巧用中點解決幾何難題

廣東省佛山市順德養(yǎng)正學校(528000) 孫瑞

新課標指出：數(shù)學課程讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程,進而使學生獲得對數(shù)學理解的同時,在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展.筆者對和中點有關的知識點進行了深入地研究,發(fā)現(xiàn)了很多中考題都需要利用中點來解決,本文將從以下四種不同的類型進行闡述.

一.四種不同的類型

1、類型一：三線合一型

[1]在等腰△ABC中,AD是BC邊上的中線,點E在AD上.求證：BE=CE.

分析等邊三角形加上中線,可利用三線合一得到AD⊥BC.由垂直平分線可得BE=CE.附思路圖：

圖1

說明：只要有等腰三角形,再加上中點就可以運用三線合一,得到垂直或者角平分線.實質(zhì)上運用的就是對稱的思想.

[2]如圖2,△ABC是等邊三角形,D點是AC的中點,延長BC到E,使CE=CD,過點D作DM⊥BE,垂直為M.求證：BM=EM.

分析等邊三角形加上中點,可利用三線合一得到∠ADC=∠ABD=30°.由CE=CD可得∠E=30°;于是得到等腰△DBE;最后再根據(jù)三線合一得到BM=EM.附思路圖：

圖2

圖3

說明：此題兩次運用三線合一,前提都有等腰再加中點或者垂直,便可得到垂直或中點.

2、類型一：倍長中線型

在利用中線解決幾何問題時,我們經(jīng)常采用“倍長中線法”添加輔助線.

倍長中線法：就是將三角形的中線延長一倍,以便構造出全等三角形,從而運用全等三角形的有關知識來解決問題的方法.

(1)直接倍長中線

如圖4,AD是△ABC的中線.延長AD至E,使ED=AD,連接BE.于是得到△ADC～=△EDB.

圖4

圖5

(2)間接倍長中線

如圖5,AD是△ABC的中線.延長ED至F,使FD=ED,連接CF.于是得到△BED～=△CFD.

說明：在含有中點的幾何題中,更為常用的是間接倍長中線法.兩種方法基本思路完全一致,需要根據(jù)不同的題目靈活變化.

[1]如圖6,在正方形ABCD中,E為AB邊的中點,G、F分別為AD,BC邊上的點,若AG=1,BF=2,∠GEF=90°,求GF的長.

圖6

圖7

分析此題可用相似求出GE、EF,再用勾股定理求出GF長,但這種方法過于麻煩.因為有中點,所以我們可以采用間接倍長中線法將GE倍長構造全等.于是我們的輔助線可直接延長GE、FB相交即可.GA就動至了BH,GE動至了EH,于是產(chǎn)生了垂直平分線,根據(jù)對稱GF就動至了FH,輕松搞定!

說明：因為有中點,所以此題用間接倍長中線法特別簡單,可以將比較遙遠的兩條邊動至一條邊,再利用對稱讓GF動至FH.我們還可以延長FE,思路完全一致.

[2]如圖8,已知在△ABC中,AB=AC,點D在AB上,點E在AC的延長線上,DE交BC于F,且DF=EF,求證：BD=CE.

圖8

思路一此題的難點是找不到關鍵的結構,BD與CE所在的三角形并不全等,因此需要用間接倍長中線的方法構造全等.作DG//CE,角不成問題了,再加上已知中點,全等就產(chǎn)生了.原本很遙遠的兩條邊現(xiàn)在就動至了一個三角形△DBG中,輕松搞定!

附思路圖：

圖9

圖10

思路二我們還可以作EG//BD,構造全等.

說明：有中點首先想到的就應該是倍長,作平行線就等同于間接倍長法,目的是構造全等,從而讓邊動或者角動.

3、類型三：中位線型

[1]如圖11所示,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,AE=EB,求證：OE//BC.

分析根據(jù)平行四邊形對角線互相平分,得到AO=OC;再加上AE=EB;利用“三角形中位線定理”可知OE//BC.

說明：三角形中位線定理包含了兩個內(nèi)容：一是邊的數(shù)量關系,二是邊的位置關系.此題僅運用了邊的位置關系,實質(zhì)上就相當于平行的判定.

圖11

圖12

[2]如圖12,點D、E、F、G分別是AB、BC、CM、AM的中點.求證：四邊形DEFG是平行四邊形.

分析欲證平行四邊形,從結構看,我們可以證明兩組對邊分別相等或兩組對邊分別平行或者一組對邊平行且相等.此題的條件中有四個中點,并且四邊形DEFG的四條邊都是中點的連線,于是我們就聯(lián)想到三角形中位線定理.但是,此題卻沒有我們所需要的三角形,因此,我們就要構造三角形中位線模型,連接AC或BM即可.在△ABC和△MAC分別用三角形中位線定理,就得到了從而命題得證.

