天地古今一“π”

【摘 要】 2009年，美國眾議院正式通過一項無約束力決議，將每年的3月14日設(shè)定為“圓周率日”，緣何如此對待這么一個普通的日子，原來它與一個叫“圓周率”的“π”有關(guān).思想π的歷史內(nèi)涵，回想π的前世今生，念想π的人文意蘊，暢想π的現(xiàn)代價值.π這個古怪的精靈，伴隨著數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，促進了數(shù)學(xué)體系的完整.人類將進一步探索其奧秘，不久的將來，人們一定會沖破只用π來檢驗人的記憶力和考驗計算機的計算能力與完整性的束縛，有新的發(fā)現(xiàn)，為華美的樂章增添更優(yōu)雅的旋律，真是天地古今一“π”！

【關(guān)鍵詞】 圓周率；歷史內(nèi)涵；人文意蘊；現(xiàn)代價值

1 π的紀(jì)念日

3月14日，一個普通的日子！然而2009年，美國眾議院正式通過一項無約束力決議，將每年的3月14日設(shè)定為“圓周率日”.決議認(rèn)為，“鑒于數(shù)學(xué)和自然科學(xué)是教育當(dāng)中有趣而不可或缺的一部分，而學(xué)習(xí)有關(guān)π的知識是一教孩子幾何、吸引他們學(xué)習(xí)自然科學(xué)和數(shù)學(xué)的迷人方式……因此3月14日是紀(jì)念圓周率最合適的日子”.什么時刻最好呢？有三種選擇：下午1點59分，下午15點09分，凌晨1點59分.有的國家在3月1日下午4點15分開始慶賀，總之就是圍繞3.14159“折騰”.匪夷所思的是，那么多國家，那么長時間，那么多人，卻為一個“數(shù)”而慶賀，到底有什么耐人尋味的意蘊呢？

2 π的歷史內(nèi)涵

π是什么？是圓周率.圓周率是什么？圓周率就是圓的周長與其直徑的比值，是刻畫圓這類圖形最重要的數(shù)據(jù).在人類的歷史長河中，常常要求一個封閉圖形的面積，矩形的面積是長×寬，梯形的面積是12（上底+下底）×高……，那么以某點為圓心，以某個長度為半徑旋轉(zhuǎn)一周，所得到的圓的面積是多少呢？其中有一個“比值”很重要，它到底是多少？為了這個答案，古人進行了幾千年的苦苦探索，直到“韋達公式”：2π=22·2+22·2+2+22·…出現(xiàn)，標(biāo)志著人類可以把圓周率精確到任意位數(shù)，這要感謝法國數(shù)學(xué)家韋達，是他第一個給出π的表達式的.

π還有什么用？π僅僅只能用來求圓的面積嗎？顯然不是，還可以求圓的周長，還可以求球的體積、表面積、扇形的弧長……后來人們體會到，探討任何物體的形狀和運動，只要涉及“彎曲”、“轉(zhuǎn)動”、“角度”等，都要用到圓周率.另外，因為圓有許多重要的性質(zhì)，人類很早就認(rèn)識了圓，使用了圓.如車輪做成圓形的，車子行駛起來，才能平穩(wěn)且省力；碗、盆做成圓的，好拿，且不易損壞，同樣多的的材料，數(shù)圓形的碗裝的東西最多……

π有時還會和其他數(shù)字聯(lián)袂上演，并且精彩紛呈，歐拉公式eiπ+1=0就是一個真正的經(jīng)典，這個公式看上去一目了然，但卻深奧得難以置信.它包括五個最重要的數(shù)字常數(shù)——0（加法恒等元）、1（乘法恒等元）、e和π（兩個最常見的超越數(shù)）以及i（虛數(shù)單位）.另外公式還包括三個最基本的算術(shù)元算——加法、減法和次方.當(dāng)代世界數(shù)學(xué)及其應(yīng)用研究所的戴維·玻西教授表示：“鑒于e、π與i都非常復(fù)雜且看似極不相關(guān)，他們能通過這個簡潔的公式聯(lián)系起來真的很驚人.一開始你可能沒有意識到他所帶來的影響力，這是一個漸近的影響.或許就像聽一首樂曲那樣，當(dāng)你了解到樂曲的全部潛能后，突然間它變得非常了不起.”他還說，數(shù)學(xué)美是“靈感”的源泉，它讓你有探索未知事物的熱情.

