基于逆陣更新方法的局部非線性結(jié)構(gòu)頻響分析*

云永旺 王珺 陳力奮 唐國安

（復(fù)旦大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)系，上海 200433）

引言

對于含有非線性連接的大型局部非線性結(jié)構(gòu)，主頻響應(yīng)的穩(wěn)定性及其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值通常是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中不容忽視的動(dòng)力學(xué)特性.如航天器系統(tǒng)中，鉸接結(jié)構(gòu)的基頻運(yùn)動(dòng)特性對航天器的在軌運(yùn)動(dòng)影響較大，是設(shè)計(jì)航天器時(shí)必須加以解決的問題之一［1］.

E.Budak和 H.N.Ozguven［2］，O.Tanrikulu和H.N.Ozguven等［3］針對含有非線性連接的多自由度系統(tǒng)，提出一種基于非線性力描述函數(shù)的迭代求解非線性主頻響應(yīng)的方法；在此基礎(chǔ)上，M.B.Ozer等［4］進(jìn)一步探索了系統(tǒng)的非線性參數(shù)識別問題，并在含有一個(gè)非線性連接參數(shù)的多自由度系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了非線性類型和參數(shù)的仿真識別；Ozge Arslan等［5］則實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了上述非線性參數(shù)辨識的有效性；尉飛、鄭鋼鐵等［6－8］將該方法應(yīng)用于計(jì)算含有非線性連接的航天器的主頻響應(yīng)，通過選取結(jié)構(gòu)中的非線性自由度、激勵(lì)自由度和目標(biāo)自由度，大幅度減少頻響的計(jì)算規(guī)模.上述研究主要針對含有單個(gè)非線性連接位置（或參數(shù)）的結(jié)構(gòu)，對于含多個(gè)（n≥2）非線性連接（或參數(shù)）的結(jié)構(gòu)，目前相關(guān)的研究還很少看到.

Z.K.Peng等［9］基于 Volterra級數(shù)理論，提出了利用非線性輸出頻響函數(shù)辨識周期結(jié)構(gòu)中非線性部件位置的方法；Z.Q.Lang等［10］將該方法應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)的故障診斷；姚紅良等［11］基于非線性輸出頻響函數(shù)理論，針對因與外部接觸而發(fā)生局部非線性的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，研究其頻響分析及非線性位置的辨識.但其中的仿真算例都僅含有單個(gè)非線性連接.

對基于系統(tǒng)動(dòng)柔度進(jìn)行結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析或參數(shù)辨識的研究，近年來逐漸受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注.M.B.Ozer和 T.J.Royston［12］、S.S.Park和 J.Chae［13］各自提出了用動(dòng)柔度識別耦合系統(tǒng)中連接參數(shù)的方法；Huajiang Ouyang等［14－15］嘗試了采用動(dòng)柔度方法解決非經(jīng)典系統(tǒng)的振動(dòng)控制問題；云永旺等［16］將動(dòng)柔度修改方法應(yīng)用于軸向桿件系統(tǒng)，并做了魯棒性分析.上述研究目前還限于線性結(jié)構(gòu)，但已經(jīng)可以看出利用動(dòng)柔度方法解決多自由度系統(tǒng)中多個(gè)參數(shù)辨識或修改問題的可行性.

本文針對含有多個(gè)非線性連接的結(jié)構(gòu)，提出基于動(dòng)柔度矩陣的擬線性分析方法，即逆陣更新（Inverse Matrix Updating Method，IMU）方法，將求解系統(tǒng)動(dòng)柔度的高階矩陣求逆問題轉(zhuǎn)化為低階矩陣的求逆，從而獲得大型局部非線性結(jié)構(gòu)主頻響應(yīng)的快速計(jì)算方法.仿真結(jié)果表明，本文的分析方法具有較好的穩(wěn)定性，并能大幅提高大型局部非線性結(jié)構(gòu)主頻響應(yīng)的計(jì)算效率.

