運用構造思想提升高中生數(shù)學解題效率

朱海玲

【摘 要】本文簡要介紹構造思想的思維特征，梳理構造法的主要類型，以例講解構造法在高中數(shù)學中的應用，從已知條件和結論入手，通過構造新的數(shù)學形式將復雜的問題簡單化，將陌生的問題熟悉化，從而巧妙地解決相關數(shù)學問題。

【關鍵詞】高中數(shù)學 構造思想 多維發(fā)散 數(shù)量關系

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）06B-0159-02

構造法在高中數(shù)學中占據(jù)及其重要的位置，其核心方法是從已知條件和結論入手，并在此基礎上構造出一些新的數(shù)學形式，借助此形式來解決一些相關問題。筆者在多年的教育教學經(jīng)驗中發(fā)現(xiàn)，構造法在高中數(shù)學的多個章節(jié)的知識中都有所體現(xiàn)，應用構造思想能夠較好地提高高中生的解題效率，并不斷促進其創(chuàng)造性思維能力的提升。

一、拔絲抽繭，認識構造思想的思維特征

構造法作為一種常見的數(shù)學解題方法，具有直觀性、靈活性等諸多優(yōu)點。對于高中階段的學生來說，構造法能夠極大地鍛煉和培養(yǎng)其思維的多樣性。教師在教學過程中應當通過對比構造、聯(lián)想構造、歸納構造以及逆向構造等多種構造方式來逐步提升學生的思維活力，促進其創(chuàng)造性思維能力的提升。

在運用構造法進行解題時，應當認識到兩點：第一，構造出的方程或者是命題等數(shù)學形式應當是在滿足題中已知條件的基礎上；第二，學生在構造時不能盲目構造，應當有明確的方向，并在此基礎上進行構造。這樣學生才能夠深入認識到構造法的本質(zhì)，并利用相關結論進行解題，不斷促進其解題效率的提升以及數(shù)學核心素養(yǎng)的不斷升華。

二、多維發(fā)散，梳理構造法的主要類型

構造法能夠較大地培養(yǎng)學生的思維發(fā)散性能力，因此教師在教學當中要有意識地梳理構造法的主要類型，使學生能對號入座，見題知意。

（一）構造命題法，證明等價命題。對于某些命題來說，對其直接證明時學生可能會感覺無從下手，此時教師可以引導學生構造等價命題再進行證明。學生可以根據(jù)命題的某些特性，比如原命題與逆否命題等價來進行證明，或者是根據(jù)命題構造出熟悉的模型來解決問題，這樣能夠極大地簡化證明過程。

對于這個題目來說，學生可以構造一個新的命題，原命題可以等價為把 10 個相同的小球分為四份，即在 9 個空中插入三個隔板，即 種。

由此可見，對于這種命題證明類型的題目，學生剛接觸時不要操之過急，可以先認真思考是否可以構造其等價命題將其轉化。這樣做不僅能夠極大地簡化解題過程，而且能夠全面提升學生解題效率和數(shù)學成績。

（二）構造新元法，求解三角問題。對于某些題目來說，其在解題時需要構造新的變量代入原式，尤其是三角函數(shù)，其諸多特性使得其經(jīng)常作為新元被代入解決相關問題。這樣可以將不熟悉的題目轉化為熟悉的數(shù)學模型進行解答。這樣做，在增強了學生的思維活力的同時也減小其思維跨度，促進其良好思維方式的形成。

對于這類相似的問題，教師可以引導學生構造新元，引入三角函數(shù)代換解決。這樣不僅使思路清晰明了，而且能極大地簡化解題過程，因此這種方法非常值得推廣。值得一提的是，教師應當對題目中的注意事項和關鍵點給予重視和強調(diào)，爭取做到萬無一失。

（三）構造反例法，選擇特殊實例。在某些題目中，尤其是選擇、填空類型的題目，往往只需要學生得到最終結果，不需要太過詳細的解答過程。對于這種題目，構造法無疑是一種很好的選擇，學生可以通過構造一兩個反例的方式來快速解題。

