分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

廣東省廣州市增城區(qū)石灘中學(xué)(511330) 陳明雙

思想是客觀存在反映在人的意識中經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果,它是從大量的思維活動中獲得的產(chǎn)物.同樣地,數(shù)學(xué)思想是使從教學(xué)內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學(xué)知識的精華,是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.

將事物進(jìn)行分類,然后對劃分的每一類分別進(jìn)行研究和求解的方法叫做分類討論的方法.分類討論的思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本方法之一,具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性,能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性.通過正確的分類,可以使復(fù)雜的問題得到清晰、完整、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕獯?下面就分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用案例進(jìn)行一些總結(jié).

一、條件型

在解決某種數(shù)學(xué)問題時(shí),問題所呈現(xiàn)的條件是分類給出的,所涉及的概念是分類定義的.例如,絕對值的定義是：運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式、或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的.例如：對數(shù)函數(shù)y=ax2+bx+c的開口方向是分a＞0和a＜0兩種情況給出的.因此,在解決這類問題時(shí),必然要引起討論.

例1已知|x|=3,(y+1)2=16,求x+y的值.

分析本題考查的學(xué)生對絕對值的定義掌握程度的考查,由于絕對值的定義是分類給出的,因此,x有兩個(gè)值.一元二次方程(y+1)2=16,有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,因此,y有兩個(gè)值.所以求x+y的值就要分情況進(jìn)行討論.

解因?yàn)閨x|=3,所以x=±3.因?yàn)?y+1)2=16所以y=3或y=-5當(dāng)x=3,y=3時(shí),x+y=6.當(dāng)x=3,y=-5時(shí),x+y=-2.當(dāng)x=-3,y=3時(shí),x+y=0.當(dāng)x=-3,y=-5時(shí),x+y=-8.綜上所述,x+y的值為6,-2,0,-8.

說明因此,在解決此類數(shù)學(xué)題時(shí),一定要對它的定義比較熟悉,這樣,在解題的過程中才不會遺漏某種情況.

例2函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是( )

分析本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識,正確解決該題的關(guān)鍵是根據(jù)a的符號確定它的圖象的位置,分a＞0和a＜0兩種情況分類討論就可以確定正確的答案.

解當(dāng)a＞0時(shí),函數(shù)的圖象位于第一、三象限,y=-ax2+a的開口向下,與y軸相交于正半軸,沒有符合的選項(xiàng).當(dāng)a＜0時(shí),函數(shù)的圖象位于第二、四象限,y=-ax2+a的開口向上,與y軸相交于負(fù)半軸,D選項(xiàng)符合.故選D．

說明反比例函數(shù)的圖象所處的位置是由比例系數(shù)確定的,二次函數(shù)的開口方向是由二次項(xiàng)系數(shù)確定的,對稱軸以及與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是由一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)決定的.因此,這類型的數(shù)學(xué)問題在給出定義時(shí),本身已經(jīng)需要分類討論,解決這種類型的數(shù)學(xué)問題時(shí),我們要牢記分類的初衷.

二、含參型

參數(shù)和變量廣泛地在數(shù)學(xué)各類問題中出現(xiàn),含參問題也是比較復(fù)雜的問題,是近幾年中、高考重點(diǎn)考查的熱點(diǎn)問題之一.

以問題的條件和結(jié)構(gòu)為標(biāo)準(zhǔn),含參數(shù)問題一般可分為兩種類型.一種是根據(jù)參數(shù)在規(guī)定的取值范圍內(nèi)取不同的值,去探求命題可能出現(xiàn)的結(jié)果.另一種是先給出命題的結(jié)論去探求參數(shù)的取值范圍.在含參數(shù)或變量的數(shù)學(xué)問題中,分類討論思想的思想方法是解決這種問題的最佳方法.利用分類討論思想的思想方法解決數(shù)學(xué)題目,要做到分類不重不漏,條理清晰,思維嚴(yán)密.例如,m為實(shí)數(shù),比較2m和3m的大小關(guān)系.比較2m和3m的大小,首先要參數(shù)對m的符號進(jìn)行分類討論.

例3已知關(guān)于x的方程(m-1)x2+2mx+m-7=0,判斷該方程的跟得情況,在有實(shí)數(shù)根的情況下,求出根的個(gè)數(shù)與m的值的關(guān)系.

分析本題是一道比較典型的分類討論數(shù)學(xué)題,其中含有參數(shù)m,它的取值會對該方程的求解造成影響,學(xué)生在解決該問題時(shí),對取值要有明確的分類.

解當(dāng)m-1=0,即m=1時(shí),方程(m-1)x2+2mx+m-7=0為一元一次方程,所以2x-6=0,所以x=3.當(dāng)m-1/=0,即m/=1時(shí),方程(m-1)x2+2mx+m-7=0為一元二次方程,[1]Δ＞0時(shí),即解得,所以.[2]Δ=0時(shí),時(shí),所以.[3]Δ＜0時(shí),時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根.

