走進中考真題,體悟旋轉“魔力”

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)外國語學校(215021) 楊亞楠

真題再現(xiàn)

圖1

例(2017年蘇州市中考數(shù)學第18題)如圖1,在矩形ABCD中,將∠ABC繞點A按逆時針方向旋轉一定角度后,BC的對應邊B′C′交CD邊于點G．連接BB′、CC′,若AD=7,CG=4,AB′=B′G,則=___(保留根號)．

數(shù)學眼光

1.問題

本題以矩形為載體考察旋轉后對應點的連線的比值.

2.分析

先連接AC,AG,AC′,構造直角三角形以及相似三角形,根據(jù)△ABB′～△ACC′,可得到,設AB=AB′=x,則,DG=x-4,Rt△ADG中,根據(jù)勾股定理可得方程,求得AB的長以及AC的長,即可得到所求的比值．如果想解決本道題,我們需要有哪些知識儲備呢?

圖2

(1)矩形的相關概念與性質

矩形概念：有一個角是直角的平行四邊形叫作矩形.

矩形性質：矩形的四個角都是直角等.

(2)旋轉的相關概念與性質

圖3

旋轉概念：在平面內(nèi),將一個圖形繞一個定點旋轉一定的角度,這樣的圖形運動叫做圖形的旋轉.這個定點叫旋轉中心.旋轉的角度稱為旋轉角.(包括旋轉方向)

旋轉性質：旋轉前、后的圖形全等;對應點到旋轉中心的距離相等;每一對對應點與旋轉中心的連線所成的角彼此相等.

(3)相似的相關概念與性質相似概念：三角分別相等,三邊分別成比例的兩個三角形相似.相似性質：相似三角形的對應角相等,對應邊成比例.

圖4

因此,我們可以根據(jù)所求旋轉后對應點的連線的比值轉化為求兩個相似三角形的相似比.

3.解答

圖5

解如圖5,連接AC,AG,AC′,由旋轉可得,AB=AB′,AC=AC′,∠BAB′=∠CAC′,所以所以△ABB′～△ACC′,所以因 為AB′=B′G,∠AB′G=∠ABC=90°, 所 以△AB′G是等腰直角三角形,所以設AB=AB′=x,則AG= 2x,DG=x-4,因為Rt△ADG中,AD2+DG2=AG2,所以72+(x-4)2=x2,解得x1=5,x2=-13(舍去),所以AB=5,所以Rt△ABC中,所以,故答案為：．

4.旋轉基本模型

識別基本模型,巧解幾何難題

圖6

問題1如圖6,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC內(nèi)一點,且PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC的度數(shù).

問題3如圖8,正方形ABCD中,E,F分別在AD,DC上,且∠EBF=45°,BM⊥EF于M,求證：BA=BM.

圖8

分析題目已知條件中給出了三條線段的長度和一個直角,但已知的三條線段不在同一三角形中,故可考慮通過旋轉變換移至一個三角形中,由于△ACB是等腰直角三角形,宜以直角頂點C為旋轉中心.

解作MC⊥CP,使MC=CP,連接PM,BM.因為∠ACB=90°,∠PCM=90°,所以∠1=∠2.因為AC=BC,所以△CAP～=△CBM(SAS),所以MB=AP=3.因為PC=MC,∠PCM=90°,所以∠MPC=45°.由勾股定理在

分析本題與例2相同之處在于直角三角形家夾有45°角,可利用相同的方法,將∠ABE和∠CBF“化散為整”來構造全等三角形.

證明延長FC到N,使CN=AE,連結BN.因為四邊形ABCD是正方形所以AB=AC,∠BAC=90°,因為∠EBF=45°,所以∠ABE+∠CBF=45°. 由△ABE～=△CBN,知BE=BN,∠CBN=∠ABE,所以∠CBN+∠CBF=45°,即∠EBF=∠NBF. 又BE=BN,BF=BF,所以△EBF～=△NBF(SAS),所以BM=BC,所以BM=BA.△MPB中,,所以△MPB是直角三角形,所以∠BPC=∠CPM+∠MPB=45°+90°=135°.

圖7

問題2如圖7,直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠EAF=45°,求證：EF2=BE2+CF2.

5.拓展延伸

如圖9在四邊形ABCD中,BC=CD,∠BCD=90,AB=4,AD=3,則對角線,AC的最大值為___cm.

圖9

分析蘇州工業(yè)園區(qū)的初二同學是不是看到本題很熟悉,沒錯,這就是本學期期末調研第18題.如果能夠想到構造旋轉模型,問題就解決了!

解作AC′⊥AC,且使A′C=AC,連接A′B,A′A.易證所以BA′=AD=3. 所以因為AA′≤AB+A′B=3+4=7,所以AA′最大為7,所以AC最大為

分析本題所要求的結論無法直接用勾股定理,可通過旋轉變換將BE,CF轉移到同一個直角三角形中,由于△BAC是等腰直角三角形,不妨以A為旋轉中心,將∠BAE和∠CAF合在一起,取零為整.

證明過A作AP⊥AE交BC的垂線CP于P,連結PF.因為∠EAP=90°,∠EAF=45°,所以∠PAF=45°. 因為∠BAC=90°,所以∠BAE=∠PAC. 因為AB=AC,所以∠B=∠ACB=∠ACP=45°,所以△ABE～=△ACP(ASA),所以PC=AE,AP=AE,所以△AEF～=△APF(SAS),所以EF=PF,故在 Rt△PCF中,PF2=CF2+PC2,即EF2=CF2+AE2.

6、小結

旋轉法是在圖形具有公共端點的相等的線段特征時,可以把圖形的某部分繞相等的線段的公共端點,旋轉另一位置的引輔助線的方法,主要用途是把分散的元素通過旋轉集中起來,從而為證題創(chuàng)造必要的條件.旋轉方法常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形等圖形中.