折疊翼的理論建模與實(shí)驗(yàn)研究*

胡文華 張偉 曹東興

（北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124）

引言

從早期的木頭帆布等高柔性結(jié)構(gòu)，到高強(qiáng)度的金屬結(jié)構(gòu)，再到復(fù)合材料，飛行器經(jīng)歷了高柔性，高剛度再到柔性等階段.時(shí)至今日，智能材料等日新月異的技術(shù)發(fā)展催生了以可控剛?cè)狁詈辖Y(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的可變體飛行器的研究熱潮.幾十年來(lái)，不同種類的飛機(jī)被設(shè)計(jì)出來(lái)應(yīng)對(duì)不同的飛行任務(wù)，如運(yùn)輸機(jī)強(qiáng)調(diào)巡航性能，偵察機(jī)需要長(zhǎng)時(shí)間滯空，而戰(zhàn)斗機(jī)追求速度和敏捷性.而可變體飛行器可通過(guò)改變自身結(jié)構(gòu)而獲得不同氣動(dòng)外形來(lái)提高性能，達(dá)到全航程最優(yōu)的飛行效益，適應(yīng)多種飛行任務(wù)，例如在同一航程里實(shí)現(xiàn)短距離起降，高速機(jī)動(dòng)以及低功耗巡航.很多國(guó)家對(duì)可變體飛行器進(jìn)行了研究，但基本上都處于起步階段.目前，幾種主要的可變體飛行器設(shè)計(jì)方案是波音的連接翼方案、下一代公司的滑動(dòng)蒙皮翼方案、雷神公司的伸縮翼方案、洛克希德馬丁公司的Z型折疊翼方案和鸕鶿方案.

可變體飛行器涉及的學(xué)科很廣，包括氣動(dòng)、材料、結(jié)構(gòu)、控制和優(yōu)化等，各方面的問(wèn)題之間相互耦合，應(yīng)當(dāng)采取分散難點(diǎn)、各個(gè)突破、相互推進(jìn)的方法，開(kāi)展一些側(cè)重于不同難點(diǎn)的項(xiàng)目，使得各個(gè)項(xiàng)目既能解決其所針對(duì)的難點(diǎn)問(wèn)題，又能促進(jìn)其他方面的研究.折疊翼是最有前景的可變體方案之一.但是，折疊翼比普通平直翼更容易發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，可能導(dǎo)致低階的彎曲和扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng).本文主要針對(duì)以折疊翼為背景的折疊機(jī)構(gòu)的力學(xué)性能開(kāi)展工作，進(jìn)行理論建模以及實(shí)驗(yàn)研究，初步探討折疊翼的振動(dòng)特性.

1 折疊翼的設(shè)計(jì)與制作

折疊翼可變體飛行器如圖1（a）所示，能不斷切換外形，其結(jié)構(gòu)的時(shí)變和非線性特性嚴(yán)重，具有多體系統(tǒng)的特點(diǎn)，而且小尺度的變形又具有柔性體的特點(diǎn)，給可變體飛行器建模和飛行控制的研究帶來(lái)了很大挑戰(zhàn).

圖1 折疊翼Fig.1 Folding Wings

折疊翼實(shí)物制作如圖1（b）所示，文章將折疊翼簡(jiǎn)化成折疊板結(jié)構(gòu)，建立理論模型，設(shè)計(jì)制作了金屬實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)，利用力錘實(shí)驗(yàn)和LMS系統(tǒng)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，得到了折疊板結(jié)構(gòu)的模態(tài)和頻率，分析了其振動(dòng)特性.

2 力學(xué)建模

針對(duì)折疊結(jié)構(gòu)的研究，早期的文獻(xiàn)多集中于直角折疊梁結(jié)構(gòu).Nayfeh等［1］研究一個(gè)T型梁和質(zhì)量塊的耦合結(jié)構(gòu).Ji等［2］研究了帶有集中質(zhì)量塊的T型梁的運(yùn)動(dòng).Wang等［3］研究了端部帶質(zhì)量塊的多梁結(jié)構(gòu).梁模型可以很好地近似板條等長(zhǎng)寬比較大的結(jié)構(gòu)，但對(duì)于長(zhǎng)寬接近的結(jié)構(gòu)，板模型能得到更為精確的結(jié)論.鑒于折疊翼的實(shí)際情況，用板理論研究會(huì)比用梁理論研究好，和實(shí)際模型的動(dòng)力學(xué)特性更為接近.

圖2 簡(jiǎn)化模型Fig.2 Simplified mode

為研究折疊翼的振動(dòng)特性，本文將其簡(jiǎn)化成折疊板機(jī)構(gòu)，如圖2所示.圖2（b）中斜紋部分為鋼夾具，夾具的兩部分間可在任一角度時(shí)一定程度鎖死，鎖死后的夾角剛度用扭簧模擬.模型中，幾個(gè)局部坐標(biāo)系取在關(guān)鍵連接點(diǎn)處，如.與平直梁板等柔性結(jié)構(gòu)相比，帶一定角度的折疊結(jié)構(gòu)的研究難度在于模態(tài)函數(shù)的選取更為復(fù)雜.

