數學核心素養(yǎng)導向下的深度教學

黃祥勇

(成都市教育科學研究院 610031)

隨著《普通高中數學課程標準(2017版)》(以下簡稱《課標》)的頒布，高中數學核心素養(yǎng)的研究進入了一個新階段．教師如何基于數學核心素養(yǎng)上好每一堂課,如何使培育學生數學核心素養(yǎng)在教學中得到深入貫徹和落實,這些問題是我們當前急需解決的．本文擬就核心素養(yǎng)導向下的深度教學作一些研究．

實施核心素養(yǎng)導向下的深度教學需要我們厘清三個問題：數學核心素養(yǎng)到底是什么？什么是深度教學？怎樣以核心素養(yǎng)為導向實施數學的深度教學？

1 數學核心素養(yǎng)與深度教學

1.1 數學核心素養(yǎng)的理解

作為一線教師如何理解數學核心素養(yǎng)，如何在課堂教學實踐中踐行自己的教學行為，直接影響著學生數學素養(yǎng)的提升．《課標》對數學學科核心素養(yǎng)的定義是：數學學科核心素養(yǎng)是數學課程目標的集中表現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的．數學核心素養(yǎng)包涵數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析六要素[1]．

這是一個描述性的定義，是核心素養(yǎng)在高中數學學科的具體體現，數學核心素養(yǎng)的養(yǎng)成是學生在長期學習數學的過程中，形成和發(fā)展“四基”“四能”的基礎之上對數學的感悟、反思和體驗的結果，進而也形成了“數學頭腦”，最后能“會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界(簡稱‘三會’)”[2]．

這一定義也反映了數學學科最基本的三大特征：抽象、推理、模型．實際上，數學的眼光，本質就是抽象，數學的思維，本質就是推理，數學的語言，本質就是模型．數學核心素養(yǎng)的六要素是實現這三個基本特征的思維基礎，也是高中數學內容體現出來的思維品質和數學人文精神．

數學核心素養(yǎng)還深刻體現了高中數學的課程目標．課程目標中談到，通過學習，學生能提高對數學的興趣，增加自信心，養(yǎng)成良好習慣，發(fā)展自主學習能力；樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神；不斷提高實踐能力，提升創(chuàng)新意識；認識數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值．這些具體目標，實際上可以概括為數學學科的必備品格、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現．由此可以看出，在整個數學課程標準中，數學學科核心素養(yǎng)處于中心地位．

1.2 深度教學的內涵

深度在漢語大詞典里的定義是“指導觸及事物本質的程度”“事物向更高階段發(fā)展的程度”．

所謂深度教學(deep teaching)，是相對于傳統(tǒng)的知識本位和接受式教學而言的，是一種能夠幫助學生對學科問題深入思考，對教學內容深刻理解、對學科思維深度生成的教學，是一種促進學生深度學習的教學．

深度教學是當前課堂教學改革向縱深推進的實質與方向．

從學科的角度講，深度教學指的是體現和反映學科本質的教學；從知識的角度講，深度教學指的是超越知識表層結構而進入深層結構的教學；從學生的角度講，深度教學指的是讓學生進行深度思維的教學[3]．李松林教授認為，走進學生情感和思維的深處，觸及學科的本質與知識的內核，打開學生學習與發(fā)展的內部轉換過程，促進學生的自主發(fā)現和真正理解，是深度教學實踐的四個著力點[4]．

深度教學并不刻意追求教學內容本身的深度和難度，而是相對于學科內容的內在構成要素而言，追求對教學內容全面的、深層次的理解．

實施數學深度教學，就是要立足于學生數學學習的過程，抓住數學的學科本質，促進學生理解并構建數學知識和經驗、形成學習的基本能力、逐步形成和發(fā)展核心素養(yǎng)的教與學活動．

1.3 數學核心素養(yǎng)下追求深度教學的價值

縱觀新課程改革，出現了很多新的教學形態(tài)，如小組合作，分層教學，高效課堂等，課堂看起來熱鬧了，學生也動起來了，似乎充滿了生機和活力．但細思卻發(fā)現很多數學教學流于外在形式，教師的教學游離于學科知識和本質之外，對學科教學內容的理解深度不夠；學生數學思維表現為淺層化和表面化，缺少對數學問題的深入思考，更無從談起對學生數學核心素養(yǎng)的培育．

