數(shù)學(xué)解題中常見的心理性失誤案例剖析

安徽省樅陽縣錢橋中學(xué) (246732) 吳靈梅安徽省樅陽縣浮山中學(xué) (246736) 唐錄義

很多學(xué)生進(jìn)行試卷分析時，都會將失分歸因為兩類：第一類是由于知識和能力不足而導(dǎo)致的，第二類是具備了解決這個問題的可能性卻沒有得到正確的答案.對于“第一類失誤”學(xué)生往往會比較認(rèn)真地對待，尋找自己需要提高的地方；而對于“第二類失誤”很多學(xué)生卻不以為然，往往給這類失誤簡單地下個結(jié)論，如粗心大意或是歸結(jié)到狀態(tài)不好，導(dǎo)致不知怎地就錯了.所以他們對第二類失誤并不太在意，以至于在屢次考試中不能改善，即使考試時非常小心也總會出錯，然后因認(rèn)為自己犯了不該犯的錯誤而垂首頓足，這使學(xué)生變得沮喪，嚴(yán)重影響到他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度和信念.長此以往，將會使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性受到嚴(yán)重挫傷.其實這種現(xiàn)象的背后往往隱藏著深層次的心理原因，如思維抑制，粗心大意，思維慣性，思維定勢，審題習(xí)慣不好等都可能是造成這種失誤的原因，我們把這類失誤稱之為心理性失誤．

1.思維抑制，導(dǎo)致低級錯誤

在考試中由于臨場過分焦慮緊張甚至出現(xiàn)慌張，心理壓力過大以至于出現(xiàn)暫時性思維障礙，稱為思維抑制．這種情況下，面對題目，往往大腦一片空白，不知所措，平時常用的知識和方法記不清了，想不起來了，題目也容易看錯，簡單的運算也會發(fā)生錯誤，這種情況常常出現(xiàn)在考試開始階段．另外，在考試中途因某題較難而求解遇挫，也會引起情緒緊張，心里慌亂，從而干擾思維的正常運行，導(dǎo)致會而不對，對而不全．造成思維抑制的根本原因是情緒過于緊張，思想壓力過大，心理負(fù)擔(dān)過重，或者是對考試中的困難和應(yīng)對策略缺乏必要的心理準(zhǔn)備．

考點涉及：函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

錯解呈現(xiàn)：當(dāng)x>0時，f(x)=f(x-1)，所以當(dāng)x>0時，f(x)是周期函數(shù)，周期為1.當(dāng)x≤0時，則f(x)=x-[x]，這時函數(shù)也為周期函數(shù).作出圖像如圖1：

圖1

錯點查找：(請仔細(xì)閱讀上面的“錯誤呈現(xiàn)”，并將其中錯誤之處勾畫出來)以上解答將合理地分析試題結(jié)構(gòu)，正確地畫出函數(shù)圖像.但是沒有注意到題意，題中要求f(x)與y=ax有三個不同的交點，而不說f(x)與y=ax至少有三個不同的交點，即只能有三個交點而不能有四個交點.

出錯歸因：思維抑制，導(dǎo)致低級錯誤，本題中的錯解源自于對題意的誤解.

反思總結(jié)：思維抑制，導(dǎo)致低級錯誤.問題比較復(fù)雜，做題對圖像的刻畫較為慎重，問題的分析也比較周到.但最后犯了較為低級的錯誤，試題中的要求是“三個不同的交點”而不是“至少三個交點”，從而導(dǎo)致錯解.

2.思維慣性，思維定勢，思維僵化

我們在長期的工作、學(xué)習(xí)和生活中，對經(jīng)常發(fā)生的事情，在思考過程中，往往會產(chǎn)生思維慣性，形成固定的思維模式，即思維定勢.思維定勢對常規(guī)思維是有利的，它可使思考者在處理同類問題的時候少走彎路.然而，思維定勢也有它的弊端，特別是當(dāng)我們處理一些新情況的時候，思維定勢就會變成“思維枷鎖”，阻礙我們用新觀念、新方法、新思路去創(chuàng)造性地解決問題，使人失去創(chuàng)新和發(fā)展的源泉和動力.

考點涉及:數(shù)學(xué)歸納法.

錯解呈現(xiàn):(1)當(dāng)n=1時，不等式成立.

就是說當(dāng)n=k+1時不等式成立.由(1)(2)知原不等式成立.

出錯歸因:思維慣性，思維定勢，思維僵化導(dǎo)致出錯.

這就是說，當(dāng)n=k+1時，不等式成立.

由(1)(2)知原不等式成立.

3.審題浮淺，理解膚淺

粗心大意源于不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣，包括閱讀習(xí)慣，審題習(xí)慣．閱讀不專注，思考不深入，淺嘗輒止，未窺及深潛，忽略隱含條件，粗心大意，看錯或看漏條件，或者只考慮問題的某個方面，忽略了問題的其他方面，顧此失彼．

案例3 已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=x2-4x+5，求f(x)在R上的解析式.

考點涉及：函數(shù)的奇偶性及其性質(zhì)應(yīng)用.

錯點查找：(請仔細(xì)閱讀上面的“錯誤呈現(xiàn)”，并將其中錯誤之處勾畫出來)上述解法中，只注意到函數(shù)的奇偶性，而忽略了函數(shù)的定義域，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以必須要考慮到x=0時的情況.

