由一道立體幾何題產(chǎn)生的思考

李文偉

【摘 要】 在高考復(fù)習(xí)的路上，對于高考必考的立體幾何，每個(gè)同學(xué)都不知解了多少題，磨了多少遍，可是，這樣的一道高考月考題，卻難住了很多的同學(xué)。這問題出在哪里呢？以下通過對該題的解答，謹(jǐn)與廣大數(shù)學(xué)同仁交流。

【關(guān)鍵詞】立體幾何；坐標(biāo)系；向量法；二面角

【中圖分類號(hào)】G63 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】2095-3089（2018）12-0090-01

這是一道2018年3月西南名校聯(lián)盟高考適應(yīng)性月考卷上的第19題，題目如下：

〖TP86.JPG；%25%25，Y〗如圖2，在三棱錐A-BCD 中，AB=CD=4，AC=BC=AD=BD=3.

（Ⅰ）求證：AB⊥CD ；

（Ⅱ）E 在線段BC 上，BE=2EC ，F(xiàn)是線段AC 的中點(diǎn)，求平面ADE 與平面BFD 所成的銳二面角的余弦值.

作為數(shù)學(xué)老師，當(dāng)你讀到這個(gè)題目的時(shí)候，你也許會(huì)覺得，這不是一道常規(guī)的立體幾何題嗎？

確實(shí)，這是一道常規(guī)的立體幾何解答題，但是，在這次聯(lián)考中，這道題卻難住了很多的同學(xué)。

以下給出該題的解答過程：

解法一： （Ⅰ）依題意，取CD中點(diǎn)M，連接BM 和AM ，CD⊥BM，CD⊥AM，且BM∩AM=M ，所以，CD⊥ 平面AMB ，得到AB⊥CD

（Ⅱ）由右圖1可計(jì)算得AM=BM=〖KF（〗5〖KF）〗 ，cos∠AMB=〖SX（〗5+5-15〖〗2×〖KF（〗5〖KF）〗×〖KF（〗5〖KF）〗〖SX）〗=-〖SX（〗3〖〗5〖SX）〗

故可延長BM 到O ，使AO⊥BO，所以， AO⊥平面BCD，

所以，可以如圖1所示，建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz.

由cos∠AMB=-〖SX（〗3〖〗5〖SX）〗 可得 ，cos∠AMO=〖SX（〗3〖〗5〖SX）〗 ，sin∠AMO=〖SX（〗4〖〗5〖SX）〗

∴OM=〖SX（〗3〖KF（〗5〖KF）〗〖〗5〖SX）〗，AO=〖SX（〗4〖KF（〗5〖KF）〗〖〗5〖SX）〗 ，從而，需要的各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

A（0，0，〖SX（〗4〖KF（〗5〖KF）〗〖〗5〖SX）〗） ，B（〖SX（〗8〖KF（〗5〖KF）〗〖〗5〖SX）〗，0，0） ，C（〖SX（〗3〖KF（〗5〖KF）〗〖〗5〖SX）〗，2，0） ，D（〖SX（〗3〖KF（〗5〖KF）〗〖〗5〖SX）〗，-2，0） ，F(xiàn)（〖SX（〗3〖KF（〗5〖KF）〗〖〗10〖SX）〗，1，〖SX（〗2〖KF（〗5〖KF）〗〖〗5〖SX）〗）

設(shè)E（x，y，z） ，則由于BE=2EC，可設(shè)BE〖TX→〗 =〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗BC〖TX→〗

∴{x-〖SX（〗8〖KF（〗5〖KF）〗〖〗5〖SX）〗，y，z}= 〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗{-〖KF（〗5〖KF）〗，2，0}，則〖JB（{〗x-〖SX（〗8〖KF（〗5〖KF）〗〖〗5〖SX）〗=-〖SX（〗2〖KF（〗5〖KF）〗〖〗3〖SX）〗

y=〖SX（〗4〖〗3〖SX）〗

z=0〖JB）〗E（〖SX（〗14〖KF（〗5〖KF）〗〖〗15〖SX）〗，〖SX（〗4〖〗3〖SX）〗，0）

∴AD〖TX→〗={〖SX（〗3〖KF（〗5〖KF）〗〖〗5〖SX）〗，-2，-〖SX（〗4〖KF（〗5〖KF）〗〖〗5〖SX）〗}，BF〖TX→〗={〖SX（〗13〖KF（〗5〖KF）〗〖〗10〖SX）〗，1，〖SX（〗2〖KF（〗5〖KF）〗〖〗5〖SX）〗}，

AE〖TX→〗={〖SX（〗14〖KF（〗5〖KF）〗〖〗15〖SX）〗，〖SX（〗4〖〗3〖SX）〗，〖SX（〗4〖KF（〗5〖KF）〗〖〗5〖SX）〗}，

BD〖TX→〗={-〖KF（〗5〖KF）〗，-2，0}.