說明：此題屬于隱性的中位線模型應用,沒有基本模型就要構造模型.這里構造三角形后就變得輕而易舉了.

4、類型四：直角三角形斜邊中線型.

(1)直角三角形中線性質(zhì)定理：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半.

圖13

因為∠ABC=90°,D是斜邊AC的中點.所以

(2)隱性性質(zhì)：

(i)△ADB與△DBC均為等腰三角形.

(ii)兩個等腰三角形的底角互余.

(iii)其中一個等腰三角形的頂角都等于另一個等腰三角形的底角的2倍.

圖14

圖15

圖16

[1]如圖14,在△ABC中,∠ABC=90°,點D是AC的中點.過點D作ED//AB,ED=AB,連接AE.求證：∠E=∠ADE.

分析欲證∠E=∠ADE,只需要證明AE=AD;只要證明AD=BD即可,于是利用直角三角形斜邊上的中線模型立即搞定.

說明：此實際上運用的就是隱性性質(zhì)(I),關鍵是要熟練運用.

[2]如圖15,已知：∠ABC=∠ADC=90°,E是AC中點.求證：ED=EB.

分析此題有兩個非常明顯的直角三角形,也有個中點E,并且很重要的是這兩個直角三角形的斜邊是公共的,因此很容易得到了ED=EB.

說明：此種模型連續(xù)兩次運用,關鍵在于有相同的結構-兩個直角三角形,并且有公共直角邊.

[3]證明三角形中位線定理：

三角形中位線定理：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半.

如圖16,已知△ABC中,D,E分別是AB,AC兩邊中點.求證：DE//BC,DE=BC.

此法是所有證明中位線性質(zhì)定理的方法中最為巧妙也是最為經(jīng)典的方法.其思路主要是對于初中階段所學知識的綜合運用.

首先回顧與中點有關的知識點-([1]全等;[2]垂直平分線;[3]等腰三角形三線合一;[4]直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半.)這時聯(lián)想到第4個知識點,有中點但沒有直角三角形,就必須構造出來,于是就要作高.過A作AF⊥BC于F,連接DF、EF.得到FD=BD=DA;FE=AE=EC.利用“SSS”證明△ADE～=△FDE,得到∠ADE=∠FDE,再運用三線合一得到AF⊥DE,于是四邊形DMFG、ENFG、DMNE均為矩形,從而命題得證.

說明：此種模型告訴我們?nèi)我馊切味伎梢詷嬙斐鲋苯侨切涡边呏芯€模型,可見幾何之變換莫測!只要你敢想敢于挑戰(zhàn),你就可以創(chuàng)造出自己想要的結構,對于證明幾何題又增添了一些新的元素與味道.

二.中點模型的綜合應用及延伸

圖17

圖18

1、如圖17,在△ABC中,∠BAC=90°,延長BA至點點E、F分別為邊BC、AC的中點.求證：DF=BE.

分析連接AE,先由模型三得到BE=AE;再由模型二得到EF//BA,;于是得到四邊形AEFD為平行四邊形,從而命題得證.

2、已知：如圖18,在△ABC中,AM是BC邊上的中線,分別以AB、AC為邊長向外作正方形ABEF、正方形ACGH,連接FH,延長MA,交FH于點N.求證：MN⊥FH.

分析我們的目標是∠1與∠2互余;只需∠2=∠3即可;于是我們找∠2與∠3所在的結構：其中∠2在△AFH中,而∠3目前所在的三角形只有一個△AMB,明顯不同,此時就可以倍長中線→△ACM～=△QBM;得到了△AFH與△BAQ全等的所需要的兩條邊相等;只需其夾角∠4與∠5相等即可;正好這兩個角都與∠6互補;從而命題得證.

附思路圖：

圖19

思路二我們還可以證明另外兩個角互余.

說明：此題為婆羅摩笈多定理的變式,運用模型二可以達到邊動、角動的目的,同時構造出新的三角形全等,最后利用互余模型得到角動.

3、已知：如圖20,AD是△ABC的中線,E是AD上一點,BE的延長線交AC于點F,∠AEF=∠FAE.求證：BE=AC.

圖20

圖21

思路一此題的難點是找不到關鍵的結構,BE與AC所在的三角形并不全等,因此要通過倍長中線的方法構造全等.即延長AD至點G,使DG=AD,再加上已知的中點,就有兩條邊分別對應相等了,而倍長中線還會自動產(chǎn)生對頂角,這也是中線倍長法的優(yōu)勢所在.證明也將變得非常簡單.

