淺談構(gòu)造輔助圓解決點的問題

雍雅麗

摘 要：對于數(shù)學(xué)中較全面、有簡易解題方法且不易看出知識點的題目，如果可以根據(jù)題干中的基本要素，結(jié)合到圓的相應(yīng)理論，合適地畫出輔助圓，一般可以變復(fù)雜為簡單，變困難為基礎(chǔ)，發(fā)現(xiàn)答題技巧，添加輔助圓的一般過程是：基于“圓的定義”添加輔助圓、通過“圓周角的性質(zhì)”添加輔助圓、通過圓周角與圓內(nèi)外角的聯(lián)系添加輔助圓、基于“弦切角的模型”添加輔助圓、利用“圓冪定理”添加輔助圓、利用“判定四點共圓的理論”添加輔助圓、利用“兩圓相切的定義”添加輔助圓、利用“托勒密理論”添加輔助圓。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)問題 添加輔助圓 基礎(chǔ)題型

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-9082（2018）07-0-02

從全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽與國際數(shù)學(xué)奧林匹克中涉及的相關(guān)題型來看，可以了解到，數(shù)學(xué)問題，作為競賽中最常涉及的內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)競賽中，其地位是數(shù)一數(shù)二的。對于一些較全面、有簡易解題方法且不易看出知識點的題目而言，解題的人哪怕是在靈活運用所學(xué)知識與思維邏輯推算方面有著較強(qiáng)的能力，但是難免也會被此絆住腳步。因此，解題者如果可以通過題干基本框架及特征，從而聯(lián)系到圓的理論應(yīng)用，合適地添加輔助圓，通常能夠變復(fù)雜為簡單，變困難為基礎(chǔ)，從而發(fā)現(xiàn)答題的關(guān)鍵出口。本篇文章的中心就是介紹如何利用添加輔助圓來達(dá)到解題目的。

在日常的教授課程中，老師們常會根據(jù)圓的性質(zhì)來添加輔助圓，由此便將原有問題變成了輔助圓與直線的公共點的相應(yīng)問題。

一、根據(jù)“在同一個圓內(nèi)，若兩弧相等，則兩弧對的圓周角相等”添加輔助圓

題1 如圖所示，平行四邊形ABCD中，E在AD，延長CE至F點，使得。

（1）證明：；

（2）用做圖工具在直線AD上取一點P，使∠CPB=∠PDC（作法不需寫，保留作圖印記）

（1） 由題目可知AD//BC，所以。

又，所以可以知道，由此可得。

（2） 因為P在直線AD上，又AD//BC，所以。若要得，就是要使得，從（1）可以知道條件，則只需，也就是和可以視為弧BC對應(yīng)的圓周角，因此P點為的外接圓和AD所相交的點。

解（1）省略。

（2）分別在邊BF與BC上作垂直平分線，設(shè)兩垂直平分線交于O點。把O點作為圓的中心點，邊OB的長度為半徑長度，AD邊與⊙O交于P點，因此點P即為我們所尋找的點。

二、根據(jù)“同一圓內(nèi)，兩弧相同，則兩弧所對應(yīng)的圓周角是其對應(yīng)的圓的中心角的1/2”來添加輔助圓來找點

題目2：如圖2所示，知：AB是一條線段，嘗試?yán)米鲌D工具在下圖中尋找符合題意的全部C點，使得∠BCA=30°（使用直尺和圓規(guī)，圖上要能看到作圖過程，不需要寫出作法）

嘗試思路：首先構(gòu)造出一個等邊三角形，接著把O點作為圓的中心，半徑的長度即為OA長度，添加出⊙O，那么與優(yōu)弧AB所相交的一點即為符合題意需要作出的點（不包括A點和B點）。由對稱性可知，我們可在邊AB的另一邊也能找到符合題意的C點（請根據(jù)上述所提供的思路，畫出最終圖）

自我學(xué)習(xí)：在如圖所示的坐標(biāo)系中，可以知道兩點坐標(biāo)，，在y軸上有一個動點C，那么若∠ACB=15°，試求C點的坐標(biāo)是多少？