設(shè)平面ADE 和平面BFD 的法向量分別為n1〖TX→〗 和n2〖TX→〗 ，二面角大小為θ，則

n1〖TX→〗=AD〖TX→〗×AE〖TX→〗={〖SX（〗8〖KF（〗5〖KF）〗〖〗3〖SX）〗，〖SX（〗4〖〗3〖SX）〗，〖SX（〗8〖KF（〗5〖KF）〗〖〗3〖SX）〗}=

〖SX（〗4〖〗3〖SX）〗{2〖KF（〗5〖KF）〗，-1，2〖KF（〗5〖KF）〗}

n2〖TX→〗BF〖TX→〗×BD〖TX→〗={〖SX（〗4〖KF（〗5〖KF）〗〖〗5〖SX）〗，-2，〖SX（〗18〖KF（〗5〖KF）〗〖〗5〖SX）〗}=〖SX（〗2〖KF（〗5〖KF）〗〖〗5〖SX）〗{2，〖KF（〗5〖KF）〗，9}，

則 cosθ=〖SX（〗n1〖TX→〗·n2〖TX→〗〖〗|n1〖TX→〗|·|n2〖TX→〗|〖SX）〗=〖SX（〗23〖KF（〗82〖KF）〗〖〗246〖SX）〗

解法二： （Ⅱ）根據(jù)棱錐中對邊相等的關(guān)系，可以構(gòu)造如圖的長方體.故可假設(shè)OB=x，OD=y，OA=z，〖JB（{〗x2+y2=9x2+z2=16z2+y2=9〖JB）〗

〖JB（{〗x=2〖KF（〗2〖KF）〗y(tǒng)=1z=2〖KF（〗2〖KF）〗〖JB）〗，所以，如圖2建立空間直角坐標(biāo)系，則有關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別如下：〖TP87.JPG；%25%25，Y〗

A（0，0，2〖KF（〗2〖KF）〗），B（2〖KF（〗2〖KF）〗，0，0） ，C（2〖KF（〗2〖KF）〗，1，2〖KF（〗2〖KF）〗） ，D（0，1，0） ，F(xiàn)（〖KF（〗2〖KF）〗，〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗，2〖KF（〗2〖KF）〗） .

設(shè)E（x，y，z） ，則由于BE=2EC，可設(shè)BE〖TX→〗=〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗 BC〖TX→〗

∴{x-2〖KF（〗2〖KF）〗，y，z}=〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗{0，1，2〖KF（〗2〖KF）〗}∴〖JB（{〗x-2〖KF（〗2〖KF）〗=0y=〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗z=〖SX（〗4〖KF（〗2〖KF）〗〖〗3〖SX）〗〖JB）〗

，

即E（2〖KF（〗2〖KF）〗，〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗，〖SX（〗4〖KF（〗2〖KF）〗〖〗3〖SX）〗）

∴AD〖TX→〗={0，1，-2〖KF（〗2〖KF）〗}，BF〖TX→〗={-〖KF（〗2〖KF）〗，〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗，2〖KF（〗2〖KF）〗}

，AE〖TX→〗={2〖KF（〗2〖KF）〗，〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗，-〖SX（〗2〖KF（〗2〖KF）〗〖〗3〖SX）〗}，

BD〖TX→〗={-2〖KF（〗2〖KF）〗，1，0} .

設(shè)平面ADE 和平面BFD 的法向量分別為n1〖TX→〗 和n2〖TX→〗 ，二面角大小為θ ，則

n1〖TX→〗 =AD〖TX→〗 ×AE〖TX→〗 ={〖SX（〗2〖KF（〗2〖KF）〗〖〗3〖SX）〗，-8，-2〖KF（〗2〖KF）〗}=〖SX（〗2〖KF（〗2〖KF）〗〖〗3〖SX）〗{1，-6〖KF（〗2〖KF）〗，-3}

n2〖TX→〗 =BF〖TX→〗 ×BD〖TX→〗 ={-2〖KF（〗2〖KF）〗，-8，0}=2〖KF（〗2〖KF）〗{-1，-2〖KF（〗2〖KF）〗，0}，

則cosθ= 〖SX（〗n1〖TX→〗·n2〖TX→〗〖〗|n1〖TX→〗|·|n2〖TX→〗|〖SX）〗=〖SX（〗23〖KF（〗82〖KF）〗〖〗246〖SX）〗=〖SX（〗23〖KF（〗82〖KF）〗〖〗246〖SX）〗

根據(jù)上述解答發(fā)現(xiàn)，第一種方法，不能直接建立坐標(biāo)系，并且解答過程，數(shù)據(jù)復(fù)雜，不易計(jì)算；第二種方法，建立坐標(biāo)系容易，解答過程也更簡單，但是，要從一個(gè)三棱錐想到長方體的對角線，得有這方面的解題經(jīng)驗(yàn)才行。分析這道題難住了很多同學(xué)的原因，說明教師在教學(xué)過程中，淡化了對不易建系的空間幾何體的深入探究和引導(dǎo)，也淡化了對能夠構(gòu)造長方體的幾何體的探索和總結(jié)。

從這個(gè)題的圖形結(jié)構(gòu)，不妨把問題進(jìn)行變式探究。例如：（1）求三棱錐A-BCD 的體積；（2）求三棱錐 A-BCD的外接球的表面積和體積；（3）將菱形沿對角線折疊到一定角度，求外接球的半徑等等。

文獻(xiàn)[1]中說“數(shù)學(xué)形象思維與邏輯思維的有機(jī)結(jié)合與辯證發(fā)展，加上認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整體建構(gòu)所獲得的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)與意識(shí)，可以形成一種立體的思維方式——直覺思維?！憋@然，對這些問題的延伸探究，可提高學(xué)生對立體幾何的解題能力，有助于空間想象能力的提升。

參考文獻(xiàn)

[1]張雄，李得虎.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法論與解題研究.北京：高等教育出版社，2007：188-189.

[2]朱德祥.初等幾何研究. 北京：高等教育出版社，2001：195-200.