1 逆陣更新方法的理論推導(dǎo)

1.1 含有非線性連接結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析

研究含有局部非線性連接的結(jié)構(gòu)，其受外力激勵(lì)時(shí)的振動(dòng)微分方程如下：

式中，M、C、K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，N為非線性內(nèi)力，f為外激勵(lì)力.

當(dāng)系統(tǒng)受到簡諧激勵(lì)時(shí)，即：

系統(tǒng)響應(yīng)可表示為：

局部非線性結(jié)構(gòu)一般關(guān)注其主頻響應(yīng)，即：

其中，X為系統(tǒng)主頻響應(yīng)幅值向量.

對于受到簡諧激勵(lì)的系統(tǒng)，若假設(shè)其非線性內(nèi)力也可以用簡諧形式表示，即：

將式（2）、（4）、（5）代入式（1）中，于是系統(tǒng)振動(dòng)微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程：

若將非線性內(nèi)力幅值向量表示為形如［3］：

則式（6）可寫成：

于是得到具有非線性連接結(jié)構(gòu)的響應(yīng)：

其中：

稱為擬線性動(dòng)柔度矩陣（Quasilinear Receptance Matrix）［3］，類似于線性結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔度，式（10）僅在弱非線性時(shí)成立.

式（10）中相應(yīng)的線性部分動(dòng)柔度矩陣記為：

將式（11）代入式（10），得到

1.2 非線性內(nèi)力的描述函數(shù)表示

文獻(xiàn)［3］提出了利用描述函數(shù)表示非線性內(nèi)力的方法.將式（1）中的非線性內(nèi)力向量N的第k個(gè)元素表示成級數(shù)的形式：

其中，nkj表示非線性結(jié)構(gòu)的兩個(gè)連接位置k和j之間的非線性力（k≠j；當(dāng)一端固結(jié)時(shí)則令k＝j(luò)），并假設(shè)非線性力具有對稱形式，且：

在式（5）的情形下，可將nkj用簡諧形式近似表示為：

其中，非線性力的幅值A(chǔ)kj可由Fourier積分求得：

若定義系統(tǒng)主頻響應(yīng)幅值向量X中的任意兩個(gè)分量之差為：

進(jìn)一步令：

則稱 νkj為非線性力 nkj的描述函數(shù)［3］.

將式（18）代入式（15），得到：

進(jìn)一步代入式（13），得到：

對比式（5）和式（20），可得：

由式（21），可推導(dǎo)得到式（7）中Δ的表達(dá)式：

稱Δ為擬線性矩陣［3］.

1.3 逆陣更新（IMU）方法

由式（9）和式（10）可知，求解含有非線性連接的系統(tǒng)頻響，實(shí)質(zhì)上是矩陣求逆的過程，對于大型結(jié)構(gòu)，則是高階矩陣求逆的問題.

在大型局部非線性結(jié)構(gòu)中，非線性連接通常僅跟很少量的自由度有關(guān).以含有2個(gè)非線性連接的結(jié)構(gòu)為例（如圖1所示），其擬線性矩陣Δ表示為：

圖1 含有2個(gè)非線性連接結(jié)構(gòu)的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)Fig.1 The mass-spring system with two nonlinear connections

上式進(jìn)一步可寫成：

其中，

將式（24）代入式（12），可得：

式中N為結(jié)構(gòu)自由度數(shù).通過矩陣運(yùn)算，將式（26）進(jìn)一步寫成：

式中m為所連接的非線性結(jié)構(gòu)的數(shù)目.一般來說，m?N，則式的高階求逆問題轉(zhuǎn)化成式的低階求逆，稱之為逆陣更新（Inverse Matrix Updating Method，IMU）方法.不難發(fā)現(xiàn)，在局部非線性結(jié)構(gòu)中，如果線性部分的頻響特性α可以通過實(shí)測或有限元方法獲得，有限的非線性連接位置δ和模型V已知，則由式可計(jì)算得到局部非線性結(jié)構(gòu)的主頻響應(yīng).

