概率統(tǒng)計(jì)建模問題探究

歐陽群壯

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂》提出，我國中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，應(yīng)培養(yǎng)好六大核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模就是六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.高考相當(dāng)重視數(shù)學(xué)建模思想的考查，并以日常的生產(chǎn)、生活、經(jīng)濟(jì)、社會熱點(diǎn)、我國傳統(tǒng)文化等為背景設(shè)計(jì)試題.從簡單的概率統(tǒng)計(jì)問題到綜合的概率統(tǒng)計(jì)問題，試題非常注重理論聯(lián)系生活實(shí)際，考核學(xué)生的數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，考查的數(shù)學(xué)模型有古典概率、幾何概型、線性回歸模型等.下面以部分高考數(shù)學(xué)題為載體進(jìn)行探究.

1. 古典概率.它是最基本的概率模型，主要考查古典概型的特征及概率計(jì)算公式.

【例1】 （2014年全國新課標(biāo)Ⅰ卷）4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為（ ）.

A. [18] B. [38] C. [58] D. [78]

解析：由題意知4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動有24種情況，而4位同學(xué)都選周六有1種情況，4位都選周日有1種情況，故周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為[P=24-1-124=78] ，故選D.

[點(diǎn)評]試題考查了概率的基本知識和方法，教師應(yīng)該引導(dǎo)考生關(guān)注生活中的數(shù)學(xué)問題，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.

2.幾何概型.主要考查幾何概型和幾何概率的計(jì)算方法.

【例2】 （2017年全國新課標(biāo)Ⅰ卷）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（ ）.

A .[14] B .[π8] C .[12] D . [π4]

解析：在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成了正方形ABCD圍成的區(qū)域.設(shè)A表示事件“在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分”，那么事件A中的試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成了正方形ABCD中的陰影部分.由題意，這是一個幾何概型的問題.設(shè)正方形的邊長為[a]，則正方形ABCD的面積[a2]，陰影部分的面積為[π8a2]，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為[P（A）=π8a2a2=π8]. 故選B.

[點(diǎn)評]本題以我國古代的太極圖為情境設(shè)計(jì)了一個簡單的概率問題，試題考查幾何概型及幾何概率的計(jì)算，同時引導(dǎo)考生熱愛我國傳統(tǒng)文化，學(xué)習(xí)傳統(tǒng)文化，引領(lǐng)考生關(guān)注生活中的數(shù)學(xué)問題.

3. 二項(xiàng)分布.對二項(xiàng)分布基本知識的掌握、理解及應(yīng)用程度進(jìn)行考查.

【例3】 （2017年全國新課標(biāo)卷）一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX= .

解析：因?yàn)槭菑囊粋€總體中有放回地重復(fù)抽樣，X就是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中一個事件發(fā)生的次數(shù)，故服從二項(xiàng)分布. 因?yàn)閇n=100，p=0.02]，故[DX=100]×0.02×（1-0.02）= 1.96.

[點(diǎn)評]本題以產(chǎn)品抽樣問題為載體，設(shè)計(jì)了一個求隨機(jī)變量X的方差問題.要求考生根據(jù)二項(xiàng)分布知識，判別X服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布的數(shù)字特征求解.背景符合社會實(shí)際，有現(xiàn)實(shí)意義，體現(xiàn)了概率統(tǒng)計(jì)知識在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用.

4. 互斥事件、條件概率、分布列等模型.側(cè)重考查應(yīng)用其概念及計(jì)算方法解決實(shí)際問題的能力.

【例4】 （2016年全國新課標(biāo)Ⅰ卷）某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a（單位：元），繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

所以續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23.

[點(diǎn)評]試題考查互斥事件、條件概率、分布列等模型，通過概率、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算考查學(xué)生的運(yùn)算能力，通過隨機(jī)變量的分布列考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，利用貼近生活的實(shí)際問題考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力和數(shù)學(xué)建模方法.

5. 線性回歸模型.它是一種重要的統(tǒng)計(jì)模型，在生產(chǎn)實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用.

【例5】 （2015年全國新課標(biāo)卷）某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y （單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：

（Ⅰ）求y關(guān)于t的線性回歸方程；（已知b=0.5）

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.

解析：（Ⅰ）由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得：[t][=17（1+2+3+4+5+6+7）=4]，

[y]= [17（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3]，

[i=17（ti-t）2=9+4+1+0+1+4+9=28，]

[i=17（ti-t）（yi-y）=（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+（-1）×（-0.7）+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14，]

[b]= [i=17（ti-t）（yi-y）i=17（ti-t）2=1428=0.5，] [a]= [y]- [bt] =

4.3[-]0.5×4= 2.3，所求回歸方程為 [y]= [0.5t+2.3] .

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， [b]=0.5 >0，故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元. 將2015年的年份代號[t=9]代入（Ⅰ）中的回歸方程，得[y]=0.5×9 + 2.3=6.8， 故預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元.

[點(diǎn)評]本題以“農(nóng)村居民家庭人均純收入”這一重要社會經(jīng)濟(jì)指標(biāo)為載體，要求考生根據(jù)若干年的數(shù)據(jù)建立線性回歸方程并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，考查了考生對線性回歸方程理論的掌握和理解程度以及計(jì)算、數(shù)據(jù)處理的能力，并考查了利用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.該題貼近生活，源于實(shí)際，要求考生理論聯(lián)系生活實(shí)際，體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)對中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容改革的主旨精神.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）