上述的“嘗試思路”本質(zhì)是在指導(dǎo)同學(xué)們怎么利用“同一圓內(nèi)，兩弧相同，則兩弧所對應(yīng)的圓周角是其對應(yīng)的圓的中心角的?”，從而添加出符合題意中∠BCA=30°的C點，并利用等邊三角形的基礎(chǔ)上使∠BOA=60°，接著把O當(dāng)做圓的中心，和OA的長度作為圓的半徑添加出弦AB對應(yīng)的弧，也就是C點處在的那個軌跡，再根據(jù)圖像的對稱性添加出另一邊的圖（如圖二所示）

所以，針對“自我學(xué)習(xí)”的題目，可學(xué)習(xí)“嘗試思路”里面的一些方法和技巧，首先知道是等腰直角三角形，所以∠BMA=90°，接著把M點當(dāng)作圓的中心添加出弧AB對應(yīng)的一條優(yōu)弧，y軸與這條優(yōu)弧所相交的點就是符合題意的點，即為點C（如圖3所示），由對稱性可知，得出另一個點，設(shè)為，兩點關(guān)于y軸對稱。

解：嘗試思路：省略。

自我學(xué)習(xí)：如圖3所示，由M點作垂線，使得DM⊥AB，交于D點，因此可以很快得出AD=DM=BD=2，

所以點M為（1，2），

且⊙O中的半徑，也就是.

再過M點作垂線，交y軸于E點，即EM⊥y軸

所以EM長度為1。

在直角三角形△CEM中，

所以C點坐標(biāo)為。根據(jù)圖像的對稱性可以知道，C的對應(yīng)點的坐標(biāo)是

三、利用直徑所對的圓周角是直角添加輔助圓來定點

題3 如下圖，AB=AC=AD，，∠BAC=44°，解答等于多少度？

分析：如圖，作輔助圓

而∠BAC=44°所以∠CAD=88°

據(jù)上文論述，添加輔助圓通常是以圓的定義與性質(zhì)為標(biāo)準(zhǔn)但在日常練習(xí)中，還應(yīng)該通過不同的題目類型有取舍的添加輔助圓再用有關(guān)直線和圓的性質(zhì)概念來判斷正確公共點的數(shù)量從中得出答案。

本文最主要的是深究教育的關(guān)鍵，學(xué)生規(guī)整信息的思維。對于比較散亂零碎的信息在解題過程中的整理和面對題目的規(guī)律不要急于確認(rèn)也不要否認(rèn)，要以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S來整理這些散亂零碎的信息，以準(zhǔn)確的角度對待這些散亂零碎的信息，并可以將信息進(jìn)行規(guī)整和巧妙的將他們聯(lián)系在一起，不按照過程就不會有所進(jìn)展，這是教學(xué)的主要元素之一。

教師還需帶領(lǐng)學(xué)生理智面對對于所知信息進(jìn)行的猜測，以結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)判定猜測的是對還是錯，經(jīng)過嚴(yán)苛論證來表示猜測的正確性，也可以通過舉出相反例子來否認(rèn)猜測。英國著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞，曾獲得菲爾慈獎。他說過一句名言：與別的自然科學(xué)的狀況相同，數(shù)學(xué)中有些許發(fā)覺也要通過幾個層次過程才可以完成，而事實證實只是最終一項。最開始時期在于識別出一些主要的真相，把它們構(gòu)成詳細(xì)意思的形式，并從中精選出聽起來很正確的定理或公式，然后，人們用沒有的經(jīng)驗真相來驗證這個公式。其實，深究教學(xué)就是要讓學(xué)生產(chǎn)生在切合實際場景中探究問題的體會，這種體會有利于對學(xué)生以后在數(shù)學(xué)方面的學(xué)習(xí)，同時可以使學(xué)生生成一種準(zhǔn)確的觀念。

數(shù)學(xué)中的論證題經(jīng)常有自己獨有的方式、多種變通的解題方法扣人心弦，而添加輔助圓解答數(shù)學(xué)題更是別開生面，興趣深厚、方式新奇，使人受益匪淺，添加輔助圓是具有創(chuàng)新意識的解題過程，如果可以準(zhǔn)確地使用它，不但可以使問題變得簡易，獲得精巧的方式解決，而且對深入了解數(shù)學(xué)文化的內(nèi)在法則和關(guān)系、提升綜合使用知識的技巧、引發(fā)學(xué)習(xí)趣味、提升學(xué)生自信、培育創(chuàng)新性思維邏輯能力大有增益。