集合問(wèn)題的常見(jiàn)錯(cuò)誤簡(jiǎn)析

陳曦

摘 要：集合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中極為重要的知識(shí)點(diǎn)。通過(guò)對(duì)集合知識(shí)的學(xué)習(xí)，能夠?yàn)槠渌麛?shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，能夠讓我們對(duì)于相關(guān)知識(shí)的掌握程度更為牢靠。[1]通過(guò)集合問(wèn)題常見(jiàn)錯(cuò)誤的分析，不僅能夠讓我們更好地避免此類(lèi)錯(cuò)誤的再次發(fā)生，也有助于我們對(duì)于集合相關(guān)知識(shí)的深入領(lǐng)會(huì)。

關(guān)鍵詞：集合知識(shí) 常見(jiàn)錯(cuò)誤 問(wèn)題分析

中圖分類(lèi)號(hào)：G630 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9082（2018）07-0-01

前言

集合是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中不可忽視的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)該知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，我們能夠更加夯實(shí)自身數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，對(duì)于其他問(wèn)題的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和掌握奠定基礎(chǔ)。而集合學(xué)習(xí)過(guò)程中容易出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，如能對(duì)這些常見(jiàn)錯(cuò)誤進(jìn)行分析，必可真正讓我們對(duì)該內(nèi)容予以系統(tǒng)掌握。[2]

一、集合學(xué)習(xí)重要性

集合屬于最基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言范疇，融合了集合概念、集合與集合之間的關(guān)系以及集合的運(yùn)算等相關(guān)知識(shí)。集合作為數(shù)學(xué)表達(dá)工具，具有至關(guān)重要的作用。集合屬于高中數(shù)學(xué)的基本概念，能夠?yàn)楹罄m(xù)函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)，在每年的高考中，集合這一知識(shí)內(nèi)容都占有一席之地，屬于每年的必考考點(diǎn)，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有舉足輕重的作用。通過(guò)這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，有助于對(duì)有關(guān)函數(shù)知識(shí)內(nèi)容的掌握，為函數(shù)的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，有助于提升我們分析與解決問(wèn)題的能力，能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的提升，進(jìn)而顯著提高學(xué)習(xí)效率。[3]

二、集合問(wèn)題常見(jiàn)錯(cuò)誤分析

1.忽視集合為空集情形

例題1：已知，，如果計(jì)算出實(shí)數(shù)p的取值范圍。

錯(cuò)解：假設(shè)的兩個(gè)根是x1，x2，由于，

故該方程具有兩個(gè)正根，推算出

因此，實(shí)數(shù)p的取值范圍是（-∞，-1）。

剖析：我們?cè)趯?duì)這類(lèi)題型進(jìn)行解答的過(guò)程中，經(jīng)常對(duì)空集是任何集合的子集這一內(nèi)容忽略，在上面的解題方法中，就對(duì)的特殊情形忽略了，當(dāng)，可以推算出，則該方程無(wú)解，該類(lèi)錯(cuò)誤是由于分類(lèi)討論不全面系統(tǒng)導(dǎo)致的，因此，實(shí)數(shù)p的取值范圍是（-∞，1）。

2.忽視結(jié)合中的元素互異

例題2：假設(shè)，

，并且集合A與集合B相交，其取值范圍為{2，5}，請(qǐng)計(jì)算出實(shí)數(shù)a的值。

錯(cuò)解：通過(guò)該題的題意可以得出，由可以得出a=3或者a= ±1。

剖析：眾所周知，在集合中，元素具有三個(gè)特征，即確定性、無(wú)序性以及互異性。其中，所謂的確定性指的是對(duì)于任何一個(gè)元素來(lái)說(shuō)，要么屬于某個(gè)指定集合，要么不屬于該集合，二者必居其一；所謂的無(wú)序性指的是通過(guò)對(duì)集合中元素的排列次序進(jìn)行隨意改變，這些元素仍然對(duì)同一個(gè)集合進(jìn)行表示；所謂的互異性指的是在同一個(gè)集合中的元素是互不相同的。在對(duì)集合類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行解答的過(guò)程中，經(jīng)常忽視元素的互異性，所以，在該例題中，當(dāng)a=1時(shí)，在集合B中，存在著兩個(gè)元素都是1，這與集合中元素的互異性這一特征不符合，應(yīng)當(dāng)將其舍去。