2 逆陣更新（IMU）方法求解系統(tǒng)頻響的數(shù)值計(jì)算

由式（27）可知，若線性部分的頻響特性及非線性連接特性已知，即可求解系統(tǒng)的頻響.由于V（或Δ）同時(shí)又與響應(yīng)X相關(guān)，因此在數(shù)值計(jì)算中，通常需要構(gòu)造迭代方法來進(jìn)行.

將式（27）代入式（9），構(gòu)造迭代公式：

上式中，Δω為迭代步長，ωl，h為掃頻的最低或最高的頻率.在實(shí)際計(jì)算中，迭代公式（28）在共振頻率附近通常較難收斂，一般需引入加權(quán)因子λ，構(gòu)造迭代為［3］：

加權(quán)因子λ的值一般可取0～0.5.

3 仿真算例

3.1 含有立方非線性的單自由度系統(tǒng)頻響分析

如圖2所示的單自由度（Single degree of freedom，SDOF）系統(tǒng)，質(zhì)量塊與固壁間連接的是立方非線性剛度（Cubic stiffness）彈簧，系統(tǒng)特性參數(shù)如下：

圖2 含有立方非線性的單自由度系統(tǒng)Fig.2 The single degree of freedom system with a cubic stiffness spring

當(dāng)所加激勵(lì) F＝200N時(shí)，采用龍格-庫塔法（Runge-Kutta）求解，取3個(gè)振動(dòng)周期后的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，得到的頻響曲線如圖3所示，計(jì)算過程用時(shí)約230秒（HP電腦，CPU為4GHz）.

圖3 龍格-庫塔法計(jì)算的單自由度系統(tǒng)頻響曲線Fig.3 The frequency response of the SDOF system by the Runge-Kuttamethod

同樣的參數(shù)條件下，采用本文所述的迭代方法計(jì)算得到的系統(tǒng)頻響如圖4所示，計(jì)算過程用時(shí)0.75秒（同樣的電腦）.

圖4 動(dòng)柔度迭代方法計(jì)算的單自由度系統(tǒng)頻響Fig.4 The frequency response of the SDOF system by IMU

由圖3和圖4的頻響曲線可以看出，對于具有立方非線性彈簧的單自由度系統(tǒng)，采用傳統(tǒng)的龍格-庫塔方法和本文提出的IMU方法都能得到較為理想的計(jì)算結(jié)果.在相同參數(shù)條件下，采用IMU方法的計(jì)算效率顯著提高.

3.2 單非線性連接的多自由度系統(tǒng)頻響分析

研究如圖5所示的含有單個(gè)非線性連接的多自由度（Multi-Degree-of Freedom，MDOF）軸向振動(dòng)系統(tǒng)，立方非線性彈簧位于固壁與第1個(gè)質(zhì)量塊之間.

圖5 含有單個(gè)非線性的多自由度軸向振動(dòng)系統(tǒng)Fig.5 A ten DOFaxial vibration system with single nonlinear connection

該振動(dòng)系統(tǒng)的特性參數(shù)如下：

當(dāng)系統(tǒng)在第1個(gè)質(zhì)量塊上受到簡諧力作用時(shí)，激勵(lì)力幅值為f0＝175N，采用（IMU）方法計(jì)算該局部非線性系統(tǒng)的頻響，得到第1個(gè)質(zhì)量塊上的頻響曲線如圖6所示.

圖6 含有單個(gè)非線性彈簧（連接固壁）的軸向振動(dòng)系統(tǒng)的頻響曲線Fig.6 The frequency response ofthe axial vibration system with single nonlinear connection between the 1th coordinate and the ground

改變非線性彈簧的連接位置，將非線性彈簧連接在第1個(gè)和第2個(gè)質(zhì)量塊之間，激勵(lì)分別作用在第1個(gè)質(zhì)量塊和第2個(gè)質(zhì)量塊上，激勵(lì)力幅值為f0＝75N.采用逆陣更新（IMU）方法計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)，分別得到Θ12和Θ21的頻響曲線如圖7所示.

