2018年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ文科第21題探究*

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(宿城第一中學(xué),安徽 宿州 234000)

1 試題展現(xiàn)

例1已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1．

1)設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn)，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2018年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ文科試題第21題)

點(diǎn)評(píng)本題是2018年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ文科試題的壓軸題.試題的命制嚴(yán)格遵循《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》《2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱》《2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試說明》(以下分別簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》《考試大綱》《考試說明》)的要求，體現(xiàn)了素養(yǎng)導(dǎo)向，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值，同時(shí)兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性．第1)小題考查導(dǎo)數(shù)極值的判斷、單調(diào)區(qū)間的求法，注重基礎(chǔ)，學(xué)生容易得分；第2)小題注重對(duì)學(xué)生能力的考查，以不等式證明為載體，考查學(xué)生靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析問題、解決問題的能力,有一定的廣度和深度，入口較寬，解法多樣，有利于對(duì)學(xué)生進(jìn)行多層次、多角度的考查，作為壓軸題起到了把關(guān)作用．

2 解法探究

下面對(duì)第2)小題進(jìn)行探討.

2.1 分離參數(shù),轉(zhuǎn)化化歸

從而φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，又φ(1)=0，于是當(dāng)x∈(0,1)時(shí),φ(x)>0，故h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),φ(x)<0，故h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，因此

故

2.2 帶參求導(dǎo),設(shè)而不求

證法2由f(x)=aex-lnx-1，知

從而f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.因?yàn)?/p>

f′(1)=ae-1≥0，

又

f(x)min=f(x0)=aex0-lnx0-1.

lna+x0=-lnx0，

2.3 參數(shù)放縮,巧解問題

h(x)min=h(1)=0，

故

h(x)≥0．

2.4 變量放縮,分類討論

證法4記φ(x)=x-1-lnx(其中x>0)，則

從而當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，φ′(x)<0，φ(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，φ′(x)>0，φ(x)單調(diào)遞增，于是

φ(x)min=φ(1)=0，

因此

φ(x)≥0，

故當(dāng)x>0時(shí)，x-1≥lnx,即欲證aex-lnx-1≥0，只需證aex-x≥0.記h(x)=aex-x，則

h′(x)=aex-1，

令h′(x)=aex-1=0，即

②當(dāng)a>1時(shí)，h′(x)>0，從而

h(x)>h(0)=a>0,

得證．

點(diǎn)評(píng)證法4是對(duì)變量進(jìn)行放縮，根據(jù)“當(dāng)x>0時(shí)，x-1≥lnx”把要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明其成立的充分條件“aex-x≥0”，然后對(duì)a進(jìn)行分類討論，進(jìn)而原不等式得證．證法4雖很繁冗，但是把解題思路打開了，給后面的方法提供了更多思考的空間，要證明不等式，根據(jù)分析法可以證明使它成立的充分條件成立．

2.5 參變同縮,“秒殺”問題

證法5記h(x)=ex-1-x(其中x>0),則

h′(x)=ex-1-1，

從而h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，進(jìn)而

h(x)≥h(1)=0，

于是當(dāng)x>0時(shí)，ex-1≥x，兩邊取自然對(duì)數(shù)可得

x-1≥lnx．

因此aex-lnx-1≥ ex-1-lnx-1≥

x-(x-1)-1=0，

3 追本溯源,揭示本質(zhì)

3.1 幾何視角

3.2 代數(shù)視角

泰勒公式：f(x)=ex在x=0處的泰勒展開式為

即

因此

ex≥x+1[1].

用x-1代換不等式ex≥x+1中的x，可得ex-1≥x.當(dāng)x>0時(shí)，對(duì)ex-1≥x兩邊取自然對(duì)數(shù)可得

x-1≥lnx，

從而

ex-1≥1+lnx，

即

從代數(shù)的角度來理解試題命制的本源，結(jié)合幾何的感性直觀，有利于建立形與數(shù)的聯(lián)系，提高直觀想象能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),有利于從廣度和深度兩個(gè)層次對(duì)問題進(jìn)行理解和剖析．

3.3 同源探究

例1與2013年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第21題(例2)同根同源.