圓周率的重要性和普遍性可想而知，問題在于怎樣求出它的準(zhǔn)確值.

3 π的前世今生

據(jù)史學(xué)家考證，人類最早是用樹杈來劃圓的.我國的《墨經(jīng)》大約是公元前4世紀(jì)——3世紀(jì)的自評.在這本書中最在給出料圓的定義：圜，一種同長也.這個“圜”，就是“圓”，意思是說：圓就是圓周上的點到圓心的距離都相等.這個定義后人現(xiàn)代圓的定義基本相同.

π到底是多少？現(xiàn)在我們知道了，π是一個無限不循環(huán)小數(shù)，在計算中，一般取3.14作為它的近似值.早在三千五百年前，巴比倫人就知道取直徑的三倍為圓周長，他們?nèi)〉玫摩惺?，在公元前2世紀(jì)問世的我國天文學(xué)專著《周髀算經(jīng)》中提出“徑一周三”，意思說直徑一個單位時，圓周長為三個單位.也取π為3，古埃及人使用的圓周率是3.16.古羅馬人使用的圓周率是3.12.著名的古希臘學(xué)者阿基米德，曾取π為317.我國魏晉時期的劉徽（公元263年）創(chuàng)造的用割圓術(shù)求圓周率的方法，影響很大，割圓術(shù)具有工具論和認(rèn)識論的雙重價值，是一座永不枯竭的寶礦.

劉徽是如何割圓的呢？首先在圓內(nèi)作一個正六邊形，由于內(nèi)接正六邊形的每條邊長都等于半徑，因此，六邊形的周長等于三倍的直徑.這顯然過于粗糙，他把圓內(nèi)正六邊形每邊所對的弧平分——割圓，將割到的六個點與原來的六個點順次鏈接，得到一個圓內(nèi)接正十二邊形，正十二邊形更接近圓的周長，如此再割，一直算到圓內(nèi)接正一百九十二邊形，算得的圓周率的近似值是3.14.劉徽的割圓術(shù)是可行的，其貢獻不只是提供了更精確的圓周率，還在于它為計算圓周率提供了正確的方法.原理如下：

如果把從正六邊形開始，逐次加倍的正多邊形的邊長記為數(shù)列an，則

如圖，O是圓心.根據(jù)垂徑分弦定理，OB′⊥AB，記垂足為M，并記第n個內(nèi)接正多邊形的邊長為an.則在等腰△AOB′中，AM是腰上的高，其長度等于an2.△AMB′和△AMO都是直角三角形.容易得到

an+1=AM2+MB′2=2R2-R4R2-a2n .

又“第一個”正多邊形是正六邊形，其邊長等于R，即a1=R.

a1=R，

an+1=2R2-R4R2-a2n，……

注意到，第n個多邊形的邊數(shù)為6×2n-1，此多邊形的周長為Cn=6×2n-1an.用這個多邊形，可計算出圓周率的值為πn=Cn2R=3×2n-1anR.如果能求出an的通項公式，則可把π用n表示，而得到一個數(shù)列πn，求極限即可得到π值（即劉徽所言“割之彌細(xì)，所失彌少，割而又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”）.

劉徽之后，研究圓周率最有名的的是我國南北朝時期的祖沖之在公元480年左右計算的圓周率，準(zhǔn)確到小數(shù)點后七位：3.1415926<π<3.1415927.他使用的是一種叫“綴術(shù)”的方法，可惜這種方法早已失傳，無從查考.用這個圓周率計算一個半徑為10千米的圓面積，誤差不超過幾平方米.祖沖之是世界上第一個把圓周率算到小數(shù)點后七位的數(shù)學(xué)家，差不多過了800年，西方才有人把圓周率計算得更為精確.人們把3.1415926叫做“祖率”.

人們希望算出更為精確的圓周率，于是16世紀(jì)德國有個叫盧道夫的數(shù)學(xué)家，花費了畢生精力，把圓周率算到了小數(shù)點后35位.