出錯歸因：理解不透，忽略隱含條件.本題中函數(shù)f(x)在x=0時有定義，但函數(shù)在x=0時又是間斷的，解題容易疏忽.

正解參考：由題意f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)=-f(-x)，這時-x>0，所以

反思總結(jié):函數(shù)奇偶性的性質(zhì)①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對整個定義域而言；

②如果一個奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0，對偶函數(shù)而言，對定義域中的任意x，有f(x)=f(|x|)；③奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點對稱，如果一個函數(shù)一定不具有奇偶性，稱之為非奇非偶函數(shù)；④如果函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則叫做既奇又偶函數(shù).例如f(x)=0；⑤任意常函數(shù)(定義域關(guān)于原點對稱)均為偶函數(shù)，只有f(x)=0是既奇又偶函數(shù)；⑥奇函數(shù)在其定義域上的對稱區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在其定義域上的對稱區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

4.觀察不仔細(xì)，認(rèn)識不全面

觀察,是研究數(shù)學(xué)問題的起點,其重要性不言而喻.觀察數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵是細(xì)致入微，洞若觀火，不放過任何細(xì)節(jié)和線索，這樣才能深入全面地獲取解題信息.否則，觀察不仔細(xì)，粗心大意，丟三落四，認(rèn)識不全面，就會導(dǎo)致錯誤.

案例4 以下四圖，都是同一坐標(biāo)系中三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖像，其中正確的序號是( ).

(A)①② (B)③④ (C)②③ (D)①④

考點涉及:導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)圖像.

錯解呈現(xiàn):在圖④中，原函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的零點處改變它的單調(diào)性，故④正確；在圖③中剛開始時，原函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性步調(diào)一致且單調(diào)性恰好相反，故③正確；本題正確的答案為B.

錯點查找:(請仔細(xì)閱讀上面的“錯誤呈現(xiàn)”，并將其中錯誤之處勾畫出來)錯解沒有理解清楚原函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時，導(dǎo)數(shù)大于零；函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時，導(dǎo)數(shù)小于零.

出錯歸因:心理性失誤，觀察不仔細(xì)，認(rèn)識不全面，導(dǎo)致推理失誤.本題中的錯解源自對原函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系理解混亂.

正解參考:由圖像可知，在圖①，②，在每個區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號是對應(yīng)的，即函數(shù)增區(qū)間的導(dǎo)數(shù)大于零，單調(diào)減區(qū)間的導(dǎo)數(shù)小于零；在圖③中圖像顯示在區(qū)間(0,b)上導(dǎo)函數(shù)的值總為負(fù)值，而相應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)圖像顯示不單調(diào)，二者不一致，所以③不正確；圖④中圖像顯示在區(qū)間(a,b)上導(dǎo)函數(shù)的值總為正值，而相應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)圖像卻顯示為減函數(shù)，而該區(qū)間上的函數(shù)圖像顯示不單調(diào)，二者不一致，所以不正確；二者不一致，所以④不正確.故選A.

反思總結(jié):判斷一個函數(shù)在某個區(qū)間是否為增函數(shù)時要看導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間是否大于0，而不是看導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性與原函數(shù)的單調(diào)性是否一致(單調(diào)性相同或者相反).其次我們要掌握三次函數(shù)圖像的特點，三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果有兩個不同的零點，則其圖像呈“N”或者倒立的“N”；三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果有兩個相同的零點或者沒有零點，則其圖像是我們熟悉的立方拋物線.

5.缺乏韌勁，知難而退

水流千里意志堅，人無韌勁半路亡.跌倒了并不意味著失敗，關(guān)鍵在于是否能忍著疼痛，漂亮地重新站起來，只要有夢想那么你永遠(yuǎn)都不會輸！人有很多時候不是敗給了別人，而是輸給了自己.韌者，柔而固也.固而不柔則脆，柔而不固則弱，柔而固則韌.歌德說，世上只有兩條路能通往成功的目標(biāo)并成就偉大的事業(yè)，那就是力量和堅韌.堅韌從來不負(fù)眾望，因為它沉默的力量將隨著時間的推移一天天壯大，直到所向披靡，無以抗拒.古人云：“鍥而舍之，朽木不折；鍥而不舍，金石可鏤”．毅力也是成功之本，是一種韌勁.數(shù)學(xué)解題如果缺乏韌勁，遇到思維難度稍大一點的問題就不深入思考，遇到運算量繁冗一點的題目就望而卻步，知難而退，輕言放棄，就會錯失成功的機(jī)會.

考點涉及:利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，分類討論的數(shù)學(xué)思想.

因為函數(shù)f(x)=2lnx+x2-5x在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，所以

出錯歸因：看到復(fù)雜的結(jié)構(gòu)式，遇到運算量繁冗一點的題目就望而卻步，知難而退，輕言放棄，就會錯失成功的機(jī)會，屬心理性失誤.

反思總結(jié)：同學(xué)們在解導(dǎo)數(shù)問題，特別是含有l(wèi)nx類的函數(shù)單調(diào)性問題，不單要結(jié)合函數(shù)的定義域來解題，而且要關(guān)注函數(shù)在開區(qū)間端點處的取值，培養(yǎng)讀題，審題，解題，反思的解題習(xí)慣，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}行為，考慮問題要全面，做到不重不漏.