基于目標(biāo)意識(shí) 回歸本原問題*

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(南京師范大學(xué)附屬揚(yáng)子中學(xué),江蘇 南京 210048)

高三解題教學(xué)的首要任務(wù)是教會(huì)學(xué)生如何解題，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).實(shí)踐表明，要使學(xué)生真正學(xué)會(huì)解題，需從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)，深究解題策略.常規(guī)的解題是按照由條件出發(fā)到思考目標(biāo)問題進(jìn)而解決問題.但由于學(xué)生認(rèn)知的局限性，抓不住問題的本質(zhì)，往往不能直接根據(jù)已知條件，將要求的問題化歸為已解決的本原問題，進(jìn)而形成問題的解決策略.另外，由于課堂教學(xué)時(shí)間緊、任務(wù)重，教師僅僅關(guān)注內(nèi)容或方法有沒有講清楚或透徹，很少深挖問題的源與流,學(xué)生往往不能從問題的本原考慮，形成解題的基本思路，從而造成只要問題條件稍作變化，就不會(huì)解的困境.本原思想是相對(duì)學(xué)生而言的最樸素、最本質(zhì)的想法[1].

從問題的本原考慮就是以認(rèn)清問題的本原為基礎(chǔ)，探尋解決問題的基本方法與規(guī)律，達(dá)到善于解題的目標(biāo).筆者借助一道高考模擬試題的評(píng)講過程，讓學(xué)生基于目標(biāo)解題意識(shí)，回歸到本原問題考慮，奠定融會(huì)貫通的基礎(chǔ)，形成良好的解題思維習(xí)慣，實(shí)現(xiàn)高效解題.

1 學(xué)習(xí)過程

(2016年5月江蘇省南京、鹽城數(shù)學(xué)高考模擬試題第14題)

對(duì)于該題筆者所在學(xué)校學(xué)生做得很不理想，全校共560人參與此題，僅有42人做對(duì).后期筆者在對(duì)答對(duì)的學(xué)生訪談時(shí)，發(fā)現(xiàn)他們雖然做對(duì)了，但過程千奇百怪，而且復(fù)雜，帶有很多偶然的因素，大多數(shù)學(xué)生根本沒有把握問題的本原.

環(huán)節(jié)1基于目標(biāo)， 探尋本原.

師：例1是什么問題？以前有沒有遇到過類似的問題？

生1：與2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題(即例2)類似.

例2若實(shí)數(shù)x，y滿足4x2+xy+y2=1，則2x+y的最大值為______．

師：分析很到位，以“形異神似”的高考題作為本原，非常符合模擬試題的特點(diǎn)，那么解決例2有哪些方法？

生1：由已知條件知道x，y的關(guān)系，于是，聯(lián)想利用基本不等式來解決它.

4x2+xy+y2= (2x+y)2-3xy≥

即

得

師：非常好！還有其他方法嗎？

則

師：太棒了!生2思路清晰、自然，別的同學(xué)還有不同想法嗎？

生3：對(duì)所求式子平方得(2x+y)2=4x2+4xy+y2，因此我聯(lián)想到了三角函數(shù)求值中的齊次式處理方法，即

生4：整體思想是解決多元問題的常用策略.令2x+y=t，則y=t-2x,將其代入方程4x2+xy+y2=1,得

6x2-3tx+t2-1=0，

可將其看成是關(guān)于x的一元二次方程且該方程有解，從而

Δ=-15t2+24≥0，

于是

生5：例2的本質(zhì)是動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在曲線4x2+xy+y2=1上移動(dòng).令2x+y=t，則直線y=t-2x與曲線4x2+xy+y2=1有交點(diǎn)，得

Δ=-15t2+24≥0，

從而

師：讓我給大家對(duì)比、分析一下.生1是利用不等式法處理的，需要適當(dāng)變形，更要注意使用基本不等式中等號(hào)取得的條件；生2從已知條件結(jié)構(gòu)入手，使用消元法，借助三角換元法，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，思路較為順暢；生3受到三角函數(shù)中齊次式求值的啟發(fā)，也將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，值得學(xué)習(xí)；生4使用方程法，整體思想應(yīng)用很恰當(dāng)，生2、生3和生4的策略都達(dá)到了消元的目的；生5采用的是線性規(guī)劃策略，其本質(zhì)可看作直線(或曲線)與曲線有交點(diǎn)的問題.

設(shè)計(jì)意圖通過熟悉的高考題作為本原，驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)的進(jìn)行，將本原問題融入到揭示、探究數(shù)學(xué)本質(zhì)的活動(dòng)過程中，實(shí)現(xiàn)一題多解，多解歸一，形成解決一類本原問題的基本方法.

環(huán)節(jié)2基于目標(biāo)，回歸本原.

師：同學(xué)們，根據(jù)例2的研究，我們歸納出多種解決策略，現(xiàn)在能否利用這些方法來解決例1？

生6：目標(biāo)問題比較繁瑣，分子是一次式而分母卻是二次式，不知道該怎么做，如果分子、分母次數(shù)都是一次或二次，就可以用齊次式處理了.

5x2-2xy+2y2=(x-2y)2+2,

從而

師：太棒了！其他同學(xué)聽明白了嗎？

(學(xué)生們紛紛點(diǎn)頭.)

師：請(qǐng)用生7提供的思路解出答案.

師：當(dāng)思路不“通暢”時(shí)，自然需要調(diào)整，向已經(jīng)解決的本原問題靠攏，正可謂“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”.

