Kelly-CVaR模型在大類資產(chǎn)配置中的應(yīng)用

徐 皓

(國泰基金管理有限公司，上海 200082)

0 引 言

2016-06-17，證監(jiān)會頒布《公開募集證券投資基金運(yùn)作指引第 2 號：基金中基金指引(征求意見稿)》，開啟了公募FOF時(shí)代的大門。隨著FOF基金進(jìn)入投資者的視野，關(guān)于大類資產(chǎn)配置的方法和策略則越來越被重視。1952年馬可維茨(Harry·A·Markowitz)發(fā)表題為《Portfolio selection》[1]的論文，提出以資產(chǎn)收益率的方差度量風(fēng)險(xiǎn)，方差越大，說明收益率的變動(dòng)幅度越大，則投資資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)越高，反之則風(fēng)險(xiǎn)較低，并建立了著名的投資組合模型——均值-方差模型。均值-方差模型以收益率的波動(dòng)來度量風(fēng)險(xiǎn)，但投資者更關(guān)心的則是投資損失具體能達(dá)到什么樣的水平，VaR方法就很好地解決了這個(gè)問題。VaR表示在給定的置信水平α下，投資者在某一市場波動(dòng)范圍內(nèi)面臨的最大可能損失，方法被廣泛運(yùn)用于金融市場中的風(fēng)險(xiǎn)管理。但VaR方法也存在一些不足，為了克服VaR方法的缺陷，Rockefeller和Urease(2002)提出了條件VaR模型(Conditional VaR，以下簡稱CVaR)。CVaR衡量尾部損失的平均值，代表了超額損失的平均值，被認(rèn)為是一種比VaR更有效的風(fēng)險(xiǎn)配置方法[2]。但CVaR是衡量和管理風(fēng)險(xiǎn)的一個(gè)指標(biāo)，難以單獨(dú)用于資產(chǎn)配置，由此在CVaR控制風(fēng)險(xiǎn)的前提下，引入了計(jì)算資產(chǎn)配置比例的Kelly公式，并將兩者結(jié)合起來建立了Kelly-CVaR模型，并運(yùn)用模型對中證全指、中證全債和Wind商品指數(shù)進(jìn)行了資產(chǎn)配置實(shí)證，回測期為2007-01-01到2016-12-31，3個(gè)月?lián)Q倉一次。

1 VaR和CVaR方法

1.1 VaR風(fēng)險(xiǎn)度量方法

VaR方法(Value at Risk)是1993年J·P·Morgon，G30集團(tuán)在考察衍生產(chǎn)品的基礎(chǔ)上提出的一種風(fēng)險(xiǎn)測度方法[3]，模型經(jīng)金融監(jiān)管機(jī)構(gòu)的推廣，逐漸成為全行業(yè)衡量風(fēng)險(xiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)。VaR方法采用概率統(tǒng)計(jì)原理估計(jì)金融風(fēng)險(xiǎn)，在險(xiǎn)價(jià)值(VaR)的含義是在給定的置信水平α下，投資者在某一市場波動(dòng)范圍內(nèi)面臨的最大可能損失。

若記ΔW為資產(chǎn)在持有期t內(nèi)的損失值，VaR與置信水平α的關(guān)系可表示為

Prob(ΔW>VaR(α))=1-α

(1)

VaR的計(jì)算主要涉及兩個(gè)因素：目標(biāo)時(shí)段和置信水平。目標(biāo)時(shí)段是指計(jì)算的是未來多長時(shí)間內(nèi)的VaR，它的確定主要依賴于投資組合中資產(chǎn)的流動(dòng)性而定；置信水平的確定主要取決于風(fēng)險(xiǎn)管理者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，一般取90%～99.9%。由此可見，VaR值實(shí)際上就是投資組合收益率的一個(gè)分位點(diǎn)，計(jì)算VaR值的方法有多種，目前常用的方法有3種：參數(shù)法、歷史模擬及蒙特卡洛模擬。

