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    高等數(shù)學(xué)解題應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)法的分析

    2018-09-10 21:45:03白慷張敬洋
    大東方 2018年3期
    關(guān)鍵詞:構(gòu)造高等數(shù)學(xué)解題

    白慷 張敬洋

    摘 要:構(gòu)造函數(shù)法在解題時具有巧妙、新穎、簡潔等特點,常?;睘楹?、使解題突破常規(guī),易于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和探索精神,是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力的有效范例。而輔助函數(shù)的構(gòu)造方法多種多樣,具有較強的技巧性,本文主要通過實例討論構(gòu)造輔助函數(shù)的常用方法。

    關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué);解題;函數(shù);構(gòu)造

    構(gòu)造函數(shù)法是高等數(shù)學(xué)中證明某些命題時經(jīng)常使用的方法。該方法在有關(guān)中值定理的證明、不等式的證明和方程根的討論中被廣泛使用。所謂構(gòu)造函數(shù)法,就是在解決數(shù)學(xué)問題時,依據(jù)該問題中的條件與結(jié)論之間的關(guān)系,構(gòu)造出一個輔助函數(shù),通過對輔助函數(shù)的研究使數(shù)學(xué)問題得到解決的方法。構(gòu)造函數(shù)法的關(guān)鍵是建立適當?shù)妮o助函數(shù)。通過對輔助函數(shù)的變換來證明結(jié)論。

    一、拉格朗日中值定理

    分析法指的是通過對結(jié)果一步一步地倒推,構(gòu)造輔助函數(shù),幫助分析,最終通過對重新構(gòu)造函數(shù)的分析證明得出結(jié)論的過程。拉格朗日中值定理的證明:輔助函數(shù)法:已知f(x)在ab閉區(qū)間內(nèi)連續(xù),開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),然后構(gòu)造輔助函數(shù)g(x),代入(a,g(a)),(b,g(b)),可以得到,g(a)=g(b)=f(a),有因為f(x)在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù),在開區(qū)間可導(dǎo),所以,根據(jù)羅爾定理可以證明拉格朗日中值定理的存在性,代入后進行化簡和移項可證明定理存在。

    注:微分學(xué)中的基本定理之一的拉格朗日中值定理又名拉氏定理,它反映了可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)某點的局部變化率與閉區(qū)間上的整體的平均變化率的關(guān)系。羅爾中值定理的推廣式,同時柯西中值定理的特殊情形也是拉格朗日中值定理,它還是泰勒公式的弱形式(一階展開),在大多數(shù)不等式證明以及部分微分題中,此原理都有廣泛運用。

    二、證明不等式

    (1)通過單調(diào)性證明不等式的存在性

    單調(diào)性是指,在一定的定義域內(nèi),函數(shù)的增減性,它能夠準確地說明函數(shù)在定義域內(nèi)在值域上的映射變化,在解決不等式問題時,我們可以根據(jù)增減性來判斷極值點的位置,進而證明不等式的存在性。例1:證明:當x>0時,x>ln(1+x)

    分析:通過觀察不等式的結(jié)構(gòu),我們可以了解到,兩個初等函數(shù)構(gòu)成了這個不等式,因為初等函數(shù)的微分依舊是初等函數(shù),所以我們可以想到利用做差法來構(gòu)造輔助函數(shù),f(x)=x-ln(1+x),通過求導(dǎo)新構(gòu)造函數(shù)可以得出相應(yīng)的極值以及在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性,并由此得出結(jié)論。構(gòu)造輔助函數(shù)的方法就是做差法,它通過移項,做差構(gòu)造新的函數(shù),并通過求導(dǎo)構(gòu)造的新函數(shù)證明單調(diào)性,得出極值,從而解決問題。

    (2)用拉格朗日中值定理證明不等式

    高等數(shù)學(xué)中,拉格朗日中值定理可以證明許多不等式題目,大多數(shù)題目在使用拉格朗日中值定理前都需要進行化簡和恒等變形,如果經(jīng)過恒等變形之后不等式符合拉格朗日中值公式的條件,就需要考慮