3.14159265358979323846264338327950288.他去世后，按照他的遺囑，這個數(shù)字被刻在他的墓碑上.

1841年，英國的威廉·盧瑟福計算到208位；后來發(fā)現(xiàn)只有前152位是正確的；

1844年，德國的達瑟把π值算到400位小數(shù)；

……

1949年，馬利蘭德使用計算機，計算到2037位；

……

2002年，日本東京大學(xué)信息基礎(chǔ)中心宣布，他們已將圓周率計算到了小數(shù)點后12411億位，假設(shè)1秒鐘讀4位，讀完這個圓周率需要花費1萬年.

……

計算π的最為稀奇的方法之一，要數(shù)法國博物學(xué)家C·蒲豐的投針實驗了.1777年的一天，C·蒲豐忽發(fā)奇想，把許多賓朋邀請到家中，做了一個叫人感到奇怪的試驗，他把事先畫好一條條等距離的平行線的白紙，鋪在桌面上，又拿出準(zhǔn)備好的質(zhì)量均勻而長度為平行線距離一半的小針，請客人把小針一根一根的隨便地仍在紙上，而蒲豐則在一旁專注觀察著記著數(shù)，投完后統(tǒng)一計數(shù)，共投2212次，其中與任意平行線相交的有704次，蒲豐又做了一個簡單的除法，2212÷704=3.142然后宣布：“這就是圓周率的近似值”，所有的賓朋都驚呆了，這簡直是不可思議！這就是著名的蒲豐投針試驗.1901年，意大利人拉查尼投了3408次，得出估計值是3.1415929，已很接近祖沖之的密率.

除了用實驗法和幾何法以外，16世紀(jì)的科學(xué)家們開始利用無窮級數(shù)或無窮連乘積來計算π，產(chǎn)生了許多十分驚人的優(yōu)雅公式，除了前面提到的韋達公式，1650年，英國數(shù)學(xué)家J·沃利斯將π表示為

π2=2·2·4·4·6·6·8·8·10·10·12·12…1·3·3·5·5·7·7·9·9·11·11·13…

他是最早用解析法研究π的英國人，他被稱為“代數(shù)之父”.其實，用現(xiàn)代的積分知識，就是

∫101-x2dx=π4.更妙的是歐拉利用有限與無限的類比求得：

π6=1+14+19+116+125+136+…

這個公式的證明具有十分重要的方法論意義.

再后來，人們開始利用計算機計算π的值，這得感謝對數(shù)學(xué)充滿熱情的數(shù)學(xué)家拉馬努金（1887—1920），是他給出來了關(guān)于π的計算公式.數(shù)學(xué)家為什么沒完沒了地去計算圓周率的值呢？說不清，只能慢慢品味.更有趣的是，還有許多多人以能記住圓周率的多少位感到自豪，還經(jīng)常比賽，真是有趣！

4 π的人文意蘊

如果一個數(shù)等于除它本身以外的全部因子之和，則稱之為完全數(shù)，如6（=1+2+3），28（=1+2+4+7+14），496（=1+2+4+8+31+124+248），812833550336（前四千萬個正整數(shù)中才有五個）等，從第四個到第五個完全數(shù)的發(fā)現(xiàn)經(jīng)過了一千多年，到1999年，借助于計算機，也只還發(fā)現(xiàn)了38個完全數(shù).然而令人感到驚奇的是π數(shù)值取小數(shù)點后面三位數(shù)相加是第一個完全數(shù)，小數(shù)點后七位數(shù)相加正好等于第二個完全數(shù).居然有如此的聯(lián)系，難道不足以令人驚訝嗎？

根據(jù)圓周率π的探索過程和它所催生的數(shù)學(xué)思想以及精美表達式，我們已經(jīng)領(lǐng)略了π在數(shù)學(xué)知識體系中的作用.圓周率是一座迷宮，讓人流連往返；圓周率像一首詩，給人無限遐想；圓周率似一支歌，使人陶醉、催人奮進！數(shù)學(xué)大師陳省身先生曾講過一個有趣的故事，說當(dāng)代的數(shù)論大師 A·塞爾伯格聲稱他喜歡數(shù)學(xué)的一個緣由，是下面的公式打動了他：

π4=11-13+15-17+……

奇數(shù) 1、3、5、…這樣的組合可以給出π，這個公式宛如一幅美麗的畫和一首動人的歌，激發(fā)著一個人的情感，愿意為數(shù)學(xué)奮斗一生.