說明本題是含參數(shù)的題目,題目的解是因參數(shù)m的取值改變而改變.因此,要解決本題,主要是準(zhǔn)確地找出題目中參數(shù)m的分類情況,再根據(jù)跟得判別式的值分三種情況考慮,找到解題的突破口,從而找到分類的標(biāo)準(zhǔn).

三、不確定因素型

在解決某些幾何題的時(shí)候,題目沒有給出圖形,由于圖形的位置關(guān)系不確定,從而引起討論.對于此類題目,我們要根據(jù)題設(shè)條件,根據(jù)圖形的某一性質(zhì),對各種情形進(jìn)行分類討論,把有可能出現(xiàn)的圖形都作出來,從而找到解題的突破口.

圖1

例4如圖1所示,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與x軸、y軸分別相交于兩點(diǎn),點(diǎn)C為線段AB上任意一動點(diǎn),過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D.

(1)求直線AB的解析式;

(2)若梯形OBCD的面積為,求點(diǎn)C的坐標(biāo);

(3)在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得以P,O,B為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似.若存在,請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

分析本題目由于P點(diǎn)的位置不確定,出現(xiàn)多種情況,因此必須對其進(jìn)行分類討論.而且其分類情況比較復(fù)雜,有不同層次上的分類.

解(1)易求AB得的解析式為：

(2)利用梯形面積列方程容易求得C點(diǎn)坐標(biāo)為,如圖1所示.

(3)由于△AOB為直角三角形,且∠BAO=30°,所以.要使△POB與△AOB相似,需考慮△POB的各個(gè)角的取值情況：

[1]當(dāng)∠OBP=90°時(shí),則點(diǎn)P在過B點(diǎn)且垂直于y軸的直線上.如圖2,又可以分兩種情形：若△BOP1～△OBA,則∠BP1O=∠OAB=30°,BP1=3,所以;若,則∠P2OB=∠BAO=30°,BP2=1,所以

[2]當(dāng)∠OPB=90°時(shí),如圖3,有兩種情形：若△OP3B～△AOB,則點(diǎn)P3在直線AB上,可求得P3的坐標(biāo)為;若△BPO～△AOB,則點(diǎn)P在△OBA44內(nèi)部,可求得P4的坐標(biāo)為

[3]當(dāng)∠BOP=90°時(shí),點(diǎn)P在x軸上,不符合題意.

圖2

圖3

例5已知⊙O的半徑為5,弦AB//CD,求AB與CD間的距離.

分析解決這個(gè)問題時(shí),大部分學(xué)生只能畫出一種情況：AB和CD兩條平行線在圓心O的兩側(cè),這種情況我們可以給它命一個(gè)有助于學(xué)生理解題目的的名字“遠(yuǎn)距離”,這樣一來學(xué)生以此類推可以想到“近距離”這種情況,AB和CD兩條平行線在圓心的同側(cè).

圖4

圖5

解[1]當(dāng)AB和CD在O的同側(cè)時(shí),如圖4,過點(diǎn)O作OE⊥AB于E,交CD于F,連接OA,OC,因?yàn)锳B//CD,所以O(shè)F⊥CD,所以.在 Rt△OAE中,由勾股定理得,同理,OF=3,所以EF=4-3=1.[2]當(dāng)AB和CD在O的兩側(cè)時(shí),如圖5,過點(diǎn)O作OE⊥AB于E,延長EO交CD于F,連接OA,OC,因?yàn)锳B//CD,所以O(shè)F⊥CD,所以在Rt△OAE中,由勾股定理得,同理,OF=3,所以EF=4+3=7.綜上所述,AB與CD間的距離為1或7.

說明圖形的位置關(guān)系不確定,導(dǎo)致解題時(shí)必須分類討論.在第一層分類同時(shí)又由于參數(shù)之間的大小關(guān)系不確定導(dǎo)致第二層分類的發(fā)生.因此,運(yùn)用分類討論思想解決數(shù)學(xué)問題,能更好的培訓(xùn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,提高學(xué)生答題的嚴(yán)謹(jǐn)度.

運(yùn)用分類討論的思想方法解決數(shù)學(xué)題目,必須從整體上把握題目,分清題目的類型,注意題目中隱含分類的條件,確定分類的標(biāo)準(zhǔn).因此,要熟練正確的運(yùn)用分類討論的思想方法解決數(shù)學(xué)題目,不僅需要掌握大量的數(shù)學(xué)知識點(diǎn),還需要長期地、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈鲱}訓(xùn)練,總結(jié)和歸納.

總之,分類討論的思想方法是數(shù)學(xué)解題的重要思想方法,分類覆蓋的知識點(diǎn)較多,具有一定的分類思想和技巧,有利于對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的考查.其次,分類討論思想具有訓(xùn)練人的思維條理性和概括性的功能,能培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范、合理、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)品質(zhì).因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,必須逐步培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想去解決數(shù)學(xué)題.從而提高他們的分析數(shù)學(xué)問題和解決數(shù)學(xué)問題的能力.