利用函數(shù)圖像幫助解題

四川省內(nèi)江市第二職業(yè)中學(xué)(641005) 張建

在中學(xué)階段,對于數(shù)學(xué)問題的討論,有兩種方法：一種是定性討論,另一種是定量討論.無論那一種,數(shù)學(xué)圖像對解決問題,都有很大的作用.特別是函數(shù)的問題,通過題目的條件,做出變量與變量之間存在的圖像,可以把復(fù)雜的問題,化為容易的問題;繁瑣的問題,化為簡單的問題,最后讓我們更容易,更快速把問題解決.

例1在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=40°,BC=3,則AC=()

A.3sin40°B.3sin50°C.3tan40°D.3tan50°

分析該題的難度不高,三角函數(shù)類型的問題首先應(yīng)該選擇數(shù)形結(jié)合,所以根據(jù)題意畫出簡圖,在平時教學(xué)過程中(不管什么版本),老師是根據(jù)圖像得到的三角函數(shù)的定義,所以正確選擇好對角,對邊是成功的前提條件.應(yīng)選(D).

練習(xí) 1.在△ABC中,∠B=30°,AB=12,AC=6,則BC=____.

(考察特殊角的三角函數(shù)值,能構(gòu)成合適圖形是解題關(guān)鍵)

練習(xí)2.點A(t,3)在第一象限,OA與x軸所夾的銳角為α,則t的值是____.

(和高中銜接,在直角坐標(biāo)系中探討,正確利用點坐標(biāo)構(gòu)圖)

學(xué)生在該部分題的處理上很可能出現(xiàn)的問題就是不夠直接的畫圖,探究問題出現(xiàn)的過程也是學(xué)生自查自糾的過程.

例2如圖,關(guān)于x的函數(shù)y=kx-k和它們在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是( )

分析本題難度中等,有個待定的系數(shù)k,所以需要定義k＞0或者k＜0兩種情況,這也是學(xué)生考慮時的難點之一,另一點我個人認為就是圖形的形狀,位置.由于是選擇題,對圖像的要求不是那么高,也可以設(shè)定k的值,比如1或者-1代入后再進行觀察,總之是識圖.至于k所處位置的名稱和幾何意義可以視學(xué)生的具體情況考慮是否告知.本題選擇答案(B)

圖1

練習(xí)1.如圖1,一次函數(shù)y1=與反比例函數(shù)的圖象交于A(1,4)、B(4,1)兩點,若使y1＞y2,則x的取值范圍是____.

(不等式與函數(shù)圖像的關(guān)系)

圖2

練習(xí)2.二次函數(shù)y=ax2+bx+的圖象如圖2所示,則函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是( )

(本題考察系數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系)

圖3

(1)求這兩個函數(shù)解析式;

(2)將一次函數(shù)y=ax+b的圖象沿y軸向下平移m個單位,使平移后的圖象與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個交點,求m的值．

(本題是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及圖像交點)

圖4

練習(xí)4.(2017年內(nèi)江中考數(shù)學(xué)試題 21)．已知A(-4,2)、B(n,-4)兩點是一次函數(shù)y=kx+b和反比例函數(shù)圖象的兩個交點．

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;

(2)求△AOB的面積;

(本題是兩種函數(shù)結(jié)合題型的經(jīng)典)

函數(shù)和圖像的結(jié)合就更為緊密,特別是在初中階段所學(xué)習(xí)到的一次函數(shù)和反比例函數(shù),不管單獨出現(xiàn),還是混合再現(xiàn),都是與圖像不可分離的結(jié)合在一起.培養(yǎng)學(xué)生看圖的能力,也就是同時在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,解決問題,總結(jié)規(guī)律的一個嚴謹,系統(tǒng)的過程.

圖5

例3(3分)(2015·內(nèi)江)如圖5,正方形ABCD的面積為12,△ABE是等邊三角形,點E在正方形ABCD內(nèi),在對角線AC上有一點P,使PD+PE最小,則這個最小值為( )

分析本題較難,將計算與圖形的變換相結(jié)合,發(fā)現(xiàn)一個對稱點B使它到P的距離和D到P的距離相等,所以BP+PE=DP+PE,要讓它們之和最小,P為動點,兩點之間線段最短,因此,當(dāng)BP+PE=BE,即P在BE和AC的交點時,PD+PE最小.故選擇答案(B)

圖6

練習(xí)1．(5分)(2015·內(nèi)江)如圖6,在四邊形ABCD中,AD//BC,∠C=90°,E為CD上一點,分別以EA,EB為折痕將兩個角(∠D,∠C)向內(nèi)折疊,點C,D恰好落在AB邊的點F處．若AD=2,BC=3,則EF的長為____．

(本題考察了圖形的變化,可以用輔助線,也可以用射影定理)學(xué)生在做該部分題型時,對圖形變換的理解是感到困難的地方,變換前后的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵點.用圖所給的信息當(dāng)然是非常重要的環(huán)節(jié),這也給了數(shù)學(xué)實驗有了很好的一個切入點.

例4矩形ABCD中,AB=4,BC=3,點P在AB上.若將△DAP沿DP折疊,使點A落在矩形對角線上的A′處,則AP的長為___.

分析雖然A落在對角線上,顯然不能在對角線的交點處,但是究竟是在對角線AC上還是BD上值得商榷,所以應(yīng)該首先考慮分類.當(dāng)A落在對角線AC上時,如圖7,由題意可知,△DAP～△ABC,故.當(dāng)A落在對角線BD上時,如圖8,(1)由題意可知,,故.(2)由△PBA′是 Rt△,所以PA′2+BA′2=PB2,故

圖7

圖8

該題屬于圖形的應(yīng)用,在題目沒有給出圖形時需要構(gòu)圖.

畫圖要準(zhǔn)確簡明.所謂準(zhǔn)確就是準(zhǔn)確地表示出原題的已知和所求所謂簡明就是簡單明了便于觀察思考.畫圖的過程正是分析題意理解題意的過程也正是探索解題方法的過程.

圖形既能舍棄問題的具體情節(jié)又能形象地揭示條件與條件、條件與問題之間的關(guān)系把數(shù)轉(zhuǎn)化為形明確顯示出已知與未知的內(nèi)在聯(lián)系激活學(xué)生的解題思路.圖形的運用、數(shù)與形的結(jié)合能較好地激發(fā)學(xué)生的再造性想象不僅發(fā)展了學(xué)生的形象思維而且實現(xiàn)了形象思維與抽象思維的互補.要讓學(xué)生會畫圖不是一朝一夕能夠解決的問題利用幾節(jié)課或者專門訓(xùn)練學(xué)生畫線段圖是不可取的而且也肯定是不行的.所以我們在教學(xué)中要盡量多的“滲透”畫圖一有機會就畫一碰到學(xué)生難以解決的問題就畫讓學(xué)生有“不會做就圖”的習(xí)慣思維久而久之學(xué)生就能逐步掌握.