“簡單的線性規(guī)劃問題”的八步教學(xué)設(shè)計

崔靜靜 趙思林

【摘 要】 數(shù)學(xué)技能指學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中，通過訓(xùn)練完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)的一種行動或心智行動方式.數(shù)學(xué)技能分為動作技能和心智技能.基于促進(jìn)數(shù)學(xué)技能習(xí)得的相關(guān)理論，對簡單的線性規(guī)劃問題進(jìn)行“八步”教學(xué)設(shè)計：“設(shè)”—“列”—“畫”—“化”—“移”—“看”—“求”—“悟”，并說明各步的設(shè)計意圖.這樣設(shè)計有利于突出重點，突破難點.代數(shù)法、向量法也可作為一般方法解此類問題.

【關(guān)鍵詞】 技能習(xí)得；線性規(guī)劃；“八步”教學(xué)設(shè)計

2017年9月22日至24日，全國第二屆全日制教育碩士學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)教學(xué)技能大賽（決賽）在山東煙臺魯東大學(xué)舉行，本次大賽共涉及高中數(shù)學(xué)的8個課題，“簡單的線性規(guī)劃問題”是其中一個，該課題選自人教社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書數(shù)學(xué)5（必修）（A版）[1].筆者在賽后寫下了“簡單的線性規(guī)劃問題”的教學(xué)設(shè)計.

1 數(shù)學(xué)技能的相關(guān)理論的簡述

數(shù)學(xué)技能指學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中，通過訓(xùn)練完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)的一種行動或心智行動方式.數(shù)學(xué)技能可分為動作技能和心智技能[2].

動作技能指數(shù)學(xué)活動中由一系列實際操作以合理、完善的程序構(gòu)成的操作活動方式.它具有外顯性、客觀性、非簡約性三個基本特點.

心智技能是指借助內(nèi)部言語在大腦中按合理完善的方式自動地進(jìn)行數(shù)學(xué)認(rèn)知活動方式，它是經(jīng)過后天的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練而形成的.它具有以下特點：（1）心智技能的作用對象是抽象的數(shù)學(xué)概念、命題與表象；（2）心智技能的動作是借助內(nèi)部言語在頭腦內(nèi)部完成的，其他人很難從外部觀測到學(xué)習(xí)主體的變化情況；（3）簡縮性，即動作成分可以省略、合并、簡化；（4）有時需要借助動作技能加以完成；（5）依附于一定的數(shù)學(xué)概念、法則，建立在理解的基礎(chǔ)之上；（6）可通過練習(xí)提高技能實施的速度與效率.

中小學(xué)課程中的數(shù)學(xué)基本技能包括：數(shù)值運(yùn)算技能、符號操作技能、圖形處理技能、數(shù)據(jù)分析技能、推理論證技能、數(shù)學(xué)交流技能等.

2 促進(jìn)數(shù)學(xué)技能習(xí)得的教學(xué)設(shè)計

2.1 教材分析

2.1.1 教學(xué)內(nèi)容分析

“簡單的線性規(guī)劃問題”是人教社A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書數(shù)學(xué)5（必修）第三章《不等式》中第3節(jié)的第二個內(nèi)容.該課題是在學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)和“二元一次不等式（組）與平面區(qū)域”之后的一個教學(xué)內(nèi)容.因此，“簡單的線性規(guī)劃問題”可看成是“不等式的性質(zhì)”和“二元一次不等式（組）與平面區(qū)域”的應(yīng)用.顯然，解決“簡單的線性規(guī)劃問題”也必需“直線的方程”等解析幾何知識作基礎(chǔ).

2.1.2 教學(xué)目標(biāo)分析

通過教學(xué)，能讓學(xué)生從工廠產(chǎn)品的實際問題中建立起數(shù)學(xué)模型，在教師啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生能利用學(xué)過的知識和方法解決這個數(shù)學(xué)模型，并由此建構(gòu)線性規(guī)劃問題、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等系列概念.掌握求解線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解的方法和一般步驟.

2.1.3 教學(xué)問題診斷分析

線性規(guī)劃問題的求解，需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)心智技能和動作技能才能完成.線性規(guī)劃的教學(xué)，學(xué)生在最優(yōu)解的求解過程中容易出現(xiàn)“似懂非懂”、“懂而不會”和“眼高手低”的情況.因此，教師可著眼于數(shù)學(xué)技能的相關(guān)理論及應(yīng)用，而著手于“八步”教學(xué)設(shè)計即“設(shè)”—“列”—“畫”—“化”—“移”—“看”—“求”—

“悟”.這既有利于學(xué)生外化于形的動作技能的練成，又有利于學(xué)生內(nèi)化于心的心智技能的形成，從而，真正使學(xué)生的數(shù)學(xué)心智技能和動作技能得到有效訓(xùn)練，真正使學(xué)生經(jīng)歷求解線性規(guī)劃最優(yōu)解的一般步驟，并掌握其方法、體會其思想.

2.2 簡單的線性規(guī)劃問題的“八步”教學(xué)設(shè)計與簡略說明

基于技能習(xí)得理論下簡單線性規(guī)劃問題的“八步”教學(xué)設(shè)計（或稱“八環(huán)節(jié)”）的流程圖，如圖1.

2.2 簡單的線性規(guī)劃問題“八步”教學(xué)的實施建議與設(shè)計意圖分析

依據(jù)促進(jìn)數(shù)學(xué)技能習(xí)得的相關(guān)理論制定“八步”教學(xué)設(shè)計，提出了如下實施建議，并對每一步說明設(shè)計意圖.

第一步：“設(shè)”

學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次不等式及其解法，能夠根據(jù)題意列出二元一次不等式組并畫出其表示的平面區(qū)域.

