學(xué)會“用數(shù)學(xué)思考”，認識面積學(xué)習(xí)的支點

［摘? 要］ 最美好的教學(xué)境界就是達到無為而治。怎樣才能達到這一境界呢？引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會“用數(shù)學(xué)思考”就是很有效的切入口，因為“用數(shù)學(xué)思考”的本質(zhì)就是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所展露出的思考能力。為此，在“認識面積”教學(xué)中，教師就得強化教學(xué)各個細節(jié)，從而更理性地明確觀察，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)思考有方向；還得引領(lǐng)學(xué)生積極經(jīng)歷體驗活動，使得學(xué)習(xí)思考有過程；更要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)思維脈絡(luò)梳理，讓思考有經(jīng)驗。以此助力有效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的構(gòu)建，助推數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的不斷積淀。

［關(guān)鍵詞］ 用數(shù)學(xué)思考；認識面積；思考方向；經(jīng)驗；過程

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，最為核心的要素就是讓學(xué)生學(xué)會“用數(shù)學(xué)思考”。“用數(shù)學(xué)思考”就是用數(shù)學(xué)獨特的思維去看待數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)、建構(gòu)過程。誠如美國學(xué)者Crows所說的那樣，用數(shù)學(xué)化、抽象化的觀點去研究問題，探尋問題解決的思維路徑。由此可以看出，引領(lǐng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)思考”，就是研究認識面積和建構(gòu)面積數(shù)學(xué)模型的思維方法、思維武器。同樣，也讓學(xué)生在相應(yīng)的學(xué)習(xí)探究過程中感受思考的過程，形成思考的經(jīng)驗，從而讓他們的思考力量無形提升。

[?]一、明確觀察，思考有方向

觀察是思考的基礎(chǔ)，也是確保知識積累變得豐厚的方法。故而，在“認識面積”一課教學(xué)中，教師就得重視觀察學(xué)習(xí)活動，并提前做好設(shè)計、規(guī)劃，讓學(xué)生有著更為明確的觀察角度，使得關(guān)于面積的學(xué)習(xí)思考有方向，不迷失，從而讓整個學(xué)習(xí)效率持續(xù)攀升。

