兩類導(dǎo)數(shù)證明題型方法探究

江蘇省常熟外國語學(xué)校 (215500) 丁 劍江蘇省常熟市中學(xué) (215500) 吳旭紅

在導(dǎo)函數(shù)復(fù)習(xí)和測試的過程中，有兩類導(dǎo)數(shù)證明題學(xué)生在處理上有一定的困難，本文針對這兩種題型，進(jìn)行剖析，歸納出解題的一般方法，供同行和學(xué)生參考學(xué)習(xí)．

題型一用已知函數(shù)單調(diào)性證明

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

例2 2017-2018學(xué)年第一學(xué)期高三期中調(diào)研23(2017.11)

(1)若不等式(x+1)ln(x+1)≥ax對任意x∈[0,+∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

解析：(1)易求得a≤1.

例3 已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=lnx+1(x≥1).

(1)求函數(shù)h(x)=f(x-1)-g(x)(x≥1)的最小值；

(2)已知1≤ylnx-lny;

(2)由(1)可知，當(dāng)x≥1時(shí)，h(x)=ex-1-lnx-1≥0,∵1≤y

∵1≤ylnx-lny.

剖析：此類證明基本使用前一問的條件，賦值，滿足范圍即有單調(diào)性，則可以用上一問結(jié)論．例1若沒有第二問鋪墊，直接證第三問，可能加深難度．例2測試時(shí)利用第一問結(jié)論進(jìn)行論證的不多，少部分同學(xué)按法1用裂項(xiàng)完成，極少數(shù)移項(xiàng)構(gòu)造數(shù)列根據(jù)單調(diào)性證明．例3兩次利用前面的結(jié)論，結(jié)合了不等式的遞推性質(zhì)證得．

題型二與兩個(gè)零點(diǎn)相關(guān)不等式型的證明

(一)和型

例4 (不含字母指數(shù)型)過點(diǎn)P(-1,0)作曲線f(x)=ex的切線l.

(1)求切線l的方程；(x-y+1=0)

設(shè)f(x)=(x+1)ex，則f(x1)=f(x2)．f′(x)=(x+2)ex，當(dāng)x<-2時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x>-2時(shí)，f′(x)>0；

∴f(x)在(-∞,-2]上單調(diào)遞減，在[-2,+∞)單調(diào)遞增．

∵x1≠x2，不妨設(shè)x1<-2,x2>-2.

設(shè)g(x)=f(x)-f(-4-x)，則g′(x)=f′(x)+f′(-4-x)=(x+2)ex(1-e-2(2+x)),當(dāng)x>-2時(shí)，g′(x)>0，g(x)在(-2,+∞)單調(diào)遞增，∴g(x)>g(-2)=0，即當(dāng)x>-2時(shí)，f(x)>f(-4-x).∵x2>-2,∴f(x2)>f(-4-x2),則f(x1)>f(-4-x2).∵x1<-2,x2>-2,∴-4-x2<-2,且f(x)在(-∞,-2)單調(diào)遞減，∴x1<-4-x2，即x1+x2<-4．

例5 (含字母指數(shù)型)已知函數(shù)f(x)=(x-k-1)ex(e為自然對數(shù)的底數(shù)，e≈2.71828,k∈R)．

(1)當(dāng)x>0時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)①若對于任意x∈[1,2]，都有f(x)<4x成立，求k的取值范圍；

②若x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2<2k.

解：(1)(2)①略．

②由已知f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，結(jié)合(1)可知k>0,f(x)在(-∞,k)上單調(diào)遞減，在(k,+∞)上單調(diào)遞增，又f(k+1)=0，∴xk,2k-x1>k.故要證x1+x2<2k，只要證2k-x1>x2，只要證f(2k-x1)>f(x2)．

例6 (不含字母對數(shù)型).常熟市2018屆高三階段性抽測二(2017.12)

∵x1>x2,∴x1∈(1,+∞),x2∈(0,1),

∴2-x2∈(1,+∞).

∵x2∈(0,1),∴f(2-x2)2.

∴x1+x2>2.

(二)積型

例7 (含字母對數(shù)型1)蘇州市2017屆高三調(diào)研測試(2017．01)

已知函數(shù)f(x)=(lnx-k-1)x(k∈R).

(1)當(dāng)x>1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(當(dāng)k≤0時(shí)增區(qū)間是(1,+∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間，無極值;當(dāng)k>0時(shí)，減區(qū)間(1,ek)，增區(qū)間(ek,+∞)，極小值f(ek)=-ek，無極大值．)

(3)若x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明：x1x2

解析：(3)(法1)因?yàn)閒(x1)=f(x2)，由(1)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,ek)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ek,+∞)上單調(diào)遞增，且f(ek+1)=0.

(法2)要證x1x2

例8 (含字母對數(shù)型2)已知函數(shù)f(x)=x-alnx(x∈R+),a為實(shí)數(shù)，若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2且x1e2.

解析：(1)、(2)略.(3)(法1)f(x1)=x1-alnx1=0①,f(x2)=x2-alnx2=0②,①+②，得x1+x2=alnx1+alnx2=alnx1x2.

要證x1·x2>e2，只要證x1+x2>2a，即證x2>2a-x1.

由(1)f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+∞)上單調(diào)遞增．又x1a，只要證f(2a-x1)>f(x2).

∴x2·x1>e2.

∴x2·x1>e2.

例8的法1通過分析法書寫，取對數(shù)后轉(zhuǎn)換成和式，構(gòu)造差式函數(shù)(不妨稱之為極值點(diǎn)構(gòu)造法)處理，法2更為明晰，用已知零點(diǎn)所得等式，加減后處理，消去a，然后類似例7的法2換元證得，這里需要一定的轉(zhuǎn)化技巧.教學(xué)時(shí)可通過范例，讓學(xué)生深諳其解法，并靈活運(yùn)用之.

結(jié)語：本文兩類導(dǎo)數(shù)證明題屬于難度較大的題，需要了解其本質(zhì)：題型一用原函數(shù)單調(diào)性，賦值處理；題型二分為兩類解法，極值點(diǎn)構(gòu)造法和換元求導(dǎo)法．