線AB,則該切線是△ABC的中位線.

問題6性質(zhì)1的逆命題成立嗎?(回答是肯定的.)

性質(zhì)2設(shè)A,B為拋物線E上兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)為H,拋物線E在A、B處的切線相交于C,若E的切線平行直線AB,切點(diǎn)為G,則C,H,G三點(diǎn)共線.

問題7從性質(zhì)1、2是否可以統(tǒng)一表述成一個(gè)命題?顯然可以表述以下形式:

性質(zhì)3設(shè)點(diǎn)A,B,G在拋物線E上,線段AB中點(diǎn)H,拋物線E在A、B處切線相交于點(diǎn)C,則過點(diǎn)G的切線平行直線AB的充要條件是C,H,G共線.

問題8在性質(zhì)1的證明過程中,我們能否通過這三條切線方程了解它們的斜率有什么數(shù)量關(guān)系?通過猜想和證明得到如下結(jié)論:

性質(zhì)4點(diǎn)A,B在拋物線E上,拋物線E在A、B處切線相交于C,切線斜率分別為kAC,kBC,以及直線AB的斜率kAB,則

問題9在性質(zhì)1中,兩條切線斜率之積和直線OA,OB的斜率又有什么數(shù)量關(guān)系?

經(jīng)過簡單的探究,就可以得到下列:

性質(zhì)5點(diǎn)A,B在拋物線E上,拋物線E在A、B處切線相交于C,切線斜率分別為kAC,kBC,以及直線OA,OB的斜率分別為kOA,kOB,則kACkBC=4kOAkOB.

問題10從性質(zhì)5的證明過程中,我們對直線AB的斜率與直線OA,OB的斜率又有什么發(fā)現(xiàn)?

性質(zhì)6點(diǎn)A,B在拋物線E上,直線AB,OA,OB的斜率分別為kAB,kOA,kOB,則kAB=kOA+kOB.

問題11如果知道拋物線的兩條切線交點(diǎn),能求出過兩切點(diǎn)的直線方程嗎?

經(jīng)過再做探究,就有下列:

性質(zhì)7設(shè)A,B為拋物線E:x2=2py(p＞0)上兩點(diǎn),拋物線E在A、B處切線相交于C(a,b),則直線AB的方程為

從上面設(shè)置的問題鏈和證明過程可以看到,拋物線性質(zhì)是在發(fā)現(xiàn)問題,解決問題,再發(fā)現(xiàn)問題的循環(huán)中得到發(fā)展.發(fā)現(xiàn)問題是問題鏈得以延伸的關(guān)鍵,問題引導(dǎo)要“巧”,巧在幾何特征上發(fā)現(xiàn)性質(zhì);巧在命題形式上推廣性質(zhì);巧在證明過程中豐富性質(zhì).如果拋物線內(nèi)的巧問是“小巧”的話,那么“大巧”就是繼續(xù)設(shè)置問題,以類比思維引導(dǎo)學(xué)生把知識(shí)拓廣到其它兩類曲線中,使學(xué)生不斷加深對圓錐曲線的認(rèn)識(shí).

三、類比式設(shè)計(jì)問題,探索類似的性質(zhì)

1、以橢圓為探究對象

問題12橢圓是否也具有類似性質(zhì)3的性質(zhì)?通過探究得到以下結(jié)論:

性質(zhì)8點(diǎn)A,B,G在橢圓E上,在A、B處切線相交于C,線段AB中點(diǎn)為H,則過點(diǎn)G的切線平行直線AB的充要條件為C,H,G共線.

圖1

(2)若直線AB平行x軸,則直線OC與y軸交點(diǎn)為G(0,?b),則過點(diǎn)G切線斜率為0,過點(diǎn)G的切線與直線AB平行.

問題13從性質(zhì)6的證明過程我們可以發(fā)現(xiàn)O,C,H這三個(gè)點(diǎn)位置有什么關(guān)系?從性質(zhì)6的證明中可以看到這三點(diǎn)是共線,因此有:

推論3點(diǎn)A,B在橢圓E上,橢圓E中心為O,在A、B處切線相交于點(diǎn)C,線段AB中點(diǎn)H,則點(diǎn)O,C,H共線.

還可以得到以下結(jié)論:

推論4點(diǎn)A,B在橢圓E上,橢圓E中心為O,若AB平行橢圓E在G處的切線,線段AB的中點(diǎn)為H,則O,H,G共線.

推論5已知△ABC內(nèi)接于橢圓,過A,B的切線分別與對邊平行,則過C的切線與第三邊平行.

推論6已知△ABC內(nèi)接于橢圓,過A,B,C的切線分別與對邊平行,則△ABC重心G與橢圓中心O重合.

性質(zhì)9點(diǎn)A,B在橢圓上,橢圓E中心為O,線段AB中點(diǎn)為H,若直線AB不平行坐標(biāo)軸,則直線AB與直線OH斜率之積為

性質(zhì)10點(diǎn)A,B在橢圓上,橢圓E在A、B處切線相交于C(m,n),則直線AB的方程為

問題14從性質(zhì)9我們可以看到直線AB與直線OH斜率之積為那么兩條切線的斜率之積和直線OA,OB的斜率有關(guān)系嗎?經(jīng)過猜想和證明,有:

性質(zhì)11點(diǎn)A,B在橢圓上,橢圓E在A、B處切線相交于C,直線OA,OB,AC,BC的斜率存在且不為零,設(shè)斜率分別為kOA,kOB,kAC,kBC,則

2、以雙曲線為探究對象

(設(shè)問及證明過程,與橢圓類似,此處從略)

性質(zhì)12點(diǎn)A,B,G在雙曲線E同一支上,在A、B處切線相交于C,線段AB中點(diǎn)H,則過G的切線平行直線AB的充要條件為C,H,G共線.

推論7點(diǎn)A,B,C在雙曲線E同一支上,雙曲線E中心為O,過A,B的切線相交于C,若AB平行雙曲線E在G處的切線,則G,O,C共線,且該直線平分AB.

推論8點(diǎn)A,B在雙曲線E同一支上,雙曲線E中心為O,若AB平行雙曲線E在C處的切線,線段AB的中點(diǎn)為D,則O,C,D共線.

性質(zhì)13點(diǎn)A,B在雙曲線E上,雙曲線E的中心為O,線段AB中點(diǎn)為H,若直線AB不平行坐標(biāo)軸,則直線AB與直線OH斜率之積為

四、高考真題再現(xiàn),活用性質(zhì)求解

例1(2017年全國高考文科卷試題)設(shè)A,B為曲線上兩點(diǎn),A與B的橫坐標(biāo)之和為4.

(1)求直線AB的斜率;

(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn),C在M處的切線與直線AB平行,且AM⊥BM,求直線AB的方程.

解(1)過程略.(2)由,得.設(shè)M(m,n),由題意可知,解得m=2,進(jìn)而n=1,即M(2,1).由性質(zhì)3,設(shè)兩切線交點(diǎn)P(2,b),則由性質(zhì)7可設(shè)直線AB的方程為y=x?b,與曲線C方程聯(lián)立得x2?4x+4b=0,由?＞0,得b＜1,由韋達(dá)定理可知x1+x2=4,x1x2=4b,又AM⊥BM,kAMkBM=?1,即,把y1=x1?b,y2=x2?b,代入并化簡得b2+6b?7=0解得b=?7或b=1(舍去),所以直線AB的方程為y=x+7.

例2(2014 廣東高考題) 已知橢圓b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)為,離心率為

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓C外一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線互相垂直,求點(diǎn)P的軌跡.