圖7 含有單個(gè)非線性彈簧的軸向振動(dòng)系統(tǒng)的頻響曲線Fig.7 The frequency response of the axial vibration system with single nonlinear connection between the 1th and the 2nd coordinates

從圖6和圖7的頻響曲線可以看出，采用IMU方法，在系統(tǒng)第一階共振頻率附近，從低頻到高頻和從高頻到低頻分別進(jìn)行迭代計(jì)算，系統(tǒng)的頻響特性均出現(xiàn)明顯的非線性現(xiàn)象（彈簧硬化）.上述結(jié)果與文獻(xiàn)［3］的計(jì)算結(jié)果基本一致.計(jì)算中均引入加權(quán)因子 λ＝0.3.

3.3 含有多個(gè)非線性連接的軸向振動(dòng)系統(tǒng)頻響分析

研究含有三個(gè)非線性連接（立方非線性剛度彈簧）的軸向振動(dòng)桿件，如圖8所示.

圖8 含有三個(gè)非線性連接的軸向振動(dòng)桿Fig.8 An axial vibration rod with three nonlinear connections

該軸向振動(dòng)桿兩端固支，特性參數(shù)如下：

三個(gè)立方剛度非線性彈簧的描述函數(shù)為：

其中：

比例阻尼：c＝ηk，η＝0.01.

非線性彈簧連接位置：

激勵(lì)位置：Lq＝1.8m；幅值 f0＝8.0×103N；

響應(yīng)位置：Lp＝1.8m.

將連續(xù)桿件系統(tǒng)離散成N自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)（集中質(zhì)量法），如圖9所示.

圖9 含有三個(gè)非線性連接的軸向振動(dòng)桿離散系統(tǒng)Fig.9 The discrete axial vibration system with 3 nonlinear connections

N分別取 150，200，300，400，500，600時(shí)，連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的固有頻率如表1和圖10所示.

表1 軸向振動(dòng)系統(tǒng)的前5階固有頻率Table 1 The first5 order natural frequencies of the axial vibration system

圖10 軸向振動(dòng)系統(tǒng)的第1階固有頻率曲線Fig.10 The first order natural frequency of axial vibration system

從表1和圖10可以看出，隨著離散自由度數(shù)不斷增加，離散系統(tǒng)的固有頻率不斷逼近連續(xù)系統(tǒng)的固有頻率值.當(dāng)N＝300時(shí)，離散系統(tǒng)第1階固有頻率與連續(xù)系統(tǒng)的第1固有頻率誤差僅為0.3%.

采用IMU方法，在系統(tǒng)的第1階共振頻率附近從低頻到高頻及從高頻到低頻分別進(jìn)行迭代計(jì)算，得到局部非線性系統(tǒng)的自頻響特性，如圖11所示.不難看出，具有明顯的非線性現(xiàn)象（彈簧硬化），且隨著離散自由度數(shù)的增加，頻響曲線的跳躍區(qū)間（頻率）逐漸收斂.由此說明，該方法具有很好的穩(wěn)定性.

4 結(jié)論

本文針對局部非線性系統(tǒng)，提出了基于逆陣更新（IMU）的分析非線性主頻響應(yīng)的快速計(jì)算方法.該方法采用動(dòng)柔度矩陣描述系統(tǒng)頻響特性，通過矩陣運(yùn)算將求解系統(tǒng)動(dòng)柔度的高階求逆問題轉(zhuǎn)化為低階矩陣求逆，在數(shù)值計(jì)算中利用加權(quán)迭代，得到非線性系統(tǒng)的頻響.

對含有立方非線性的單自由度系統(tǒng)及含有單個(gè)和多個(gè)非線性連接的多自由度系統(tǒng)的仿真算例都表明，（IMU）方法不僅計(jì)算效率高，而且算法收斂性好，計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定，特別適合于大型局部非線性結(jié)構(gòu).本方法針對其他非線性類型（如間隙非線性等）或其它結(jié)構(gòu)類型（如梁、板等）的仿真分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證正在繼續(xù)研究中.