VaR方法在全球金融風(fēng)險(xiǎn)管理中得到了大力推廣，較之以往的風(fēng)險(xiǎn)度量技術(shù)，VaR方法具有諸多的優(yōu)點(diǎn)，但VaR在對尾部風(fēng)險(xiǎn)的測量時(shí)往往忽略了小概率事件發(fā)生時(shí)的巨額損失，且不滿足次可加性，運(yùn)用于資產(chǎn)配置存在一些局限。

1.2 CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量方法

為了彌補(bǔ)VaR方法的缺陷，Rockefeller和Urease(2002)提出了條件VaR模型(Conditional VaR，以下簡稱CVaR)[4]，又稱期望損失(Expected Shortfall)。若f(W，R)表示資產(chǎn)損失函數(shù)，則

CVaR=E[f(W，R)|f(W，R)>VaR]

(2)

CVaR不再是給定置信水平下的分位數(shù)，而是尾部損失的平均值，囊括了損失高于閾值VaR的尾部信息，可以有效預(yù)測和管理小概率事件帶來的損失。

圖1 CVaR及VaRFig.1 CVaR and VaR

在既定的置信水平α下，由CVaR定義可得

CVaR=VaR+E[f(W，R)-VaR|f(W，R)>VaR]=

(3)

式(3)意味著求CVaR值一般需要預(yù)先獲得VaR的值，進(jìn)而基于分位點(diǎn)求解CVaR值。

在介紹完CVaR之后，現(xiàn)在的問題是如何將它運(yùn)用于資產(chǎn)配置之中，在這之前，先介紹一下Kelly公式。

2 Kelly公式

1956年，John Larry Kelly以賽馬模型推導(dǎo)出了Kelly公式的雛形，隨后，公式被應(yīng)用于賭場和股票市場上，卓有成效[5]。以資產(chǎn)增值速度最快作為目標(biāo)函數(shù)，簡要介紹Kelly公式。

若投資者面臨的交易機(jī)會期望收益大于0，且可進(jìn)行重復(fù)交易，設(shè)初始財(cái)富為τ0，經(jīng)過t次交易后，投資者財(cái)富終值為at。在每次交易中獲利的概率為p，期望收益率為a；虧損的概率為1-p，期望虧損比例為b。投資者采取“固定比例”資金管理方法，交易動(dòng)用資金占比為w，則有

τt=τ0(1+aw)pt(1-bw)(1-p)t

(4)

令g(w)為財(cái)富的指數(shù)增長率為

(5)

式(5)說明財(cái)富指數(shù)增長率g(w)實(shí)際為投資組合期望收益率。令g(w)一階導(dǎo)數(shù)等于0，二階導(dǎo)數(shù)小于0，求出最優(yōu)投資比例w*，即得Kelly公式為

(6)

將公式由單一資產(chǎn)情形向多資產(chǎn)配置推廣：若第i(i=1，2，…，n)種資產(chǎn)下期收益為ri，對應(yīng)權(quán)重為wi，則投資組合的期望對數(shù)收益率為

g(w1，w2，…，wn)=E[ln(1+∑iwiri)]

(7)

記R=(r1，r2，…，rn)，若資產(chǎn)收益率聯(lián)合概率密度函數(shù)為P(R)，則有

(8)

在離散的情形下，基于n種資產(chǎn)收益率的S組樣本

可確定投資組合期望增值速度

(9)

其中πj表示樣本{rj，1，rj，2，…，rj，n}的概率。

為便于模型求解，沿用經(jīng)典Kelly公式的思想繼續(xù)簡化該模型。Kelly公式假設(shè)資產(chǎn)未來存在獲利和虧損兩種情形，若各類資產(chǎn)在交易中出現(xiàn)獲利，期望收益率分別為(a1，a2，…，an)；資產(chǎn)在交易中虧損，期望虧損比例分別為(b1，b2，…，bn)。窮舉I=2n種情形，得到各種情形下收益率的表達(dá)式，如表1所示。

表1 投資各類資產(chǎn)盈虧情形Table 1 The situation of different asset allocation

由此，目標(biāo)函數(shù)可簡化為

(10)