思路二我們還可以倍長ED,構造全等,從而得到等腰AC=CG.

圖22

圖23

思路三我們可以構造中位線模型,作CG//ED,構造△BCG,中位線為ED.這是逆向思維,有一定難度.我們就只需要證明AC=EG即可.

說明：有中線首先想到的就應該是倍長,此種模型的實質(zhì)就是旋轉(zhuǎn)或平移.我們可以通過旋轉(zhuǎn)△ADC構造全等,也可以通過平移AC至BG構造全等,這兩種變換與中線倍長如出一轍,幾何變換始終統(tǒng)領幾何全局.

4、如圖24,已知在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,AC與BD相交于點O,∠BOC=60°,G、E、F分別是AB、OC、OD的中點.求證：△GEF為等邊三角形.

分析由題意易得△AOD、△BOC均為等邊三角形.連接AF、BE,由模型一→∠AFB=∠AEB=90°;由模型四為△OCD的中位線,由模型從而命題得證.

說明：此題為三個模型的綜合運用,要求比較高,難度最大的還是模型一的三線合一,得到兩個直角三角形,因此找到結構之間的關聯(lián)相當重要.

圖24

圖25

5、如圖25,在正方形ABCD中,點E、F分別為AD、CD的中點.AF與BE相交于點G,連接CG.求證：GC=BC.

思路一如圖26,用模型一可得到△AFD～=△HFC,→CH=AD,→BC=CH,由互余模型很快得到∠BGH=90°,從而命題得證.

思路二如圖27,與思路一前面完全一致,如果沒有看到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,就可以作垂線,得到CM垂直平分CH,從而命題得證.

思路三如圖28,倍長FC,延長GC、BM,交于點N.由AB//FM,AB=FM可得四邊形ABMF為平行四邊形;→AF//BN;→∠GBN=90°,同時可得到△GFC～=△NMC;→GC=CN;從而命題得證.

圖26

圖27

圖28

思路四如圖29,與思路三前面完全一致,如果沒有看到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,就可以作垂線,得到CH垂直平分BN,從而命題得證.

思路五如圖30,取AB中點M,連接GM,CM.由AM//FC、AM=FC可得四邊形AMCF為平行四邊形;→MC⊥BG;由模型三可得MC平分BG(也可由模型三得到MB=MG后再得到平分);→MC垂直平分BG;從而命題得證.

思路六如圖31,易證△AEB～=△CFB,→∠1=∠2;由∠BGF=∠BCF=90°可得B、C、F、G四點共圓;→∠FGC=∠2=∠1;于是得到∠GBC=∠CGB;從而命題得證.

圖29

圖30

圖31

思路七(相似法一)如圖31,我們首先觀察GC、BC所在的結構△CGB,欲證明其為等腰三角形.我們再觀察底角相同的等腰三角形△FAB,只需證明這兩個三角形相似即可.我們需要證明兩邊對應成比例且夾角相等,即滿足與∠GBC=∠ABF.由思路六的第一步可得∠1=∠2;→∠GBC=∠ABF搞定;而正好是cos∠2,正好是cos∠1,因此相等;從而命題得證.

思路八(相似法二)如圖32,過點G作GM⊥GC,交CB的延長線于點M.容易得到∠1=∠2,再加上∠GFC=∠GBM;→△GFC～△GBM,于是得到再根據(jù)△ABE～=△CBF;→∠5=∠6;得到∠2=∠5;→∠GBC=∠CGB;從而命題得證.

思路九(計算法)：如圖33,延長CG交AD于M.設邊長為2x,則由互余模型可得,由相似模型得到△MEG與△CBG的相似比為.→ME=x,于是得到MG=AM=ME=x.→GC=2x;從而命題得證.

圖32

圖33

說明：此題看上結構簡單,實際上做起來難度很大.最為簡便的方法是第一種方法,直接用了類型二和類型四就立刻搞定,相似的兩種方法運用的是旋轉(zhuǎn)相似的方法.只要把握住關鍵結構,靈活運用我們的模型,此題將會變得非常有味道.

綜上所述,巧妙運用一些基本圖形的數(shù)學模型及其結論,可以將復雜問題簡單化,使學生在較短時間內(nèi)抓住問題的本質(zhì).筆者認為我們只要善于總結提煉教材和習題中的一些數(shù)學模型,讓學生先對這些模型的不同類型認真而深入地分析,然后再進行反復地訓練,形成一種良好的習慣,在中考中就能靈活運用所學的知識.