3.忽視集合中的代表元素含義

例題3：設(shè)，那么必須有（ ）。

A. B. C. D.

錯(cuò)解：由于，可以推算出亦或是，故此，該試題的答案應(yīng)當(dāng)選擇（A）。

剖析：在該例題中，將集合作為例題背景，主要對(duì)有關(guān)解方程方面的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行考查，該題難度系數(shù)比較高，數(shù)集就是集合中的代表元素，也就是我們通常所說(shuō)的方程的解，由于方程的解，除了受到函數(shù)定義域的限制之外，也受到函數(shù)定義域的限制，也就是說(shuō)函數(shù)的解，必須與函數(shù)的定義域相符合，函數(shù)的解，則必須與函數(shù)的定義域相符合，但是，函數(shù)與函數(shù)的定義域分別限制了函數(shù)與函數(shù)的解。

又如，例題4，設(shè)，。

那么，，

得出，所以該題的正確答案應(yīng)當(dāng)選擇（B）。

4.忽視隱含條件的含義

例題5：如果，非空集合能使成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍應(yīng)當(dāng)是（ ）。

（A）{1，9） （B）（1，9}

（C）（6，9} （D）{6，9）

錯(cuò)解：因?yàn)?，所以，那?/p>

通過(guò)計(jì)算可以得出1

剖析：在對(duì)該例題進(jìn)行解答的過(guò)程中，忽略了該例題中所隱藏的限制條件，由于Q屬于非空集合，在該集合中隱藏著，通過(guò)計(jì)算該不等式，可以得出a>6，因此，該類(lèi)題的正確答案應(yīng)當(dāng)為（C）。

5.忽視能否取等號(hào)

例題6：已知，，并且=，那么請(qǐng)計(jì)算出a的取值范圍。

錯(cuò)解：通過(guò)該題的題意，能夠?qū)⑾嚓P(guān)數(shù)軸畫(huà)出來(lái)，通過(guò)所描繪的數(shù)軸，可以得出：。

剖析：在以上的解題方法中，存在著一個(gè)錯(cuò)誤，就是認(rèn)為當(dāng)a=-2的情況下，也與該題的題意相符合，然而，實(shí)際上，當(dāng)a=-2時(shí)，B={x|x<-2}。=不等于，這與該題的題意不符合，應(yīng)當(dāng)將其舍棄，所以，該題的正確答案應(yīng)當(dāng)為。

通過(guò)相應(yīng)的例題，我們可以看到我們?cè)谶M(jìn)行題目解答過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，也更加能夠直觀了解到我們的問(wèn)題所在，為我們以后的解題正確率提升提供借鑒。此外，我們?cè)谶M(jìn)行題目解答過(guò)程中，也盡量建立相應(yīng)的“錯(cuò)題本”，將相關(guān)類(lèi)別的錯(cuò)題集合在一起，便于我們對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，也更加有助于我們自身解題能力的提升。

參考文獻(xiàn)

[1]熊海鷗，宋靜.二類(lèi)5包含型錯(cuò)誤矩陣集合方程求解研究[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2016，46（22）：180-185.

[2]王彬，王治華，周寧慧，董樹(shù)鋒，何光宇.基于集合論估計(jì)的電網(wǎng)狀態(tài)辨識(shí)（五）拓?fù)溴e(cuò)誤識(shí)別[J].電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2016，40（09）：9-15.

[3]胡曉飛，楊惠娟.高中生集合與函數(shù)概念學(xué)習(xí)中的典型錯(cuò)誤及歸因研究[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2013（22）：157+159.