這樣，只需對每一期的g(w1，w2，…，wn)求最大值，可解出每期最優(yōu)投資組合。

3 Kelly-CVaR模型

CVaR是衡量和管理風(fēng)險(xiǎn)的一個(gè)指標(biāo)，難以單獨(dú)用于資產(chǎn)配置模型，而Kelly公式注重資產(chǎn)配置比例的計(jì)算[6]，在風(fēng)險(xiǎn)控制方面相對缺乏。因此，將兩者結(jié)合起來建立Kelly-CVaR模型，在CVaR控制風(fēng)險(xiǎn)的前提下，使用Kelly公式的思路配置資產(chǎn)。

為了避免模型對低收益、高風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)分配0權(quán)重，對各類資產(chǎn)的持有比重設(shè)置下限為5%。為合理規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，若某類資產(chǎn)損失超過10%，則限制下期資產(chǎn)持有比重不超過10%。

基于上述兩點(diǎn)考慮，并結(jié)合式(2)和式(10)，可以得到Kelly-CVaR模型。

s.t. 1Tw=1

wTCVaR≤c

wi≥5%i=1，2，…，n

wi≤10% 當(dāng)yi-1≤-10%時(shí)i=1，2，…，n

(11)

在約束條件中，c表示投資期內(nèi)組合凈值平均損失比例的最大值，例如：c=5%，表示在α的置信水平下，未來一段時(shí)間內(nèi)組合凈值平均損失比例不超過5%。

4 模型實(shí)證

4.1 目標(biāo)時(shí)段T=1 d

首先令目標(biāo)時(shí)段T=1 d，即表示投資期內(nèi)每1 d內(nèi)組合凈值平均損失比例不超過上限值c。對c取值5%、10%、20%和33%，對置信水平取值為90%、92.5%和95%，使用Kelly-CVaR模型對中證全指(000 985.CSI)、中證全債(H1 1001.CSI)、Wind商品指數(shù)(CCFI.WI)進(jìn)行資產(chǎn)配置實(shí)證，回測期為2007-01-01到2016-12-31，3個(gè)月?lián)Q倉一次(數(shù)據(jù)來源于Wind金融數(shù)據(jù)庫)。對比不同參數(shù)組合下的回測結(jié)果，確定最優(yōu)投資組合，對應(yīng)的參數(shù)為：c=5%、置信水平為95%，回測結(jié)果如表2。

表2 Kelly-CVaR模型風(fēng)險(xiǎn)收益Table 2 Result of risk gairl of Kelly-CVaR model

圖2Kelly-CVaR模型凈值
Fig.2NetvalueofKelly-CVaRmodel

圖3 Kelly-CVaR模型資產(chǎn)權(quán)重Fig.3 Asset weight of Kelly-CVaR model

圖4 Kelly-CVaR模型資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)權(quán)重Fig.4 Asset risk weight of Kelly-CVaR model

從圖2、圖3、圖4實(shí)證結(jié)果來看，模型構(gòu)建的投資組合取得了21.05%的年化收益，顯著超過了各資產(chǎn)的收益率，并且夏普比率也要高于各資產(chǎn)，體現(xiàn)了良好的配置效果。從倉位分配來看，中證全債指數(shù)權(quán)重占比較大，但在中證全指和Wind商品指數(shù)表現(xiàn)較好的時(shí)段，模型趨向于增加這些資產(chǎn)的權(quán)重。模型的風(fēng)險(xiǎn)暴露仍然集中于中證全指和Wind商品這兩類資產(chǎn)。

4.2 目標(biāo)時(shí)段T=15 d

將目標(biāo)時(shí)段由前文的1 d改為15 d，表示未來15 d內(nèi)組合凈值平均損失的最大值不超過c。其他條件不變，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驮谧顑?yōu)置信水平下的回測結(jié)果。置信水平分別取值50%、60%、67%、70%、75%、80%、85%、90%和95%，在不同置信水平對模型進(jìn)行回測，回測結(jié)果如表3。

表3 不同置信水平下模型回測結(jié)果(c=5%，T=15)Table 3 Results of Kelly-CVaR model with different confidence level(c=5%，T=15)

圖5不同置信水平下組合凈值(c=5%，T=15)
Fig.5Netvalueofportfolioatdifferentconfidence

level(c=5%，T=15)

