平面P波在半圓形凹陷場(chǎng)地產(chǎn)生的動(dòng)應(yīng)力路徑

劉廷峻 汪 剛

(1.中國(guó)地震局工程力學(xué)研究所，黑龍江 哈爾濱 150080; 2.中國(guó)地震局地震工程與工程振動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150080)

近幾十年來(lái)，估計(jì)地表局部不規(guī)則地形對(duì)地震地面運(yùn)動(dòng)影響的研究工作一直是地震學(xué)、地震工程學(xué)中令人關(guān)注的課題之一。地表局部不規(guī)則地形對(duì)地震地面運(yùn)動(dòng)影響作為宏觀現(xiàn)象，其本質(zhì)是彈性波的散射與動(dòng)應(yīng)力集中。彈性波的散射與動(dòng)應(yīng)力集中問(wèn)題[1]是近幾十年提出的課題，它在理論上，特別是工程應(yīng)用上有重要的意義。在研究土體的動(dòng)力學(xué)特性時(shí)，Ishihara等[2]在計(jì)算波浪對(duì)海床的作用時(shí)提出了動(dòng)應(yīng)力路徑的概念，以土體單元為研究對(duì)象，選取豎向應(yīng)力與水平向應(yīng)力之差的1/2作為橫坐標(biāo)，選取剪應(yīng)力作為縱坐標(biāo)，繪制動(dòng)應(yīng)力路徑。動(dòng)應(yīng)力路徑的概念在研究車輛動(dòng)載下地基的響應(yīng)和飛機(jī)荷載下跑道道基的響應(yīng)時(shí)得到了廣泛的應(yīng)用，魏星等[3]在研究移動(dòng)交通荷載下公路軟土地基的沉降計(jì)算時(shí)考慮了土體的動(dòng)應(yīng)力路徑，張凡[4]在研究飛機(jī)單輪荷載作用下山區(qū)機(jī)場(chǎng)跑道動(dòng)力響應(yīng)時(shí)考慮了土體的動(dòng)應(yīng)力路徑。本文基于波動(dòng)理論，推導(dǎo)了平面P波斜入射時(shí)半圓形凹陷場(chǎng)地不同位置處土體應(yīng)力的計(jì)算公式，分析了平面P波入射時(shí)表面土體的位移幅值和內(nèi)部土體的動(dòng)應(yīng)力路徑，并比較了半圓形凹陷場(chǎng)地與半無(wú)限場(chǎng)地之間的差異。

1 采用模型與方法

1.1 采用模型

根據(jù)彈性波動(dòng)力學(xué)基本理論[5]，本文對(duì)研究模型進(jìn)行了一定的簡(jiǎn)化，如圖1所示。假定場(chǎng)地為包含半圓形凹陷的平面半無(wú)限體，半圓形凹陷的圓心在O點(diǎn)，半徑為a，土體為線彈性，波在傳播過(guò)程中沒(méi)有能量的衰減。

1.2 平面P波入射下的土體應(yīng)力狀態(tài)

1.2.1自由場(chǎng)

設(shè)入射P波勢(shì)函數(shù)為:

φi=expiα(xcosθα-ysinθα)

(1)

其中，上標(biāo)i表示入射波；波數(shù)α=ω/vp；ω為圓頻率；vp為P波波速；θα為入射波和法線的夾角。

入射P波時(shí)存在波型轉(zhuǎn)換現(xiàn)象，產(chǎn)生反射P波和反射SV波。自由場(chǎng)的P波和SV波的勢(shì)函數(shù)為：

φf(shuō)f=expiα(xcosθα-ysinθα)+K1expiα(xcosθα+ysinθα)

(2)

ψff=K2expiβ(xcosθβ+ysinθβ)

(3)

其中，K1和K2均為反射系數(shù)。

自由場(chǎng)的P波和SV波勢(shì)函數(shù)可展開(kāi)為柱面波函數(shù)：

(4)

(5)

其中，an,bn,cn,dn均為已知系數(shù)。

1.2.2散射場(chǎng)

散射波的勢(shì)函數(shù)為：

(6)

(7)

其中，上標(biāo)s表示散射波；An,Bn,Cn,Dn均為未知系數(shù)。

1.2.3邊界條件

平面和凹陷處均為自由邊界，故滿足：

σθ|θ=0,π=0

(8)

τrθ|θ=0,π=0

(9)

0≤θ≤π，σr|r=a=0

(10)

0≤θ≤π，τrθ|r=a=0

(11)

1.2.4未知系數(shù)的求解

極坐標(biāo)下應(yīng)力—?jiǎng)莺瘮?shù)的關(guān)系為:

(12)

(13)

(14)

Lee[6]提出了一種算法，如式(15)，式(16)所示，在半空間中將正弦函數(shù)用余弦函數(shù)表示，從而將未知系數(shù)減少至An和Cn。

(15)

