極值點(diǎn)偏移問題解題策略探究

廣東省廣州市第十六中學(xué)(510080) 溫伙其

極值點(diǎn)偏移是近兩年全國高考和各地模擬試題的熱點(diǎn)和重點(diǎn)考查知識(shí),常作為解答壓軸題出現(xiàn),但學(xué)生大多不能理解掌握,教師也感到束手無策.本文從極值點(diǎn)偏移的定義出發(fā),對(duì)極值點(diǎn)偏移的情況分類,歸納此問題處理的三大途徑五種常見解題方向,供同行借鑒:

一.極值點(diǎn)偏移的定義

極值點(diǎn)偏移,是指對(duì)于單極值函數(shù),由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同,使得函數(shù)圖象沒有對(duì)稱性.若函數(shù)f(x)在x=x0處取得極值,且函數(shù)y=f(x)與直線y=b交于A(x1,b),B(x2,b)兩點(diǎn),則AB的中點(diǎn)為,即,極值點(diǎn)在兩根的正中間,就說極值點(diǎn)沒有偏移;而往往,極值點(diǎn)不在兩根的正中間,則此時(shí)稱為極值點(diǎn)偏移,如下圖所示.

二.極值點(diǎn)偏移的分類情況

對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)y=f(x),在區(qū)間(a,b)上只有一個(gè)極大 (小)值點(diǎn)x0,方程f(x)=0的解分別為x1,x2,且a＜x1＜x2＜b,

(2)證明過程同上,略.

根據(jù)極值點(diǎn)左右兩邊的變化快慢程度,又可把極值點(diǎn)偏移分以下四種情況:

三.極值點(diǎn)偏移的解決策略

例題已知函數(shù)f(x)=xe?x(x∈R).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(2)若存在實(shí)數(shù)x1,x2,使得f(x1)=f(x2)成立,證明:x1+x2＞2.

此題改編自2010年天津理科高考試題第21題,條件通俗易懂,結(jié)論簡潔且可變化無窮,方法靈活多樣.

解決策略一構(gòu)造極值對(duì)稱差函數(shù)f(x0+x)?f(x0?x)或f(x)?f(2x0?x)(x0為f(x)的極值點(diǎn)),研究極值對(duì)稱差函數(shù)的最值,進(jìn)而證明不等式.

圖6

解(1)因?yàn)閒′(x)=(1?x)e?x,易得f(x)在(?∞,1)上單調(diào)遞增,在 (1,+∞)上單調(diào)遞減,x→?∞時(shí),f(x)→?∞,f(0)=0,x→+∞時(shí),f(x)→0,函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1),且,如圖6所示.

(2)方法一由f(x1)=f(x2),x1?=x2,不妨設(shè)x1＜x2,則有0＜x1＜1＜x2,構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(1+x)?f(1?x),x∈(0,1],則g′(x)=f′(1+x)?f′(1?x)=,所以g(x)在x∈(0,1]上單調(diào)遞增,g(x)＞g(0)=0,也即f(1+x)＞f(1?x)對(duì)x∈(0,1]恒成立.由0＜x1＜1＜x2,則1?x1∈(0,1],所以f(1+(1?x1))=f(2?x1)＞f(1?(1?x1))=f(x1)=f(x2),即f(2?x1)＞f(x2),又因?yàn)??x1,x2∈(1,+∞),且f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以2?x1＜x2,即證x1+x2＞2.

(2)方法二要證x1+x2＞2,只需證x2＞2?x1,因?yàn)??x1＞1,且f(x)在 (1,+∞)單調(diào)遞減,所以只需證f(x2)＜f(2?x1),因?yàn)閒(x1)=f(x2),所以只需證f(x1)＜f(2?x1),構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)g(x)=f(x)?f(2?x)(0＜x＜1),所以g′(x)=f′(x)?f′(2?x)=,由0＜x＜1,可得1?x＞0,e2?2x?1＞0,所以g′(x)＞0,得到g(x)在(0,1)單調(diào)遞增,所以g(x)＜g(1)=0,即x1+x2＞2成立.

解題分析構(gòu)造極值對(duì)稱差函數(shù),研究其最值解決極值點(diǎn)偏移的思路,是解決極值點(diǎn)偏移的通性解法.它把自變量的大小問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小,再把函數(shù)值的大小化歸為函數(shù)的單調(diào)性.若結(jié)論證明形式為x1x2＞b2,則可構(gòu)造極值對(duì)稱差函數(shù)(b為f(x)的極值點(diǎn)),研究極值函數(shù)的最值.

解題分析這種解題思路,技巧性較強(qiáng),關(guān)鍵是湊出對(duì)數(shù)平均值不等式的結(jié)構(gòu)特征,能起到事半功倍的效果.解題步驟一般為:由f(x1)=f(x2)建立等式,然后含參數(shù)則消參,如果等式中含指數(shù)式則兩邊取對(duì)數(shù),最后恒等變形轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)平均值不等式.

解決策略三消元,構(gòu)造一元函數(shù),轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的最值,進(jìn)而解決不等式成立問題.

構(gòu)造函數(shù)G(t)=2t+(t?2)(et?1),(t＞0),則G′(t)=(t?1)et+1,G′′(t)=tet＞0,故G′(t)在t∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,G′(t)＞G′(0)=0,從而也G(t)在t∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,G(t)＞G(0)=0,所以[2]式成立,即原不等式x1+x2＞2成立.

解題分析函數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題,其本質(zhì)還是化歸導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,涉及函數(shù)的雙零點(diǎn),是一個(gè)多元數(shù)學(xué)問題,不管待證的是兩個(gè)變量的不等式,還是導(dǎo)函數(shù)的值的不等式,解題的策略都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解,途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).

四.考題鏈接

1.(2016年新課標(biāo)I卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=(x?2)ex+a(x?1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(I)求a的取值范圍;

(II)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1+x2＜2.

2.(2018年全國一模理科第21題)已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=x+m.

(1)若f(x)≤g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)若x1,x2是函數(shù)F(x)=f(x)?g(x)的兩個(gè)零點(diǎn),且x1＜x2,求證:x1x2＜1.

3.(2011年遼寧理科第21題)已知函數(shù)f(x)=lnx?ax2+(2?a)x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)a＞0,證明:當(dāng)時(shí),

(3)若函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0,證明:f′(x0)＜0.

4.已知f(x)=lnx?ax有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,求證:x1x2＞e2.

上述題目的解決,都可用上本文探討的極值點(diǎn)偏移的三個(gè)解題方向,多種方法完成,過程略.綜上,極值點(diǎn)偏移問題解決,關(guān)鍵是將雙變變量的不等式轉(zhuǎn)化為單變量不等式,回歸其函數(shù)與方程數(shù)學(xué)本質(zhì),即可迎刃而解.