5 π的現(xiàn)代價值

人們對這個數(shù)字推算得如此精確，有意義嗎？實踐證明，π的精確可以檢驗超級計算機的硬件和軟件的性能，其計算的方法和思路還可以引發(fā)新的概念和思想.在很長的歷史時期內(nèi)，π的研究代表了一個國家的數(shù)學(xué)發(fā)展水平，但凡新建立的數(shù)學(xué)學(xué)科，只要有可能，總會首先用自己的理論把π研究一番（比如概率論和計算機學(xué)科等）.這說明π仍然具有巨大的研究價值.事實上，就數(shù)學(xué)的發(fā)展而言，一個國家所得到的的π值得精確程度，可以看作衡量這個國家當(dāng)時數(shù)學(xué)發(fā)展水平的一個標(biāo)志.同時π也是文化的一面鏡子，人們對π的精確追求是一種智力探索的激勵，是人們鍥而不舍精神的追求，是一種博大的奮斗之美.更重要的是，在人們的感知中，這種關(guān)于π數(shù)值無窮無盡的探索奇妙無窮.實際上，π和珠穆朗瑪峰一樣都是客觀存在，人們精確測算出其數(shù)值，因為人們無法回避它的存在.正如數(shù)學(xué)家J·紐曼所言：“數(shù)學(xué)最抽象最無用的研究被人們發(fā)展了一段時間之后，常常被其他部分所俘獲，成了解決問題的工具.”利用π的超越性解決了三大幾何難題之一的“化圓為方”問題，就是明證.

π原本來自圓的幾何學(xué)，但它反復(fù)出現(xiàn)在數(shù)學(xué)、物理、統(tǒng)計、工程、建筑、生物、天文，甚至藝術(shù)范疇中.在聲波和海浪的節(jié)奏中，也隱藏著圓周率的身影.很多和圓無關(guān)的數(shù)學(xué)難題要靠圓周率解決；小至原子結(jié)構(gòu)，大至恒星運動等自然現(xiàn)象的研究也要靠圓周率幫忙，神奇的π無所不在！

從有文字記載開始，圓周率就引起了古今中外學(xué)者們的興趣.幾千年來作為數(shù)學(xué)家們的奮斗目標(biāo)，古今中外一代一代的數(shù)學(xué)家為此獻出了自己的智慧和勞動，為求得圓周率的值，人類走過了漫長而曲折的道路，它的歷史是饒有趣味的.

波蘭著名女詩人，諾貝爾文學(xué)獎獲得者維斯拉瓦·申博爾斯卡在其題為 “π”的詩中是這樣贊美的：

地球上最長的蛇不過四十英尺，

神話和傳說中的蛇也無分軒輊，

組成π的數(shù)字列隊行進逶迤，

它不會在頁邊棲息，

它會繼續(xù)越過書桌，

穿過空氣越過墻壁、樹葉、鳥巢、云霓

直上九霄……

π，這個古怪的精靈，伴隨著數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，促進了數(shù)學(xué)體系的完整.人類將進一步探索其奧秘和規(guī)律性，不久的將來，人們會沖破只用π來檢驗人的記憶力和考驗計算機的計算能力與完整性的束縛，也許會有新的發(fā)現(xiàn)，為華美的樂章增添更優(yōu)雅的旋律.

π像一首朦朧的詩，像一曲悠揚的樂章，又像一座入云的高山，讓人遐想，讓人陶醉，人人奮進，攀登不息.

真是天地古今一“π”！

作者簡介

劉權(quán)華（1967—），男，籍貫江蘇盱眙，南京市教育科學(xué)研究所，科研員，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師，教育碩士，南京市高中數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，江蘇省“333”高層次人才工程中青年科學(xué)技術(shù)帶頭人，發(fā)表教育教學(xué)論文50余篇.主要研究方向：高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)，教師發(fā)展研究.