一道湖北省預(yù)賽試題的多視角解答*

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(合肥市第一中學(xué),安徽 合肥 230601)

圖1

(2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽試題第5題)

分析本題以解三角形為載體，利用重心性質(zhì)和位置關(guān)系，最終確定三角形另外兩邊之和的最大值.題目短小精煉，條件也不是很多，但是在解題的過(guò)程中還是會(huì)遇到一些阻礙.筆者特將自己答題的4個(gè)視角7種解法記錄下來(lái)，以饗讀者.

視角1坐標(biāo).

由均值不等式,得

評(píng)注將幾何問(wèn)題代數(shù)化是常見(jiàn)的方法，此視角下將點(diǎn)的坐標(biāo)用參數(shù)表示出來(lái)，最后利用均值不等式解之.

視角2幾何.

即

于是

解法3在解法2中，若不用中線定理，則在△ABO中，由余弦定理得

同理，在△ACO中，由余弦定理得

兩式相加得

x2+y2=10,

因此

解法4設(shè)∠AGB=α,∠AGC=β，由S△GBC=S△GBA=S△GAC，得

從而

于是

(1)

同理，在△AGC中,

(2)

式(1)+式(2)，得

x2+y2=10，

下同解法3.

評(píng)注幾何問(wèn)題幾何解，注意到底邊及底邊上的中線長(zhǎng)已知，求兩腰長(zhǎng)的和的最大值，自然想到中線長(zhǎng)公式，如果不知道公式也沒(méi)關(guān)系，利用余弦定理可證之.

視角3向量.

即

于是

又

2xycos∠BAC=x2+y2-BC2=x2+y2-2,

故

x2+y2=10,

下同解法3.

(7)

(8)

式(7)+式(8),得

下同解法5.

評(píng)注向量是聯(lián)系幾何與代數(shù)的紐帶，三角形中也經(jīng)常有一些經(jīng)典的向量結(jié)論，一些常見(jiàn)的結(jié)論很多是用向量證出來(lái)的，此題用向量求解過(guò)程簡(jiǎn)潔、自然.

視角4猜想.

評(píng)注猜想，因?yàn)闆](méi)有給出嚴(yán)格的證明，從某種意義上來(lái)說(shuō)不能算一種解題方法，最多是一種“投機(jī)”的思路，但不可否認(rèn)的是在解決一些選擇題和填空題時(shí)，猜想能帶來(lái)意想不到的效果.

波利亞說(shuō)：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.”本題解題思路明確，學(xué)生很容易從這4個(gè)視角找到突破口，這就需要我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中讓學(xué)生徹底理清楚常見(jiàn)的解題思路，即“什么時(shí)候用，什么條件下用，怎么用”[1].本題的諸多解題視角啟示我們:教師要改變傳統(tǒng)教育觀念，重視教學(xué)本質(zhì)的挖掘，重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，針對(duì)數(shù)學(xué)解題教學(xué)，更應(yīng)該圍繞數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的合理組織與運(yùn)用、基本方法的不斷深化展開(kāi)，而不能僅僅是題目類(lèi)型、解題技巧的歸納和訓(xùn)練.