核心素養(yǎng)導向下的深度教學就成為解決這些問題的突破口．教師在深刻理解數學的前提下，在傳授知識的基礎上，啟迪學生的智慧，訓練學生的思維，提升學生的素養(yǎng)，把課堂變?yōu)橐粋€師生深度交流和對話的場所.轉知成智是知識教學的深層次目標.教學就是要實現知識與智慧的轉化與升華.深度教學要求不僅要注重知識的系統(tǒng)性，而且要站在智慧的立場和高度上審視和把握教學內容．從這個意義上說，深度教學的價值追求表現為一種以“建構知識、提升能力、培育素養(yǎng)”為目標的改進教學．

改進之一，讓學生有安靜、獨立和長時的深度思考．

陳省身認為“數學是自己思考的產物．首先要能夠思考起來，用自己的見解和他人的見解交換，會有很好的效果……但是，思考數學問題需要很長時間．我不知道中小學數學課堂是否能夠提供很多的思考時間”．日本學者廣中平佑認為“沒有長時思考問題的人，是不會深刻地思考問題的”．

學生對問題有獨立、長時間的思考，其思考力才會進步，其思維的深刻性、概括性、獨創(chuàng)性才會有質的提升，也才會有對問題的“入目三分”的認識，進而提升其思維品質和關鍵能力．

改進之二，讓課堂有積極、深刻和有意義的深度對話．

對話是課堂教學的基本形式．通過課堂中積極、深刻和有意義的對話，改進課堂中的“滿堂灌”“滿堂問”“滿堂導”等現象，促進學生對問題的深刻理解．

通過深度對話，讓學生經歷逐步完善表達的過程，經歷對問題層層深入、抽絲剝繭，抓住本質的過程．從這個意義上說，深度教學就是一場師生在課堂上深度對話的教學．此外，學生為了更好表達對話內容，還必須要深入思考、仔細傾聽、力爭抓住關鍵，更要推敲語言的邏輯性、縝密性和簡潔性等．所有這些，都是養(yǎng)成學生良好的情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現，也都體現了數學教育的價值追求．

2 實施數學深度教學的策略

實施學科核心素養(yǎng)導向下的深度教學應該在圍繞培育學生數學學科核心素養(yǎng)這一主旨下進行，需要探求“深度的教”與“深度的學”的結合，要以“走進學生情感和思維的深處，觸及學科的本質與知識的內核，打開學生學習與發(fā)展的內部轉換過程，促進學生的自主發(fā)現和真正理解”為教學的著力點．

2.1 基于學科本質，推進通透教學

從學科的角度理解，有深度的教學指的是體現和反映學科本質的教學．數學本質既體現在數學研究的結果上，又體現在研究的過程中；不僅體現在數學知識上，還體現在數學思想、數學文化、數學精神里．張奠宙先生認為“數學本質”的內涵是“數學知識的內在聯系；數學規(guī)律的形成過程；數學思想方法的提煉；數學理性精神的體驗”．

所謂“通透教學”，指讓學生對所學內容有完全通曉和透徹理解的教學．基于數學本質推進通透教學，要在數學核心概念的教學上下足功夫，要讓學生徹底理解概念、原理的發(fā)生、發(fā)展過程．讓學生不但知其然，而且要知其所以然．

基于數學本質推進通透教學，要注重知識橫向和縱向的聯系，把握知識、方法、思想之間的聯系，“置知識于系統(tǒng)之中，讓所學知識牢不可破．”從而完善學生的認知結構，發(fā)展學生的思維能力．

基于數學本質推進通透教學，離不開對數學思想方法的挖掘與滲透，推進通透教學，就是要讓學生從數學學習過程中獲得樸素而又廣泛的、深厚而又靈動的、能廣泛遷移的、具有生長性的思想，幫助學生通過數學學會思維，進而培育數學核心素養(yǎng)．

案例2直線的傾斜角與斜率的教學中，一則教學設計試圖用以下幾個問題串促進學生的深度理解．

問題串1：如何確定一條直線的位置?

