由實驗的發(fā)生談幾何概型測度的選擇

劉霞

摘要：本文談了幾何概型測度的選擇。希望能給我們的教學(xué)帶來幫助。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；幾何概型測度；選擇

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）01-0097

一、緣起

在本學(xué)期開學(xué)初的模塊解讀教研活動中，我校的陳校長對普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《必修三》的概率部分做了整體解讀，提到自己當(dāng)年在講授幾何概型時的一次經(jīng)歷，一道幾何概型習(xí)題他將實驗的測度由角度錯選為線段的長度，導(dǎo)致求錯，但為什么選角度，卻一直困擾著他。直到一年后，一個偶然的機會他才真正把原因弄明白。教師尚且如此，那對于剛接觸此類問題的學(xué)生更是不好把握，尤其在考場上，學(xué)生精神緊張，考試時間又有限，所以快速找到解題的突破口，就顯得尤為重要。于是會后筆者找到這個習(xí)題，就這一類問題認(rèn)真梳理，并形成了自己的一些想法。

二、問題及解決策略探討

幾何概型與古典概型是概率論中的基礎(chǔ)概率模型，二者的每個基本事件發(fā)生的概率都是等可能的；古典概型基本事件個數(shù)只有有限個，是可數(shù)的，學(xué)生通過列舉可以說是看得見、摸得著的，但幾何概型的基本事件卻是無限的，需要對原始條件進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，建構(gòu)準(zhǔn)確合理的基本事件的空間測度，來簡化概率計算過程。但是有些看似“等價”的轉(zhuǎn)化，最終卻得到了不同的答案，使人們產(chǎn)生困惑，也使我們在做題時不敢輕易給出結(jié)論，左右為難，難以下手。比如我們常見的以下問題：

問題1：如圖所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高AD= ，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，求BM<1的概率。

問題2：如圖所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高AD= ，在線段BC上找一點M，求BM<1的概率。

比較以上兩個問題其他條件不變，只是將“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M”改為“在線段BC上找一點M”，這就導(dǎo)致很多人將這兩題混為一談，測度都認(rèn)為是線段BC，而將問題1錯解為問題2的答案，認(rèn)為P= = = 但事實并非如此，正因為這一小小的改動，兩個問題的情景截然不同，實驗發(fā)生的背景發(fā)生了巨大的變化。解決這一問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍。當(dāng)考察對象為點時，點的活動范圍在線段上時，用線段長度比計算；點的活動范圍構(gòu)成平面區(qū)域或空間區(qū)域時，就用面積比或體積比來計算；當(dāng)考察對象為線時，一般用角度比計算。但無論選擇哪種測度解題，都要緊扣幾何概型的定義及兩大特征。即：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型。幾何概型中事件A的概率計算公式P（A）= 它的兩大基本特征一是基本事件有無限多個，二是基本事件的等可能性。定義要求實驗中事件的概率只與構(gòu)成事件區(qū)域的測度（長度、面積、角度、體積等）有關(guān)，而與它的位置及形狀無關(guān)，保證基本事件的等可能性是求幾何概型求解最基本的要求。讓我們回顧剛才的問題，問題2中的實驗是直接在BC上取點，考察對象是點，點的活動范圍是線段BC，所以實驗測度為線段的長度，實驗結(jié)果是等可能的，而問題1中是在∠BAC內(nèi)作射線AM，AM與BC相交得點M，兩者進(jìn)行的不是同一個實驗，此時點M是由射線AM引發(fā)的，AM的動引起點M的動，所以此時若以點M為考察對象，它就不會在BC邊上等可能地分布。原因如下：設(shè)∠BAM=α則由正弦定理得： = ， BM=sin60°AM，BM與AM不成正比，故當(dāng)點M由B到C變化時，兩者變化的速率不同，導(dǎo)致AM等可能變化時BM卻不能等可能變化。所以以線段BM的長度作為事件的測度是不合理的。那么正確的解法是什么呢？讓我們不妨回到實驗本身，看實驗是如何發(fā)生的，在直角的內(nèi)部任意引射線AM，頂點是A，相當(dāng)于AM繞點A旋轉(zhuǎn)，如圖所示AM的旋轉(zhuǎn)軌跡，發(fā)現(xiàn)AM會覆蓋，所以實驗全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為∠BAC，事件BM<1的區(qū)域即為∠BAD。所以正解如下：

【解】 ∵∠B=60°，∠C=45°，∴∠BAC=75°，

在Rt△ADB中，AD= ∠B=60°，

∴BD= =1，∠BAD=30°.

記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時事件N發(fā)生.

由幾何概型的概率公式得P（N）= =

因此，我們掀起幾何概型的“蓋頭”，發(fā)現(xiàn)雖然它將古典概型的有限性推廣到無限性，但是保證基本事件的等可能性卻是一樣的，因此要把握好幾何概型的“測度”，不能改變基本事件的性質(zhì)。這一點在貝特朗悖論的解法中也得到了很好的印證。讓我們回顧一下貝特朗問題及其四種解法：半徑為1的圓內(nèi)，隨機取一條弦，求該弦長度超過圓內(nèi)接正三角形的邊長的概率。

解法1：任取一弦AB ，作垂直于AB 的直徑PQ 。過點P 作等邊三角形，交直徑于N ，易證N為OQ的中點，弦AB的長等于圓內(nèi)接正三角形的邊長，并取OP 的中點M。所有與PQ 垂直的弦，與MN 相交時，其弦心距均小于ON ，則該弦長度就大于等邊三角形邊長，故所求概率P（弦長度超過圓內(nèi)接正三角形的邊長）= 。

解法2：首先確定一個點A，將其視為定點，而另外一個點P的位置不定。那么就轉(zhuǎn)化成如右圖的情形，那么P點的位置可以由弧AP的長度決定。P點本來可以在圓上任意位置。則總測度為2π，要使弦長大于圓內(nèi)接正三角形的邊長，則P點只能在弧BC上，則事件“弦長度超過圓內(nèi)接正三角形的邊長”測度為 ，故P（弦長度超過圓內(nèi)接正三角形的邊長）= 。

解法3：考慮弦的中點。對于長度大于內(nèi)接等邊三角形邊長的弦，這個中點必定落在一個半徑為原來一半的同心圓內(nèi)。這個新圓的面積只有原來那個圓的1/4，因此所求的概率為1/4。

解法4：讓我們設(shè)想把所有能作為弦的線段放在一起，它的長度從0到d（即圓的直徑長度）。那些符合要求的弦其長度將落在 d與d之間，因此概率是 。

以上四種不同的解法，當(dāng)思考問題的角度不同時，取弦的方法不同，實際上采用了不同的等可能性假設(shè)，相當(dāng)于進(jìn)行了四種不同的隨機實驗，在第一種解法中過一條直徑上的點作直徑的垂線，弦的中點在直徑上均勻分布；在第二種解法中確定一個點A，視為定點另外一個點P在圓上任意選取，P在圓周上均勻分布；第三種解法中又假定弦的中點在圓內(nèi)均勻分布；第四種解法中所有能作為弦的線段放在一起，長度從0到d是均勻分布的；所以我們在解決幾何概型問題時明確實驗是如何進(jìn)行的，由實驗本身出發(fā)找事件的構(gòu)成，更容易把握準(zhǔn)事件的測度，確保事件的等可能性，避免錯誤的發(fā)生。

（作者單位：山東省泰安第一中學(xué) 271000）