困惑的小螞蟻

趙光義

[摘 要]通過具體問題對(duì)初中數(shù)學(xué)中常見的立體圖形的表面最短距離進(jìn)行了分析，能讓學(xué)生辨析學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤.

[關(guān)鍵詞]最短距離；初中數(shù)學(xué)；立體圖形

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-6058（2018）14-0034-02

立體圖形表面最短路徑問題與生活實(shí)際聯(lián)系密切，能多方面考查學(xué)生的知識(shí)與技能.在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生對(duì)這類問題的掌握過于機(jī)械，有時(shí)甚至公式般的套用，他們對(duì)具體問題不做深入的思考，針對(duì)不同情況，不做具體分析，以致錯(cuò)誤.

問題1：如圖1所示，有一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正方體，在頂點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到頂點(diǎn)B處的食物，沿著正方體的表面爬行，則需要爬行的最短距離是多少？

分析：將正方體表面展開，如圖2，連接AB，則線段AB的長(zhǎng)度即為螞蟻爬行的最短距離.在Rt[△]ABC中，AC=2a，BC=a，根據(jù)勾股定理可得：AB=[AC2+BC2=（2a）2+a2=5a].對(duì)于這一點(diǎn)，學(xué)生都能理解、掌握.但是，這個(gè)問題一旦放到長(zhǎng)方體中，有的學(xué)生也就簡(jiǎn)單機(jī)械地模仿著這個(gè)過程來解決問題，往往會(huì)出錯(cuò)誤.

如圖3，長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為a、b、c （a>b>c>0） ，在頂點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到頂點(diǎn)B處的食物，沿著正方體的表面爬行，則需要爬行的最短距離是多少？

解：從點(diǎn)A到點(diǎn)B有3條不同的路徑可選（如圖4所示），長(zhǎng)方體表面展開時(shí)，展開的方式不同，連接AB后，AB的長(zhǎng)度也不相同（如圖5、圖6和圖7）.

（i）如圖5，當(dāng)長(zhǎng)為b、c的邊展開后在一條直線上時(shí)，根據(jù)勾股定理，可得l1=AB=[b+c2+a2=a2+b2+c2+2bc].

（ii）如圖6，當(dāng)長(zhǎng)為a、c的邊展開后在一條直線上時(shí)，根據(jù)勾股定理，可得l2=AB=[a+c2+b2=a2+b2+c2+2ac].

（iii）如圖7，當(dāng)長(zhǎng)為a、b的邊展開后在一條直線上時(shí)，根據(jù)勾股定理，可得l3=AB=[a+b2+c2=a2+b2+c2+2ab].

∵a>b>c>0，∴l(xiāng)1< l2< l3.

所以，路徑①的距離最短.

“小螞蟻沿著立體圖形的表面爬向另一個(gè)點(diǎn)去吃可口的食物，要求小螞蟻爬行的最短路徑”一類問題，當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高不等時(shí)，螞蟻爬行有三種不同的路徑，這三種路徑中，到底是哪條路徑最短，得通過計(jì)算比較，再做出選擇.在這個(gè)問題中，學(xué)生往往機(jī)械地利用正方形的方法，不做仔細(xì)的思考，任選擇其中的一種作為最短距離，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.

問題2：如圖8，在圓柱體中，在點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到點(diǎn)B處的食物，沿著圓柱體的表面爬行，則需要爬行的最短距離是多少？

解析：設(shè)圓柱體的底面半徑為r，高為h，螞蟻從點(diǎn)A，沿著圓柱體的表面爬行，到點(diǎn)B處吃食物，如何爬行，才能使得爬行路徑最短？此時(shí)，有兩條路徑可以選擇，路徑①如圖9：A-B；路徑②如圖10：A-C-B，但是哪一條路徑更短呢？

路徑①，如圖11， 路徑為l1=[AB=AC2+BC2=h2+（πr）2].

路徑②，路徑為l2=[AC+BC=h+2r].

（i）當(dāng)l1> l2時(shí)，[h2+（πr）2]>[h+2r]，

得：[r>4π2-4?h].此時(shí)路徑②較短.

（ii）當(dāng)l1=l2時(shí)，[h2+（πr）2]=[h+2r]，

得[r=4π2-4?h]，此時(shí)兩路線相同.

（iii）當(dāng)l1

得[r<4π2-4?h]，此時(shí)路徑①較短.

問題3：小河的同側(cè)有兩個(gè)村莊A、B.現(xiàn)想在小河邊建一個(gè)水站，向兩村莊送水，不考慮其他因素，要求所鋪設(shè)的管道最短，求水站的位置，并求此時(shí)管道的長(zhǎng)度.

解析：水站的位置有兩種選擇的方案，如圖12和圖13.

設(shè)A到直線l的距離為a，點(diǎn)B到直線l的距離為b，（a

如圖12，l1=PA+PB=A′B=[m2+（a+b）2].

如圖13，l2=PA+AB=[a+m2+（b-a）2].

（i）當(dāng)l1>l2時(shí)， [m2+（a+b）2]>[a+m2+（b-a）2]，

即12[b2-3a2>4m2]時(shí)，l1> l2.此時(shí)路徑②較短.

（ii）當(dāng)l1=l2時(shí)， [m2+（a+b）2]=[a+m2+（b-a）2]，

即[12b2-3a2=4m2]時(shí)，l1=l2.此時(shí)兩路線相同.

（iii）當(dāng)l1

即[12b2-3a2<4m2]時(shí)，l1

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）