問題串2：用一把很小的等腰直角三角尺，能不能畫出一個很大的正方形的對角線?怎么畫?

問題串3：第二個問題對你解決第一個問題有什么啟示?

問題串4：我們用什么樣的幾何量來刻畫直線的方向?你想怎么定義?

問題串5：日常生活中還有表示直線方向的量嗎?

問題串6：什么是坡度?它和傾斜角有什么關系?

問題串7：什么是直線的斜率?

這個教學設計很豐富，也體現互動，似乎很好地落實了新課標思想．但我們細心想一想，它們并沒有揭示出斜率概念最本質的兩點：“與傾斜角一一對應”和“恰是表示直線的一次項系數”．

數學可以在人的內心深處培植理性的種子，可以讓你擁有一顆理性的大腦，學會嚴謹、審慎地看待問題、理解世界，而基于數學本質的通透教學的意義也恰在于此：通透教學就是一個不斷追問數學內涵的過程，不斷讓學生經歷“數學化”、體驗數學探索的過程．過程中的執(zhí)著和堅韌、嚴謹和務實等，正是我們數學學科踐行立德樹人，培育核心素養(yǎng)所需要的寶貴財富．

2.2 聚焦主題教學，促進深層理解

我們都知道，讓學生掌握數學知識之間的縱向聯系(深度)比橫向聯系(廣度)的難度要大得多，那么如何掌握知識之間的縱向聯系，促進學生對數學知識的深刻理解呢？這就需要教師有一個整體的大知識觀，由這個大的知識觀產生大的教學觀，就是主題式教學方式，以實現知識的縱向聯系．

基于數學核心素養(yǎng)的數學主題教學，要求教師能從一節(jié)一節(jié)的教學中跳出來，整體把握數學課程，以數學中的某一個或幾個“主題”作為教學的基本思考對象．例如可以以教材中的某一章或某幾章作為單元，如在準備知識部分將“三個二次”作為教學設計單元；也可以以數學中的重要的教學主線為教學設計單元，如“距離”或“幾何度量關系：距離、角度”等；也可以以數學中通性通法、數學思想為單元，如“圓錐曲線中的切線”“數形結合思想”等．主題教學需要教師突出課程中的教學主線，這對于學生整體理解數學將是非常重要的．老師在設計主題教學時，應有一個整體計劃，而不能局限在某個知識點來設計．這是進入深度教學的核心，也是學生進行深度學習的抓手，更是整體把握高中數學課程的關鍵．

主題教學通過數學知識的整合和教學內容上的有意義鏈接，從而構建有意義的學習，其內容設計要基于學生已有認識，符合螺旋上升的認知發(fā)展規(guī)律，使學生在“現有發(fā)展區(qū)”和“最近發(fā)展區(qū)”的不斷循環(huán)中，使數學思維層次和遷移能力不斷得到發(fā)展．

案例3向量的工具性作用的主題教學．

向量在數學中是一個最基本的概念，其在現代數學的發(fā)展中起著不可替代的作用．聚焦向量工具作用的主題教學，可以打破知識點設計的局限，根據模塊來設計教學．在向量的教學中要充分利用向量的工具性作用來進行主題設計，突出知識之間的內部聯系，從而促進向量知識在新的情景中的靈活運用，深化對向量的多維、深度理解．

2.3 倡導問題導向，鼓勵批判思維

問題是數學的心臟．問題也是學生思維的引擎．學生在課堂上的思維就是圍繞問題展開的，問題的深度決定學生思維的深度．

倡導問題導向，提煉核心問題是引領學生自主探究學習的重要載體．它主要來源于兩個方面：一是教師對教材的挖掘與鉆研；二是學生在課堂上提出有價值的問題，再經教師精心篩選、整合與提煉．在數學課堂教學中，教師善于確立每節(jié)課的核心問題，通過核心問題激發(fā)、鼓勵學生批判性思維，這也是深度教學的突出表現[5]．

批判性思維屬于高階思維的重要組成部分，在數學教學過程中，學生的批判性思維表現為具有一種趣向和能力，即自覺地運用各種方法檢驗得到的初步結果，以及對歸納、分析和直接的推理過程進行檢驗后作出適當的調整．