簡(jiǎn)單平直板結(jié)構(gòu)的模態(tài)函數(shù)有比較成熟的形式，而由于折疊角的影響，多板折疊結(jié)構(gòu)很難找到合適的模態(tài)函數(shù)，這使得很多學(xué)者不再拘泥于研究研究單板的思路中，而發(fā)展出各種針對(duì)特定模型的具體方法.Toshihiro等［4］研究了懸臂折疊板的自由振動(dòng)，用懸臂梁和曲柄梁的模態(tài)函數(shù)的乘積作為折疊板振型函數(shù)來(lái)研究結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)，用Ritz法得到系統(tǒng)的頻率方程和模態(tài)振型.Lai［5］用分段函數(shù)和Navier方法研究了V形折疊板的受迫振動(dòng)響應(yīng)，計(jì)算了簡(jiǎn)支V型板自用振動(dòng)的頻率方程，分析結(jié)果與有限元結(jié)果吻合得很好.Lee等［6］基于三階剪切變形理論研究了復(fù)合材料層合折疊板，分了折疊角、邊界條件、加載方式和鋪設(shè)方式對(duì)暫態(tài)響應(yīng)的影響.Attar等［7］將折疊翼模型固定于不同折疊角，用Ansys得到的振型離散動(dòng)力學(xué)控制方程，研究了不同折疊角時(shí)折疊翼的氣動(dòng)彈性問(wèn)題.郭述臻［8］對(duì)折疊翼飛機(jī)進(jìn)行建模并運(yùn)用計(jì)算流體力學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.劉瑋［9］等通過(guò)仿真分析，指出在魯棒變?cè)鲆婵刂破鞯淖饔孟?，變體飛行器在機(jī)翼折疊過(guò)程中波動(dòng)較小.

為得到系統(tǒng)的控制方程，我們先給出該結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)：

其中，ui，vi和wi分別是xi，yi和zi方向的位移，是局部坐標(biāo)和全局坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換矩陣，i＝1，2，3，4.

假設(shè)系統(tǒng)受到小振幅激勵(lì)，即F＝ε2F.采用三階剪切變形理論，設(shè)橫向振動(dòng)為小幅振動(dòng)，其余兩個(gè)方向的位移比橫向位移小很多，則有

以矢量形式表示各部分中應(yīng)變，

假設(shè)各部分均為各向均質(zhì)材料，

系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能為

以伽遼金法截?cái)喔髯兞坑?/p>

其中，Φ∈｛wi，φix，φiy，ui0，vi0｝，n為截?cái)嚯A數(shù)，qi（t）為全局自由度的時(shí)域變量，φi（x，y，z）是模態(tài)函數(shù).對(duì)于簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)，模態(tài)函數(shù)可以理論推導(dǎo).復(fù)雜結(jié)構(gòu)的模態(tài)函數(shù)通常是用數(shù)值方法或者實(shí)驗(yàn)方法得到.本文將以實(shí)驗(yàn)方法初步了解結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)函數(shù)和可能存在的耦合共振頻率.

將方程（1～7）代入哈密頓原理

由方程（8），考慮阻尼，可得到如下形式的控制方程：

式中，M、K、C分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣，為非線性項(xiàng)，X為激勵(lì)項(xiàng).給定參數(shù)，利用方程（9）可以計(jì)算結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng).

3 力學(xué)實(shí)驗(yàn)

梁、板等結(jié)構(gòu)的各種理論研究都離不開(kāi)力學(xué)實(shí)驗(yàn).李銀山［10］研究了軸對(duì)稱周邊固支圓板在簡(jiǎn)諧載荷作用下的非線性動(dòng)力學(xué)行為，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了混沌、對(duì)稱破缺和超諧分岔等現(xiàn)象.Thomas［11］用接近圓板非對(duì)稱模態(tài)所對(duì)應(yīng)的頻率的外載使系統(tǒng)做非線性受迫振動(dòng)，該實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)確測(cè)量了兩組不同參數(shù)時(shí)系統(tǒng)的振幅，實(shí)驗(yàn)顯示系統(tǒng)振幅和相位是外激勵(lì)頻率的函數(shù).Singhatanadgid等［12］以錘擊實(shí)驗(yàn)分析了同材料以及不同材料的形狀相似的不同尺寸的矩形板的固有頻率之間的相似準(zhǔn)則，發(fā)現(xiàn)工程上常用的相似原理也可以應(yīng)用于振動(dòng)響應(yīng)實(shí)驗(yàn).張偉［13］等設(shè)計(jì)了一種可伸縮機(jī)翼實(shí)驗(yàn)裝置并進(jìn)行振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，詳細(xì)分析了在不同的外伸速度和收縮速度情況下，可伸縮機(jī)翼的橫向振動(dòng)響應(yīng).郭其威［14］等介紹了模態(tài)分析－試驗(yàn)體系工程研制流程在理論上的可行性，并以某縮比艙段為例，基于 Virtualab－Nastran軟件平臺(tái)，完整實(shí)施模態(tài)分析－試驗(yàn)體系過(guò)程.