    使用公式來解決問題。

    例2:證明:當x>1時,ex>ex。分析:初步觀察不等式,看似毫無頭緒,但仔細分析后我們可以發(fā)現(xiàn)x∈(1,x')(x'>0)在此區(qū)間,應(yīng)用中值定理,肯定會出現(xiàn)式子ex′-e,原不等式就可以變形為ex-e>e(x-1)=ex-e/x-1>e,通過觀察可以發(fā)現(xiàn)不等式在變形之后滿足拉格朗日中值定理的應(yīng)用條件,于是我們在區(qū)間內(nèi)設(shè)輔助函數(shù)f(x)=ex,由于它在區(qū)間內(nèi)滿足拉格朗日中值定理的條件,所以用拉格朗日中值定理即可證明不等式的存在。

    (3)用最大最小值證明

    當不等式求導(dǎo)后得到的數(shù)值在區(qū)間內(nèi)符號不同需要分段討論時較為麻煩,因此不能夠用單調(diào)性來證明,所以我們可以考慮用最值證明。

    三、構(gòu)造函數(shù)求極限

    構(gòu)造輔助函數(shù)能夠簡化函數(shù),對于一些較為復(fù)雜的函數(shù),我們沒有辦法應(yīng)用現(xiàn)有知識進行解決,因此,在解決題目的過程中遇到較為復(fù)雜的函數(shù)時,我們應(yīng)該先對現(xiàn)有函數(shù)進行觀察,化簡,在符合構(gòu)造函數(shù)條件的情況下通過構(gòu)造函數(shù)來求極限。

    例3:設(shè)f(x)=1/x+1+1/x+2+...+1/x+x,求limx→∞f(x)。分析:此題的函數(shù)結(jié)構(gòu)如果用其他方式較為麻煩,而且每一項的格式并不相同,因此,我們考慮對每一項進行變形,構(gòu)造相應(yīng)的輔助函數(shù)對其進行統(tǒng)一和簡化,再通過對黎曼積分的使用,困難程度就減輕了,因為:通過極限思想,我們得到了黎曼積分,所以很容易把它反用于極限的求解過程中。

    四、結(jié)論

    當遇到較為困難且復(fù)雜的題目時,我們需要先對其構(gòu)造輔助函數(shù),使其滿足黎曼積分的應(yīng)用條件,并易于考慮題目進一步的計算,通過極限思想,我們得到了黎曼積分,所以很容易把它反用于極限的求解過程中,再通過運用我們已學(xué)的有關(guān)積分知識就可求得極限值。

    五、計算積分及函數(shù)值

    例5:設(shè)在[0,1]上,|f(x)|<=M,且f(x)在(0,1)內(nèi)取得最大值,證明|f(1)|+|f(0)|<=M.f(x)在(0,1)內(nèi)取得最大值說明存在k屬于(0,1)使f(k)=0利用中值定理得f(1)-f(k)=(1-k)f(a)其中a是(k,1)中的某數(shù)所以|f(1)|=|(1-k)f(a)|<=1-k同理可證|f(0)|<=k相加即得要證的方程

    六、構(gòu)造函數(shù)解決數(shù)列問題

    數(shù)列變形之后首先進行觀察,查看數(shù)列是否符合構(gòu)造函數(shù)的條件,若符合,根據(jù)數(shù)列自身的性質(zhì)以及形態(tài)構(gòu)造特定函數(shù)進行求解。

    結(jié)束語

    美國著名教育家波利亞說:“解題的成功要靠正確思路的選擇,要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘.”構(gòu)造函數(shù)法也是這樣,構(gòu)造合適的輔助函數(shù),要依據(jù)所要證明的命題及相關(guān)的的定理進行構(gòu)造。當然,構(gòu)造輔助函數(shù)還有許多巧妙的方法,這要求我們在解題的過程中不斷地研究、探索和總結(jié)。

    參考文獻

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