生8：我試圖將目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的一元函數(shù)，但沒能成功.于是，調(diào)整了思路，選用生2的方法，也沒成功，但得到了

(2x-y)(x+y)=1.

令2x-y=m，x+y=n，則mn=1,且

師：太棒了!從本原高考題出發(fā)，提煉方法，運(yùn)用于新題之中，實(shí)現(xiàn)了“解一題，通一類”，這才是真正的數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí).基于目標(biāo)意識(shí)，回歸到問題的本原，從而奠定融會(huì)貫通的基礎(chǔ)，形成良好的解題思維習(xí)慣，實(shí)現(xiàn)高效解題.

設(shè)計(jì)意圖?？碱}(文首例1)經(jīng)過包裝，將其本原隱藏起來，進(jìn)而達(dá)到考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題和解決問題的能力；從問題的結(jié)論深入，發(fā)現(xiàn)其中與本原問題的聯(lián)系，在“形異神似”中實(shí)現(xiàn)方法的正向遷移，達(dá)到“解一題，通一類，帶一串，提一片”的目的.

環(huán)節(jié)3鏈接高考，強(qiáng)化本原.

師：江蘇省數(shù)學(xué)高考題中也有此類問題的影子，比如下面兩道題，同學(xué)們課后可以嘗試著用本節(jié)課學(xué)到的方法解決它.

(2012年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第14題)

例4在銳角△ABC中，若sinA=2sinBsinC，求tanAtanBtanC的最小值.

(2016年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第14題)

設(shè)計(jì)意圖鏈接高考題，提升學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生的思維，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)方法的深層次理解和靈活應(yīng)用等目的.

2 幾點(diǎn)思考

2.1 注重目標(biāo)意識(shí)

數(shù)學(xué)解題正是在問題的初始狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)之間進(jìn)行比較、分析、消除差異，最終找到達(dá)到目的的最佳路徑的過程.基于目標(biāo)意識(shí)解題，就是首先根據(jù)目標(biāo)任務(wù)弄清“要什么”，清楚問題的特點(diǎn)，然后理清“有什么”，選擇方法，縮小“有什么”和“要什么”之間的距離，進(jìn)而嘗試怎樣縮?。澳繕?biāo)意識(shí)”和“正難則反”的解題思想也是中學(xué)生應(yīng)該具備的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng).解題教學(xué)中，教師應(yīng)多關(guān)注、培養(yǎng)學(xué)生基于目標(biāo)的解題意識(shí)，當(dāng)學(xué)生遇到復(fù)雜問題、由條件到結(jié)論的常規(guī)解題思路受阻時(shí)，就會(huì)主動(dòng)嘗試從結(jié)論出發(fā)，尋求解決問題的突破口，這樣有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性和發(fā)散性.

2.2 注重問題本原

項(xiàng)武義教授曾說：“必須要對(duì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和基本思想下一番深切的方璞歸真.”這正是要讓學(xué)生養(yǎng)成將復(fù)雜問題退到最簡(jiǎn)單、最原始問題的思維習(xí)慣最好的詮釋.“本原思想”是指將一個(gè)數(shù)學(xué)問題的要素和基本結(jié)構(gòu)作為思考的始點(diǎn)，是相對(duì)學(xué)生而言的最樸素、最本質(zhì)的想法.回歸本原問題，驅(qū)動(dòng)解題教學(xué)，能夠充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用.解題教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探尋問題的本原，讓學(xué)生“跳一跳”就能夠到；應(yīng)抓住問題的本原，弄清問題的源與流，有意地將問題回歸為已解決的“本原問題”，自然生成解題思路.

2.3 注重通性通法

章建躍博士認(rèn)為：“注重通性通法才是好數(shù)學(xué)教學(xué).”解題需要基于目標(biāo)，回歸本原問題發(fā)現(xiàn)一類問題的方法結(jié)構(gòu)，然后進(jìn)行辨識(shí)，找共性，獲得一般結(jié)論、想法，形成一類問題的通性通法；讓學(xué)生掌握“一招一式”的通性通法，明確方法的普遍性，具有回歸問題本原、聯(lián)想通性通法的意識(shí)，具有一雙透過現(xiàn)象看本質(zhì)的慧眼，才是解題教學(xué)追求的長(zhǎng)遠(yuǎn)利益[2].

2.4 注重聯(lián)想能力

數(shù)學(xué)家波利亞說：“貨源充足和組織良好的知識(shí)倉(cāng)庫(kù)是一個(gè)解題者的重要資本．”數(shù)學(xué)解題，更多的是在新情況和條件下去尋求未知的東西[3].數(shù)學(xué)解題思路尋求應(yīng)該基于已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行思維方法聯(lián)想.作為教師，要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際狀況選擇恰當(dāng)?shù)念}，選擇恰當(dāng)?shù)闹v題方法，最大限度地培養(yǎng)學(xué)生解題的能力.筆者認(rèn)為，至少在還沒有找到更好的方法之前，“基于目標(biāo)，將新問題表征為自己頭腦中所熟悉的‘本原問題’，進(jìn)而聯(lián)想問題解決的方法”是一個(gè)可行的好方法.

總之，解題的首要目的是鞏固概念，最終目的是學(xué)會(huì)思考，過程中要培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣，發(fā)展分析和解決問題的能力.基于目標(biāo)，依據(jù)結(jié)論的形式，回歸本原問題的解題思維，才能使學(xué)生真正學(xué)會(huì)思考.