例2[1]已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m)．

1)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)區(qū)間；

2)當(dāng)m≤2時(shí)，證明:f(x)>0．

首先從試題形式來看,兩者相似度極高;再從解題方法看，在例2第2)小題中證明f(x)>0，可以使用:

①參數(shù)放縮，只需證

ex-ln(x+2)>0，

借助設(shè)而不求，不等式得證，參見例1第2)小題的證法3；

②參變同時(shí)放縮，只需證

ex≥x+1≥ln(x+2)，

從代數(shù)、幾何視角均可證明，又因兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立，不等式得證，參見例1第2)小題的證法5．

4 解后反思

4.1 重視教材,抓“四基”

《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的“四基”(數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))．《課程標(biāo)準(zhǔn)》是教材編制的依據(jù)，教材是課程標(biāo)準(zhǔn)的具體體現(xiàn)．抓“四基”，就要重視教材．例1植根于教材，在《數(shù)學(xué)(必修1)》對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)中，明確要求學(xué)生了解同底的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，圖像關(guān)于y=x對(duì)稱，在2018年的《考試大綱》中也有要求．學(xué)生扎實(shí)的“四基”是分析問題的根基,是解決問題的保障，因此高三復(fù)習(xí)要重視教材．重視教材不是把學(xué)過的教材拿過來重新學(xué)一遍，而是要對(duì)教材進(jìn)行挖掘，科學(xué)整合教材中的例題、習(xí)題，發(fā)揮教材的最大效益．

4.2 高于教材,抓“四能”

高三復(fù)習(xí)中“四基”固然重要，但也不能僅局限于教材，故步自封，忽視學(xué)生的認(rèn)知和發(fā)展規(guī)律．通過高中課程的學(xué)習(xí)還要構(gòu)建(提高)學(xué)生的“四能”(從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力)．“四基”是知識(shí)的內(nèi)化于心，“四能”是知識(shí)的外化于行．“四能”的培養(yǎng)需要根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，創(chuàng)設(shè)高于教材的教學(xué)內(nèi)容．新高考強(qiáng)調(diào)以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，從問題入手，考查學(xué)生的個(gè)體理性思維的廣度和深度以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能．例1考查由指數(shù)函數(shù)y=ex與對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx平移之后的指數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)，這樣的函數(shù)源于教材，但又高于教材要求．因此要提高“四能”，就要在高三復(fù)習(xí)時(shí)，適切講授高于教材的知識(shí)，比如常見的泰勒展開式、洛必達(dá)法則、拉格朗日中值定理等，既能拓寬學(xué)生的知識(shí)面，又可以開闊學(xué)生的解題視野．

4.3 關(guān)注素養(yǎng),抓“創(chuàng)新”

2018年的高考命題強(qiáng)調(diào)以素養(yǎng)為導(dǎo)向，考查學(xué)生創(chuàng)造性的探究能力．《考試大綱》要求：對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查是對(duì)高層次理性思維的考查，在考試中創(chuàng)設(shè)新穎的問題情境，構(gòu)造有一定深度和廣度的數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注重問題的多樣化，體現(xiàn)思維的發(fā)散性；精心設(shè)計(jì)考查數(shù)學(xué)主體內(nèi)容、體現(xiàn)數(shù)學(xué)素質(zhì)的試題；也要有反映數(shù)、形運(yùn)動(dòng)變化的試題以及研究型、探索型、開放型等類型的試題．例1考查學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和能力考查的最好體現(xiàn)．蘇霍姆林斯基說過：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者．”因此在高三復(fù)習(xí)中，教師更應(yīng)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升，狠抓創(chuàng)新教育，讓學(xué)生能以一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者的身份引領(lǐng)新時(shí)代創(chuàng)新的發(fā)展．