一道課本例題的推廣與應(yīng)用*

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(宣城市第二中學(xué),安徽 宣城 242000)

北師大版教材《數(shù)學(xué)(必修5)》第48頁，有這樣一道其貌不揚(yáng)的例題，很多教師在講這一節(jié)課的時(shí)候，對(duì)這一例題都沒有引起足夠的重視.但是，這道小小的例題卻蘊(yùn)含著深邃的數(shù)學(xué)思想方法，在近幾年的高考試題中大顯身手.

圖1

1 教材例題呈現(xiàn)

在△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)給定的情況下，可以先求出從某一頂點(diǎn)引出的兩個(gè)向量的坐標(biāo)，其交叉乘積之差的絕對(duì)值的一半，即為△ABC的面積.

2 應(yīng)用教材例題的結(jié)果解高考題

用該結(jié)論解決下面的例2可以大大簡化解題過程，比所給的參考答案要簡單得多.

2)設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求|OM|·|PQ|的最大值；

3)略.

(2011年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

得

|sin(β-α)|=1,

從而

于是

3cos2α+3sin2α=3,

2sin2α+2cos2α=2.

于是

圖2

3 教材例題推廣

該結(jié)論可推廣到四邊形.如圖2，凸四邊形ABCD中，AC與BD的夾角為θ，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),則

S△ABC=S△AFB+S△CFB=

同理可得

從而S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=

如圖2，過點(diǎn)C作BD的平行線，截取CE，使CE=BD，聯(lián)結(jié)AE,DE,則

S△ACE.

從而

若直線AC,BD的斜率均存在，不妨設(shè)斜率分別為k1,k2，對(duì)上式稍作變形得

(1)

式(1)的特點(diǎn)是：只需知道四邊形4個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)以及對(duì)角線所在直線的斜率，即可表示出該四邊形的面積，這一優(yōu)點(diǎn)在圓錐曲線壓軸題中非常好用，可以大大簡化運(yùn)算過程.

4 應(yīng)用教材例題的推論解高考題

利用這一結(jié)論，可以快速地解決下面的例3.

圖3

例3設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交⊙A于點(diǎn)C,D，過點(diǎn)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

1)證明：|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

2)如圖3，設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于點(diǎn)M,N，過點(diǎn)B且與l垂直的直線與⊙A交于點(diǎn)P,Q，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

(2016年全國數(shù)學(xué)高考理科卷Ⅰ第20題)

解1)略.

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,

從而

(1+k2)x2+2(k2-1)x+1-15k2=0，

因此

得

易知，當(dāng)l⊥x軸時(shí)，S四邊形MPNQ=12.

利用式(1)還可以處理例3的變式，得到了意想不到的效果.

圖4

分析改變第二條直線的生成方式，此處由弦AB的中點(diǎn)M這一動(dòng)點(diǎn)和原點(diǎn)構(gòu)造出第二條直線，綜合了中點(diǎn)弦的處理技巧.

即

故

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,

從而

因此

故

教材是我們學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，應(yīng)做到“入乎其內(nèi)，出乎其外”，把教材由薄讀到厚，再由厚讀到薄.教材的每一段話、每一道例題、每一組習(xí)題，包括課后閱讀材料、研究性學(xué)習(xí)，都要引起高度重視，只有這樣，才能在考場上應(yīng)對(duì)自如.