長期以來的數學教學過程中，我們往往忽略對學生批判性思維的有意識的培養(yǎng)，以致于我們有的學生接受知識能力很強，而獨立探究知識的能力卻很差．在教學過程中，我們要鼓勵學生的批判性思維和批判性精神，應讓學生做到敢于質疑，勇于提出批判性、建設性意見．學生的數學素養(yǎng)，只有在批判錯誤、肯定正確的過程中才能獲得提高．

案例4已知甲離學校10公里，乙離甲3公里，問乙離學校幾公里？

這是荷蘭的一道經典的三點距離問題，學生的易錯點是并沒有說甲、乙、學校在一條直線上，必須要打破傳統(tǒng)思維的局限，從坐標、參數、復數、空間等角度來思考問題．這是非常好的訓練學生批判性思維的好題．

案例5已知圓的方程是x2+y2=r2，求經過圓上一點M(x0,y0)的切線方程．

教師引導學生解答此題，得出切線方程為：x0x+y0y=r2.然后再給出與切線方程x0x+y0y=r2形同質異的變式題，以強化學生的批判意識.

變式1已知M(x0,y0)是圓x2+y2=r2內異于圓心的一點，試判斷直線x0x+y0y=r2與圓的位置關系.

對于變式1，相當一部分學生受原題影響，一看到直線方程為x0x+y0y=r2的形式就判斷直線與圓相切，有的學生一看到點M(x0,y0)是圓內一點，便以為直線過圓內一點，斷定直線與圓相交.

變式2已知M(x0,y0)是圓x2+y2=r2外一點，試判斷直線x0x+y0y=r2與圓的位置關系.

變式3已知M(x0,y0)是圓x2+y2=r2外一點，過M作圓的切線，求經過兩切點的直線方程.

吃一塹，長一智.學生吸取變式1的教訓，對變式2、變式3都能冷靜思考，帶著批判的意識，排除了習慣性臆想，大多數同學得出了正確判斷：在變式2的條件下，直線與圓相交，此時，直線x0x+y0y=r2正是變式3欲求的直線方程.

失敗過才會成長，學生通過對這些錯誤的感悟，自我進行評價，總結解題思路和方法，辨別正誤，訓練了學生探究性思維的批判性，反過來，更能激發(fā)學生大膽發(fā)現和探究.

3 深度教學對教師的要求

實施深度教學的主體在教師，教師要想在課堂上真正做到“游刃有余”“指點有方”“深入淺出”，使課堂教學散發(fā)出磁性和魅力，沒有自我的深度學習、研究和發(fā)展的意識是不行的．教師必須要立足自己的專業(yè)成長，做到四個“深入研究”(深入研究數學、研究教學、研究學生、研究技術)．

除了一般的研究外，要想開展好深度教學，教師還須加強對MPCK(數學學科教學知識)的深入研究，如：高中數學中哪些內容是最值得學生學習的？高中數學課程中哪些知識最容易讓學生誤解和難解(比如向量投影就是一個學生易于誤解的概念)？數學的核心知識(如幾何、代數、向量)在縱與橫兩方面有何關聯？教師要如何選擇適當的策略向學生呈現數學知識[6]？

此外，數學實踐性的教學知識也是研究的一大方向，如鄭毓信談到的數學教師的三項基本功(善于提問、善于舉例、善于優(yōu)化)等．

核心素養(yǎng)導向下深度教學的理想課堂，教師應該是：專業(yè)精進、見解深刻、旁征博引、循循善誘、充滿智慧．也就意味著教師從一般教師走向優(yōu)秀教師；從普通教師走向教學名師；從經驗型教師走向專家型教師．

4 深度教學需要注意的問題

核心素養(yǎng)導向下的深度教學中教師既需要“深入”還需要“淺出”，要把握好教學的“度”與學生的“悟”之間的關系，切不可隨意拔高教學內容的難度而加重學生負擔，要讓學生“跳一跳”后能摘到“桃子”．

當然，核心素養(yǎng)導向下的深度教學的根本宗旨在于促進學生深度學習．在教學中我們要引領學生展開真正基于學科本質的自主學習，引導學生基于問題導向、積極實踐創(chuàng)新，形成和發(fā)展數學核心素養(yǎng)，從而實現高中數學課程的價值追求.