表1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)Table 1 Experimental parameters

按照上節(jié)所設(shè)計(jì)的折疊板結(jié)構(gòu)，表1給出折疊板的材料和幾何參數(shù).第一行是板一的參數(shù)，第二行是板二的參數(shù)，第三行是鋼夾具的參數(shù).實(shí)驗(yàn)流程示意圖如圖3（a）所示，采用LMS公司的錘擊實(shí)驗(yàn)?zāi)K對(duì)鋁合金板鋼連接的折疊板進(jìn)行模態(tài)實(shí)驗(yàn).圖3（b）是實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng).

圖3 實(shí)驗(yàn)Fig.3 The experiment

實(shí)驗(yàn)中，控制力錘力度，以較小振幅激勵(lì)結(jié)構(gòu)，使式（9）線性化結(jié)論與實(shí)驗(yàn)相符.將實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)固定在剛性基座上，連接好信號(hào)采集器、傳感器、力錘和計(jì)算機(jī)，接上電源.加速度傳感器粘貼到實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)上，保證其與梁緊密接觸.打開(kāi)計(jì)算機(jī)和信號(hào)采集器，進(jìn)入LMS，畫出結(jié)構(gòu)的幾何模型，設(shè)置相應(yīng)節(jié)點(diǎn)，完成相關(guān)參數(shù)（如信號(hào)通道設(shè)置，存盤路徑，采樣參數(shù)等）的設(shè)置.調(diào)整折疊角度，開(kāi)始錘擊實(shí)驗(yàn).

圖4 共振頻率Fig.4 The resonant frequencies

圖4中給出了實(shí)驗(yàn)測(cè)得結(jié)構(gòu)前三階頻率隨折疊角度變化的曲線，表示實(shí)驗(yàn)測(cè)得的前三階頻率.圖4（a）顯示二階頻率與2倍的一階頻率有相交點(diǎn)，如果系統(tǒng)有平方非線性項(xiàng)則該處存在一階模態(tài)和二階模態(tài)的1：2內(nèi)共振點(diǎn).圖4（b）顯示三階頻率與3倍的一階頻率也有相交點(diǎn)，如果系統(tǒng)有立方非線性項(xiàng)則該處存在一階模態(tài)和三階模態(tài)的1：3內(nèi)共振點(diǎn).

利用LMS進(jìn)行分析，可以得到結(jié)構(gòu)的振型.圖5給出了90°折疊角的前三階振型，由圖可清晰看出一階模態(tài)主要是板二的彎曲振動(dòng)，二階模態(tài)是板一的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和板二的彎曲振動(dòng)的耦合，三階模態(tài)主要表現(xiàn)為板二的扭轉(zhuǎn)振動(dòng).由此可見(jiàn)，折疊板結(jié)構(gòu)的全局模態(tài)即有可能主要表現(xiàn)為某部分的局部模態(tài)，也有可能為各部分以相似量級(jí)振動(dòng)的耦合.利用本節(jié)所得到的振型作為方程（7）中的模態(tài)函數(shù)，可以得到系統(tǒng)的常微分運(yùn)動(dòng)控制方程，進(jìn)而利用方程（9）研究系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng).

圖5 折疊角90°的前三階振型Fig.5 The first three modes at a 90°folding angle

4 結(jié)論

文章將折疊翼簡(jiǎn)化成折疊板結(jié)構(gòu)，討論用假設(shè)模態(tài)法分析折疊板，建立了理論模型，設(shè)計(jì)制作了折疊板的實(shí)驗(yàn)裝置，利用LMS，通過(guò)錘擊實(shí)驗(yàn)，得到了不同角度時(shí)結(jié)構(gòu)的各階頻率和振型，指出隨折疊角度的變化，結(jié)構(gòu)可能出現(xiàn)不同模態(tài)之間的內(nèi)共振，結(jié)構(gòu)的模態(tài)可表現(xiàn)為局部振動(dòng)模態(tài)，也可能是各部分以相似量級(jí)振動(dòng)的耦合.實(shí)驗(yàn)中所得到的振型可以作為系統(tǒng)離散的模態(tài)函數(shù)，得到系統(tǒng)的常微分運(yùn)動(dòng)控制方程，進(jìn)而研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng).文章為對(duì)折疊結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)分析和剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)分析提供一定的參考.

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