從表3可以看出，其他條件相同，當(dāng)置信水平上升，模型構(gòu)建的投資組合的累計(jì)收益率和年化收益率逐漸下降，年化波動(dòng)率降低，夏普比率上升，最大回撤率先緩慢下降后極速下降。

從圖5可以看出：其他條件相同，隨著置信水平上升，模型構(gòu)建的投資組合的凈值逐漸下降。當(dāng)置信水平在85%及以下時(shí)，組合凈值差別不大，當(dāng)置信水平大于85%時(shí)，組合的凈值明顯小于置信水平較低的投資組合。這是因?yàn)橹眯潘皆礁?，模型的約束越嚴(yán)格，投資越謹(jǐn)慎，投資于低風(fēng)險(xiǎn)水平的資產(chǎn)比例增加，從而導(dǎo)致組合凈值降低。

綜上所述，設(shè)置15 d內(nèi)組合凈值平均損失最大值為5%，當(dāng)置信水平設(shè)置為85%時(shí)，模型配置的投資組合取得最優(yōu)的投資效果，投資組合的年化收益率為20.23%，年化波動(dòng)率為13.29%，夏普比率為1.33，最大回撤率為19.78%。

4.3 目標(biāo)時(shí)段T=30 d

其他條件不變，將目標(biāo)時(shí)段由前文的15 d進(jìn)一步修改為30 d，即在未來30 d內(nèi)投資組合凈值平均損失不超過最大值c。在不同置信水平對模型進(jìn)行回測，回測結(jié)果如表4。

表4 不同置信水平下模型回測結(jié)果(c=5%，T=30)Table 4 Results of Kelly-CVaR model with different confidence level(c=5%，T=30)

圖6不同置信水平下投資組合凈值(c=5%，T=30)
Fig.6Netvalueofinvestmentportfolioatdifferent

confidencelevel(c=5%，T=30)

從表4可以看出，目標(biāo)時(shí)段為30 d時(shí)，其他條件相同，當(dāng)置信水平上升，模型構(gòu)建的投資組合的累計(jì)收益率和年化收益率逐漸下降，年化波動(dòng)率降低，夏普比率上升，最大回撤率先緩慢下降后極速下降。當(dāng)設(shè)置置信水平為80%時(shí)，模型構(gòu)建的投資組合取得了最優(yōu)的投資效果，組合年化收益率為19.81%，年化波動(dòng)率為13.08%，夏普比率為1.32，最大回撤率為19.78%。

從前面3組不同時(shí)間段的回測結(jié)果來看，隨著目標(biāo)時(shí)段邊長，組合的年化收益率下降、年化波動(dòng)率下降、夏普比率上升，為了使模型取得最優(yōu)投資效果，設(shè)置的置信水平越小。這說明增加目標(biāo)時(shí)段的天數(shù)，有利于提高模型的風(fēng)險(xiǎn)控制能力，但同時(shí)也會導(dǎo)致組合的收益率下降。實(shí)際投資過程中，應(yīng)該根據(jù)投資者的風(fēng)險(xiǎn)承受能力設(shè)置相應(yīng)的目標(biāo)時(shí)段。

5 總 結(jié)

總的來說，Kelly-CVaR模型在確保組合凈值的平均損失率不超過給定水平的前提下，最大化資產(chǎn)增值率，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)資產(chǎn)配置模型在風(fēng)險(xiǎn)控制方面的缺陷，也為FOF基金的大類資產(chǎn)配置策略提供了新的思路。利用模型對中證全指、中證全債和Wind商品指數(shù)進(jìn)行資產(chǎn)配置，根據(jù)模型配置的投資組合取得了的收益率顯著超過了各資產(chǎn)的收益率，并且夏普比率也要高于各資產(chǎn)，體現(xiàn)了良好的配置效果。增加模型約束中目標(biāo)時(shí)段的天數(shù)，有利于提高模型的風(fēng)險(xiǎn)控制能力，但同時(shí)會導(dǎo)致組合的收益率下降。實(shí)際投資過程中，應(yīng)該根據(jù)投資者的風(fēng)險(xiǎn)承受能力設(shè)置相應(yīng)的目標(biāo)時(shí)段。