在教學選修 2-1 的 2.3《充要條件》的相關內(nèi)容時，有這樣一道題：

兩條線段 PA、PB 與平面成角相等的充要條件是 PA=PB，試判斷該命題是否正確。

對于這種題目來說，學生只要構造出一個范例證明該結論不成立，那么該命題即為假命題。在筆者的啟發(fā)下，學生積極思考，舉出了以下這兩種反例推翻了該命題。如圖所示，左圖說明該命題的充分性不成立，右圖說明該命題的必要性不成立。所以說對待這種類型的題目時，學生可以選取特殊值法構造反例來進行求解。這樣做不僅節(jié)省時間，而且更有助于學生思維能力的發(fā)展。

通過這個實例不難看出，反例的構造能夠快速地推翻該命題，得到該命題為假命題的結論。除此之外，學生還可以通過代入一些特殊值、點等來直接選擇答案，提高解題效率。

三、多元實踐，強化構造法的廣泛應用

構造法在高中數(shù)學中的應用非常廣泛，在向量、三角以及數(shù)列等多個章節(jié)都有所體現(xiàn)，教師在教學時應當對這種類型的題目進行歸納整理，使學生在應用的時候能做到得心應手、舉一反三。

（一）構造向量，加強知識聯(lián)系。知識之間往往是相通的，教師在教學時要注重對知識之間的聯(lián)系進行梳理。比如，通過構造向量，學生能夠巧妙地將三角函數(shù)的相關知識與向量相結合，靈活地解題，提升學生的解題效率，促進學生全面發(fā)展。

在教學必修 4 第二章《平面向量》時，有這樣一道例題：

某平面上有三個向量 a，b，c，這三個向量都是單位向量，且 a，b 兩向量相互垂直，問（a-c）（b-c）的最大值和最小值分別是多少。

在解答這道題時，學生可以根據(jù)題目中的“單位向量”“相互垂直”和“最值”等字眼聯(lián)想到學過的三角函數(shù)的相關知識，這樣學生就可以設 a（1，0），b（0，1），其數(shù)量積為零說明其相互垂直，滿足題意，然后設 c 為（sinα，cosα），則（a-c）（b-c），再結合三角函數(shù)的相關知識不難得出：該式的最大值為 ，最小值為 。因此在遇到這種類型的題目時，教師要多引導學生學會構造向量，促進其對知識的遷移和應用，全面提升其解題效率。

（二）構造函數(shù)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。方程與函數(shù)向來都是緊密聯(lián)系、密不可分的，所以在遇到與方程或者函數(shù)相關的題目時，可以在這二者之間進行靈活轉化、構造。比如，將方程零點問題轉化為函數(shù)交點問題等，這樣不僅可以促進學生的知識遷移能力的提升，而且更有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神。

在教學必修 1 第二章《指數(shù)函數(shù)》的相關知識時，由于指數(shù)函數(shù)相比于其他函數(shù)來說較為復雜，學生不好理解。于是筆者引導學生應用構造方程法來解決相關問題，比如：

x 滿足方程 ex=3x+a，若此方程有實數(shù)根，求 a 的范圍。

這種題目用以前的常規(guī)思路是不容易解答的，所以教師可以引導學生另辟蹊徑。比如，構造兩個函數(shù)，令 ex=f（x），3x+a=g（x），這樣可以將 f（x）求導后求出斜率等于 3 時的切線方程，這樣 a 的范圍也就呼之欲出了。經(jīng)過這個過程，把方程有實數(shù)解的問題巧妙地轉化為函數(shù)有交點的問題，化抽象為具體，學生理解起來也更容易，更能有效促進學生創(chuàng)新性思維能力的提升。

（三）構造數(shù)列，探求解題捷徑。構造數(shù)列法一般應用于數(shù)列求和問題中，該方法的應用能夠極大地簡化解題過程，提高學生的解題效率。這種類型的題目并不難做，我們需要讓學生依據(jù)題干給出的關系式進行變形和構造，爭取將其改造成我們熟悉的等差和等比數(shù)列的形式就行。這樣我們就可以選擇套用公式的方法來進行求解。

總之，構造法在高中數(shù)學中的應用非常廣泛，對此教師應當分類進行總結，使學生掌握構造法在各種類型題目中的應用方法。通過構造新的數(shù)學形式的方式將復雜的問題簡單化，將陌生的問題熟悉化。在解題時對癥下藥，巧妙解決相關數(shù)學問題。掌握這種方法能較快地提升學習效率，使數(shù)學成績得到提高，使數(shù)學核心素養(yǎng)得到提升。

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[3]劉良華.數(shù)學構造思想方法的探索與實踐[D].武漢：華中師范大學，2004

（責編 盧建龍）