教學(xué)設(shè)計：某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件耗時1h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天工作8h計算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？

問題1 若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大？

依據(jù)題意，將重要信息提取到表格中，如圖1.

【設(shè)計意圖】 “設(shè)”是指依據(jù)題意設(shè)出未知元，用字母代替數(shù)，變元x、y代替未知量甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量.把實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力[3].用代數(shù)方法進(jìn)行解決，培養(yǎng)了學(xué)生的符號操作技能.

第二步：“列”

由上，化簡后列出二元一次不等式組、求利潤的表達(dá)式.

2.求最大值的函數(shù)z=2x+3y叫做目標(biāo)函數(shù)，且它是關(guān)于變量x、y的一次解析式，所以又叫做線性目標(biāo)函數(shù).

3.在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.

4.滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解.由所有可行解組成的集合叫做可行域.

5.使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個問題的最優(yōu)解.

【設(shè)計意圖】 考察學(xué)生根據(jù)實際需要合理的選擇適當(dāng)?shù)墓ぞ吆头椒ǎ谐霾⒒喴阎獥l件給定的二元一次不等式組，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)值運(yùn)算技能.這里對教材的安排作了略微的調(diào)整.先對概念進(jìn)行解讀，再探求最優(yōu)解，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

教學(xué)設(shè)計：讓學(xué)生自己畫出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，如圖2，并結(jié)合圖象解讀以上概念，使學(xué)生加深對概念的理解.

【設(shè)計意圖】 要求學(xué)生準(zhǔn)確地畫出上面二元一次不等式組表示的平面區(qū)域.作圖是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，有助于培養(yǎng)學(xué)生的圖形處理技能.

第四步：“化”

將目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y畫在平面區(qū)域上是探求最優(yōu)解的突破口.

教學(xué)設(shè)計：教師引導(dǎo)學(xué)生把目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y變形為y=-23x+z3，這是斜率為-23，縱截距為z3的直線.

【設(shè)計意圖】 數(shù)學(xué)抽象的最終結(jié)果是符號化，包括了符號演算能力、表達(dá)式的變形和等價轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合能力、圖像符號能力等.引導(dǎo)學(xué)生化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的形式.要求學(xué)生熟練地進(jìn)行字母式的演算和變形，將目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y變形為y=-23x+z3再加以討論，培養(yǎng)學(xué)生的符號操作技能.

第五步：“移”

當(dāng)利潤z從0開始變化時，可以得到一組互相平行的直線，如圖3.

【設(shè)計意圖】 平移直線方程y=-23x+z3，為下一步“看”建立了直觀形象的思維支柱.

第六步：“看”

看直線y=-23x+z3與可行域有公共點時，在可行域內(nèi)找一點M，使直線經(jīng)過點M時縱截距z3最大.

教師借助幾何畫板演示直線y=-23x+z3在可行域內(nèi)平移.

設(shè)計意圖：“看”是指看直線方程與可行域的交點，意圖培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力.

第七步：“求”

由上，可知當(dāng)直線y=-23x+z3經(jīng)過直線x=4與直線x+2y-8=0的交點M（4，2）時，縱截距z3最大.

此時利潤最大值zmax=2×4+3×2=14.

設(shè)計意圖：依據(jù)題意求縱截距的最大值或最小值.

第八步：“悟”

感悟線性規(guī)劃問題中蘊(yùn)含的思想方法，形成求解此類題型的一般方法.

【設(shè)計意圖】 讓學(xué)生對整個解決過程中蘊(yùn)含的思想方法進(jìn)行總結(jié)歸納，形成個人知識、思想方法，讓其享受做數(shù)學(xué)的樂趣.

3 解決線性規(guī)劃問題的其他兩種方法

以上的教學(xué)設(shè)計是解決線性規(guī)劃問題的常用幾何法，下面再給出兩種一般方法.

代數(shù)法

步驟一：將不等式變?yōu)榉匠?，兩兩?lián)立后求其解（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）.步驟二：將所有解帶入目標(biāo)函數(shù)，得到目標(biāo)函數(shù)值z1，z2，…zn.步驟三：檢驗.即若z1為所求的最大值，則將（x1，y1）代到線性可行域的不等式驗證，若全部符合，則z1為最值.

向量法

對于目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y，可構(gòu)造a=（2，3），b=（x，y），則z=a·b.

因為a·b=a·b·cos，

所以z=22+32·b·cos=13·b·cos.

按照向量的幾何意義，b·cos表示b在a上的投影，即當(dāng)b在a上的投影最大值，z取最大值.由圖3可知，當(dāng)b=（4，2）時，z取最大值a·b=（2，3）·（4，2）=14.

4 結(jié)語

將簡單線性規(guī)劃問題的八步教學(xué)設(shè)計歸結(jié)為幾何法，其中每一步對學(xué)生應(yīng)該掌握的技能都做了相應(yīng)的要求，其中“畫”、“移”等是動作技能，“設(shè)”、“化”等是心智技能.當(dāng)然也不能孤立地看待某個過程為動作技能或心智技能，更多的是兩者的結(jié)合，教學(xué)的目的也即是實現(xiàn)二者的完美結(jié)合，培養(yǎng)出對社會有價值的實用型人才.

參考文獻(xiàn)

[1] 劉紹學(xué)，錢珮玲等. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)5（必修）（A版） [M]. 北京：人民教育出版社，2007：12.

[2] 鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.10：151.

[3] 耿永雪，張吉.簡單的線性規(guī)劃問題的教學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)通訊，2002（3）：20.

作者簡介

崔靜靜（1993—），女，四川省德昌縣人，碩士研究生，系四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院、內(nèi)江師范學(xué)院聯(lián)合招收培養(yǎng)的研究生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究；趙思林（1962—），男，四川省巴中市人，教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事高考數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育等研究，系本文通訊作者.