式中:

(16)

故散射波導(dǎo)致的應(yīng)力可以表示為:

(17)

(18)

(19)

將式(17)～式(19)代入式(8)，式(9)可直接滿足。將式(17)～式(19)代入式(10),式(11)可得:

(20)

(21)

σx=σrcos2θ+σθsin2θ-2τrθsinθcosθ

(22)

σy=σrsin2θ+σθcos2θ+2τrθsinθcosθ

(23)

τxy=(σr-σθ)sinθcosθ+τrθ(cos2θ-sin2θ)

(24)

到此為止，平面P波入射下，由式(22)～式(24)可以確定土體中任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。

2 土體表面位移幅值分析

極坐標(biāo)下位移—?jiǎng)莺瘮?shù)的關(guān)系為:

(25)

(26)

再使用式(27),式(28)可以得到位移分量在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式：

ux=urcosθ-uθsinθ

(27)

uy=ursinθ+uθcosθ

(28)

入射平面P波時(shí)，選取土體表面的位移幅值進(jìn)行分析。土體參數(shù)為：密度ρ=1 800 kg/m3，剪切波速vs=2 000 m/s，泊松比υ=0.25。凹陷的半徑為1 000 m。入射波頻率2 Hz，入射波成60°入射。

如圖2所示，由于凹陷場(chǎng)地的影響，地表位移幅值發(fā)生了較大的變化，放大效應(yīng)最大的地方是凹陷的邊緣，面對(duì)入射波一側(cè)比背對(duì)入射波一側(cè)放大效應(yīng)更加明顯；半圓形凹陷內(nèi)部的位移幅值比兩側(cè)水平面的位移幅值規(guī)律更加復(fù)雜，并且受位置的影響更大。

3 土體動(dòng)應(yīng)力路徑分析

入射平面P波時(shí)，選取不同位置的土體進(jìn)行分析和對(duì)比，選取(σy-σx)/2作為橫坐標(biāo)，τxy作為縱坐標(biāo)，繪制動(dòng)應(yīng)力路徑。土體參數(shù)和入射波和上一節(jié)相同。

選取半圓形凹陷場(chǎng)地和半無(wú)限場(chǎng)地中直角坐標(biāo)為(-1 800,3),(-1 800,7),(-1 800,10),(-1 800,15),(1 800,3),(1 800,7),(1 800,10),(1 800,15),(1 200,3),(1 200,7),(1 200,10),(1 200,15)的點(diǎn)繪制動(dòng)應(yīng)力路徑。

如圖3～圖5所示，半圓形凹陷場(chǎng)地和半無(wú)限場(chǎng)地的相同點(diǎn)是動(dòng)應(yīng)力路徑都是橢圓。不同點(diǎn)是，相同位置處，半圓形凹陷場(chǎng)地面對(duì)入射波的橢圓(如圖3所示)的高度和寬度都大于半無(wú)限場(chǎng)地，說(shuō)明面對(duì)入射波一側(cè)的土體正應(yīng)力差和剪應(yīng)力都要大于半無(wú)限場(chǎng)地；半圓形凹陷場(chǎng)地背對(duì)入射波一側(cè)，有的橢圓(如圖4所示)高度和寬度大于半無(wú)限場(chǎng)地，有的橢圓(如圖5所示)高度和寬度小于半無(wú)限場(chǎng)地，說(shuō)明面對(duì)入射波一側(cè)的土體正應(yīng)力差和剪應(yīng)力都要小于半無(wú)限場(chǎng)地。

在地基、邊坡的地震穩(wěn)定性分析中，需要考慮到土體在往返荷載作用下的強(qiáng)度，對(duì)土體不同位置處動(dòng)應(yīng)力路徑的研究可以應(yīng)用于尋找場(chǎng)地中地震穩(wěn)定性最危險(xiǎn)的位置。

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于波動(dòng)理論，推導(dǎo)了地震波斜入射時(shí)半圓形凹陷場(chǎng)地不同位置處土體應(yīng)力的計(jì)算公式，分析了平面P波入射時(shí)表面土體的位移幅值和內(nèi)部土體的動(dòng)應(yīng)力路徑，并比較了半圓形凹陷場(chǎng)地與半無(wú)限場(chǎng)地之間的差異，在本文的假設(shè)條件下，得到以下結(jié)論：

1)入射平面P波時(shí)，凹陷場(chǎng)地導(dǎo)致的放大效應(yīng)最大的地方是凹陷的邊緣。

2)入射平面P波時(shí)，半圓形凹陷場(chǎng)地和半無(wú)限場(chǎng)地土體的動(dòng)應(yīng)力路徑都是橢圓。

3)受凹陷和位置等因素影響，橢圓的高度、寬度、傾斜程度發(fā)生變化。