師：有句這樣的諺語，人要（? ），樹要（? ）。大家有沒有聽說過？

生：一個是臉，一個是皮。

師：真棒！那你們的學(xué)桌的“臉”在哪里呢？你能找出來與同桌一起摸一摸嗎？

（學(xué)生合作討論，得出學(xué)桌的“臉”就是桌面，并對桌面進行觸摸。）

生1：學(xué)桌的“臉”就是這個桌面，看上去是平平的，摸上去是滑滑的。

師：對！剛才說的臉、皮都是物體的表面。那你還能根據(jù)這個方法找一找其他物體的表面嗎？

生2：這個盒子是正方體，有6個面。

生3：這是個球，它有一個圓溜溜的面。

……

師：那物體的表面是不是都一樣大呢？

生4：當(dāng)然不是，黑板的表面要比學(xué)桌的表面大，學(xué)桌的表面又比數(shù)學(xué)書的表面大得多。

生5：物體的表面不是統(tǒng)一的，是有大有小的。

師：你總結(jié)得很好，物體的表面是有大小的，我們用面積來表示物體表面的大小。下面請同學(xué)們分析一下我們生活中各種物體的面積的大小。

生6：教室地面的面積比學(xué)桌表面的面積大。

生7：文具盒上面的面積比數(shù)學(xué)書封面的面積小。

……

生8：老師！那畫在紙上的長方形、正方形也是有面積的嗎？

師：是的?，F(xiàn)在就請你們畫一個正方形和一個長方形，用彩筆涂出它們的面積，并思考在此過程中你有什么發(fā)現(xiàn)？

（學(xué)生活動，用彩筆去涂長方形、正方形的面積。）

生9：我發(fā)現(xiàn)正方形的面積和長方形的面積不一樣大。

……

生10：我發(fā)現(xiàn)平面圖形的面積也是有大小的。

……

觀察是感知物體的表面大小和感知平面圖形的大小的第一體驗，也是學(xué)生能夠進行面積概念提煉的重要基礎(chǔ)。從案例教學(xué)中能夠看出，如果學(xué)生擁有一雙“數(shù)學(xué)的眼睛”，那么他們就能從現(xiàn)實世界中看到更多的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，獲得更多的有關(guān)表面或圖形大小的數(shù)學(xué)體驗，從而為提煉面積概念注入更為豐富的學(xué)習(xí)感知，讓面積學(xué)習(xí)探究有方向，也有實效。

回顧案例，教者先從一則諺語入手，再引導(dǎo)學(xué)生去找一找身邊物體的“臉”，從中體會到物體的表面的意義，并在感知表面存在的形式中真正領(lǐng)悟到表面是有大小的，進而讓學(xué)生在對應(yīng)的學(xué)習(xí)碰撞中自然地感悟出面積的含義。

緊接著，學(xué)生在觀察平面圖形的過程中，也就會很自然地聯(lián)系前面學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，感悟出平面圖形的大小，并在學(xué)習(xí)感知、思維不停交互中真正初建面積的概念。

[?]二、經(jīng)歷活動，思考有過程

讓學(xué)生真正學(xué)習(xí)好面積的概念，理解面積的本質(zhì)，教師就得教會學(xué)生去思考，就得給他們一個經(jīng)歷學(xué)習(xí)思考的必然體驗之旅。所以，在“認識面積”教學(xué)的第二階段教師還得為學(xué)生搭建一個個研究學(xué)習(xí)活動的平臺，讓他們在真真切切的實驗中形成更為豐厚的感知，在扎扎實實地做中感悟面積的本質(zhì)。當(dāng)然，教師還得注意到課堂教學(xué)時空不是無限的，這就需要教師給予學(xué)生更多的學(xué)習(xí)爭辯、反思等學(xué)習(xí)機會，以實現(xiàn)學(xué)習(xí)思考的合理碰撞，使整個學(xué)習(xí)思考有著一個清晰的過程。

師：自行畫一組圖形，并把它們的面積進行涂色。

學(xué)生進行自主畫圖、涂面積學(xué)習(xí)活動。

……

師：這是老師涂的圖形（見圖1），你能分辨出哪一個正確涂出了圖形的面積嗎？

圖1

生1：第一個圖不是正確選項，因為它沒有涂滿長方形。

生2：是的，長方形的面積是周長線內(nèi)的所有部分。

生3：第二個圖也不是正確選項，它的涂色部分是圓的周長，而不是面積。

生4：第三個圖是正確選項，因為它涂滿了整個圖形的平面。

師：看來大家對面積的認識還是挺到位的，請繼續(xù)觀察這組圖形，你還能想到什么呢？

生5：我認為第一個圖中，外面大長方形的面積比涂色部分長方形的面積大，因為它是涂色部分加上白色部分得來的。

生6：第二個圖給我感覺周長與面積的區(qū)別是明顯的，周長就是圖形外邊的線，而面積則是線內(nèi)面的白色部分。

生7：第三個圖讓我明白，面積就是指圖形的大小，這個圖形的邊可以是曲線，也可以是直線。

……

面積對于小學(xué)生而言還是具有一定抽象性的，所以在教學(xué)中教師就得千方百計地給予小學(xué)生更多的學(xué)習(xí)體驗，進而更有效地擴充他們對面積的感知，使得面積意義的理解更上一層樓。

回顧案例，教者沒有刻意地去教導(dǎo)學(xué)生怎么努力地記住概念，背好概念，而是設(shè)計一組相關(guān)的學(xué)習(xí)研究活動，從畫圖入手，再引導(dǎo)他們?nèi)ネ砍雒娣e；緊接著引導(dǎo)學(xué)生進行判斷、分析與解讀，讓他們在具體的問題解析中更好地感悟面積的意義，建構(gòu)面積的表象，從而更有效地建立面積意義的概念。