圖11 不同離散自由度的頻響 hpq曲線（Lq＝1.8m，Lp＝1.8m，自頻響）Fig.11 The receptances of the axial vibration system with different discrete DOF

1 王巍，于登云，馬興瑞.航天器鉸接結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)特性研究進(jìn)展.力學(xué)進(jìn)展，2006，36（2）：233～238（WangW，Yu D Y，Ma X R.Advances and trends of nonlinear dynamics of space joint-dominated structure.Advances in Mechanics，2006，36（2）：233～238（in Chinese））

2 Budak E，Ozguven H N.Iterative receptance method for determining harmonic response of structures with symmetrical non-linearities.Mechanical Systems and Signal Processing，1993，7（1）：75～87

3 Tanrikulu O，Kuran B，Ozguven H N，Imregun M.Forced harmonic response analysis of non-linear structures using describing functions.AIAA Journal，1993，31（7）：1313～1320

4 Ozer M B，Ozguven H N，Royston T J.Identification of structural non-linearities using describing functions and the Sherman-Morrison method.Mechanical Systems and Signal Processing，2009，23（1）：30～44

5 Arslan O，Aykan M，Ozguven H N.Parametric identification of structural nonlinearities from measured frequency response data.Mechanical Systems and Signal Processing，2011，25（4）：1112～1125

6 尉飛，鄭鋼鐵.具有非線性連接的航天器非線性振動(dòng)分析.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2009，22（4）：329～334（Wei F，Zheng G T.Nonliear dynamics of spacecraft with nonlinear joints.Journal of Vibration Engineering，2009，22（4）：329～334（in Chinese））

7 尉飛，白紹竣，張靜，鄭鋼鐵.一種求解局部非線性結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的方法.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2009，26（4）：793～797（Wei F，Bai SJ，Zhang J，etal.Evaluation for steady state response of systems with local nonlinearities.Chinese Journal of Applied Mechanics，2009，26（4）：793～797（in Chinese））

8 Wei F，Zheng G T.Nonlinear vibration analysis of spacecraftwith localnonlinearity.Mechanical Systemsand Signal Processing，2010，24（2）：481～490

9 Peng Z K，Lang ZQ，Chu F L，Meng G.Locating nonlinear components in periodic structures using nonlinear effects.Structural Health Monitoring，2011，9（5）：401～411

10 Lang ZQ，Park G，F(xiàn)arrar CR，et al.Transmissibility of non-linear output frequency response functions with application in detection and location of damage in MDOF structural systems.International Journal of Non-Linear Mechanics，2011，46（6）：841～853

11 姚紅良，韓清凱，馮霏，等.多自由度局部非線性系統(tǒng)頻域響應(yīng)及非線性位置的辨識方法.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2011，9（2）：107～110（Yao H L，Han Q K，F(xiàn)eng F，et al.NOFRF of the locally non-linear MDOF system and the detection method of the nonlinearity position.Journal of Dynamics and Control，2011，9（2）：107～110（in Chinese））

12 Ozer M B，Royston T J.Application of Sherman-Morrison matrix inversion formula to damped vibration absorbers attached to multi-degree of freedom systems.Journal of Sound and Vibration，2005，283（3-5）：1235～1249

13 Park SS，Chae J.Joint identification of modular tools using a novel receptance coupling method.The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2008，35：1251～1262

14 Ouyang H J，Baeza L，Hu SL.A receptance-based method for predicting latent roots and critical points in frictioninduced vibration problems of asymmetric systems.Journal of Sound and Vibration，2009，321（3-5）：1058～1068

15 Ouyang H J.Prediction and assignment of latent roots of damped asymmetric systems by structural modifications.Mechanical Systems and Signal Processing，2009，23（6）：1920～1930

16 云永旺，陳力奮，唐國安.基于動(dòng)柔度修改的軸向振動(dòng)控制系統(tǒng)魯棒性分析.振動(dòng)與沖擊，2009，28（12）：146～150（Yun YW，Chen L F，Tang G A.Robustness analysis of axial vibration controlbased on receptance modification method.Journal of Vibration and Shock，2009，28（12）：146～150（in Chinese） ）