[?]三、理清脈絡(luò)，思考有經(jīng)驗

經(jīng)驗本就是反復(fù)思考的結(jié)晶，所以在“認識面積”的教學(xué)中，教師就得關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)思路的梳理，讓學(xué)生能夠較為理性地把握自己的學(xué)習(xí)歷程以及思考的脈絡(luò)，從而讓經(jīng)驗的積累更為厚重，也使得相關(guān)的學(xué)習(xí)思考經(jīng)驗等升華?；诖?，教師就得為學(xué)生更好地領(lǐng)悟面積的本質(zhì)多做謀劃，讓數(shù)學(xué)思考始終圍繞學(xué)習(xí)而開展，而且還能不斷延續(xù)到今后的學(xué)習(xí)之中。

師：屏幕上的5個圖形，你認為它們的面積關(guān)系是怎樣的？（圖形1是長6厘米、寬5厘米的紫色長方形，圖2是邊長6厘米的黃色正方形，圖3是邊長5厘米的藍色正方形，圖4是長6厘米、寬5厘米的橘色長方形，圖5是一個半徑是3厘米的圓）

生1：有點兒復(fù)雜，但是可以用透明的方格紙去量一量。

生2：這樣會容易些，但是圖形1和圖形4就不要這么麻煩了，因為它們都是長方形，而且長和寬也是一樣的。

生3：是的，圖形2和圖形3也是容易判斷的，它們都是正方形，而且圖形2的邊長是6厘米，圖形3的邊長是5厘米，很明顯圖形2的面積要比圖形3的大。

生4：那不就是說圖形2的面積也比圖形1的面積大嗎？邊長6厘米的正方形面積一定比長6厘米、寬5厘米的長方形面積大。

……

生5：但是這種比較遠沒有用方格紙來量一量更容易，你看圖形5是一個圓形，怎么和長方形的面積比呢？

生6：你一眼就可以看出面積大小，不用這么麻煩的。

……

師：看來比較面積還是要有策略，得看誰的腦袋轉(zhuǎn)得快了。

……

要讓思考有經(jīng)驗，就得給思考一個個不斷錘煉的機會，這樣才會達到熟能生巧的目的?；赝虒W(xué)片段，教者設(shè)計了一組較為復(fù)雜的判斷思考題，旨在讓學(xué)生學(xué)習(xí)從不同的角度去解析圖形，把脈圖形比較特征，并從中體悟到面積的大小關(guān)系。

于是，筆者就給學(xué)生一個自主交流、爭辯的機會，讓他們紛紛展露自己的思考，并讓其他同學(xué)在傾聽中尋覓更有價值的方法。因此，學(xué)生首先很直接地從同類入手，比較出圖形之間的面積關(guān)系；再從類似的圖形中找到不同的比較方法，比如正方形和長方形的比較，就是通過重疊法、數(shù)面積法等，讓思考變得更靈活；再接著學(xué)生會用特殊的方式去對待特殊的圖形，并努力把數(shù)方格的策略擴展到全部圖形的面積研究中，這就為后續(xù)面積單位的學(xué)習(xí)研究提供了便利和經(jīng)驗。

由此可見，教學(xué)中教師就得時刻關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)思考的質(zhì)態(tài)，從方向、過程、經(jīng)驗等多層面進行引領(lǐng)，讓他們的思考更有理性，思維發(fā)展更有活性，最終讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考更加具有數(shù)學(xué)的味道?；诖?，教師還得從學(xué)生思考的角度去打理小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，給予學(xué)生更多的探索研究的機會，以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的平臺，這樣就會引領(lǐng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，產(chǎn)生積極進取之心。久而久之，“用數(shù)學(xué)思考”就會成為學(xué)生智慧學(xué)習(xí)的法寶。