基于振動監(jiān)測的工字鋼梁溫度-頻率關(guān)系模型

王振鵬，黃民水，盧海林

武漢工程大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，湖北 武漢 430074

隨著結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測技術(shù)的不斷發(fā)展，基于動力特性的損傷識別成為橋梁損傷診斷的重要方法。該方法通過對結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析，得出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)（頻率、振型、阻尼比等）。但是在真實情況下，橋梁較易受到外界環(huán)境的干擾，例如風(fēng)速、濕度、溫度等因素。在眾多外界環(huán)境因素中，溫度對橋梁模態(tài)參數(shù)的影響較大，從而導(dǎo)致基于動力特性的損傷識別方法失效，所以量化溫度變化與橋梁模態(tài)參數(shù)的關(guān)系顯得尤為重要。

不少學(xué)者通過量化溫度與結(jié)構(gòu)頻率的關(guān)系來區(qū)別損傷和溫度對結(jié)構(gòu)的影響，例如，宗周紅等［1］通過監(jiān)測溫度對斜拉橋頻率的影響，王賢強等［2-3］利用主成分分析法分析溫度對混凝土梁板頻率的影響，王立憲等［4］分析了溫度變化下不同損傷工況簡支梁的頻率變化。Xia等［5］對1塊兩跨鋼筋混凝土連續(xù)板進行2 a的監(jiān)測，觀察溫度變化對結(jié)構(gòu)振動特性的影響，發(fā)現(xiàn)溫度上升1℃，征頻率下降0.2%。Peeters等［6］對1座主跨30 m兩邊跨各14 m的預(yù)應(yīng)力混凝土箱型橋梁進行了10個月的動態(tài)測試，用49個傳感器分別測量氣溫、風(fēng)力特性、濕度、支座溫度以及混凝土溫度，結(jié)果表明，溫度使該橋的1～4階模態(tài)頻率的波動范圍分別達到14%，18%，16%和17%。Zhao等［7］對鋼板梁橋2 a的監(jiān)測表明最低溫度（-15.6℃）與基準(zhǔn)溫度（12.8℃）引起的固有頻率變化最大達到15.4%。Alampalli等［8］對一座跨度為6.76 m混凝土板的小型鋼桁架橋進行了試驗研究，比較觀察了溫度變化和橋梁模擬損傷兩種因素對模態(tài)頻率的影響。結(jié)果表明，由于溫度的變化，模態(tài)頻率的變化為40%～50%，橋梁模擬損傷的模態(tài)頻率變化為3%～8%，即溫度的影響遠遠大于模擬損傷對頻率的影響。

為了更好地量化溫度與頻率之間的關(guān)系，運用于結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測和損傷識別，Ni等［9］為區(qū)分結(jié)構(gòu)損傷和溫度變化引起模態(tài)參數(shù)得。通過1 a監(jiān)測獲得的數(shù)據(jù)，然后使用支持向量機技術(shù)應(yīng)用于制定回歸模型，量化溫度對模態(tài)頻率的影響。Liu等［10］為了提高量化溫度與頻率之間的準(zhǔn)確性，建立了多元線性回歸（multiple linear regression，MLR）模型來描述模態(tài)頻率與非均勻溫度分布之間的關(guān)系，該模型可用于結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測和損傷識別，能準(zhǔn)確地量化溫度對模態(tài)頻率的影響。

本文對監(jiān)測得到的鋼梁振動數(shù)據(jù)進行分析，研究了溫度變化對結(jié)構(gòu)頻率的影響，分別建立溫度與頻率的簡單線性回歸（simple linear regres?sion，SLR）模型和自回歸各態(tài)歷經(jīng)（auto regressive exogenous，ARX）模型。SLR模型主要反應(yīng)溫度與頻率之間的線性關(guān)系，ARX模型主要反應(yīng)溫度與頻率之間的非線性關(guān)系，通過對比分析模型的均方根誤差（root mean square error，RMSE）值，發(fā)現(xiàn)ARX模型能更好地反映頻率與溫度之間的關(guān)系。

1 工字鋼梁振動試驗

1.1 試驗概況

自制工字鋼梁（圖1），對其進行1 a的監(jiān)測，研究溫度變化對工字鋼梁的頻率影響。工字鋼長度為5 500 mm，選用輕型工字鋼18#，材料為Q235鋼。

圖1 工字鋼梁Fig.1 Steel I-beam

在工字鋼上選擇4個測點，溫度測點和傳感器布點在同一點（圖2）。使用激光溫度計測量溫度，由于受到溫度的影響，一般晚上6點至第二天8點之間溫度無明顯變化，所以不監(jiān)測，通過1 a的監(jiān)測，記錄得到了10～35℃的180組數(shù)據(jù)。

圖2 工字鋼梁溫度測點和傳感器布置圖Fig.2 Arrangement of temperature measuring points and sensorsof steel I-beam

1.2 模態(tài)識別

采用DH5922加速度傳感器采集加速度信號，使用溫度范圍0～60℃，可完成振動測試和分析。該儀器具有16個24位壓電集成電路（intergrated electronics piezo electric，IEPE）輸入通道，支持采樣頻率高達51.2 kHz，通過L5同軸延長導(dǎo)線與加速度傳感器連接，安放在等分線中心進行加速度信號采集。對試驗梁進行隨機激振，加速度傳感器采集加速度信號，采樣頻率為1 000 Hz，采樣時間為60 s。將采集得到的加速度利用傅里葉變換計算得到功率譜密度圖（圖3），可以有效識別出試驗梁前4階振型，如圖4所示。

圖3 功率譜密度圖Fig.3 Power spectral density diagram

圖4 前4階工字鋼梁振型：（a）一階，（b）二階，（c）三階，（d）四階Fig.4 First four mode shapes of steel I-beam：（a）1st mode，（b）2nd mode，（c）3rd mode，（d）4th mode

2 溫度對頻率影響分析

2.1 理論分析

環(huán)境溫度變化會影響結(jié)構(gòu)材料的力學(xué)特性，尤其是材料的彈性模量。鋼材的彈性模量會隨著溫度的升高而降低，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的降低［11］。以等截面簡支梁為例，探討溫度對結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的影響機理。

等截面簡支梁第n階模態(tài)頻率的表達式［12］為式（1），分別以E、I、mˉ、L表示簡支梁的彈性模量、截面慣性矩、均布質(zhì)量及簡支梁跨度，且均為常數(shù)。

2.2 試驗數(shù)據(jù)分析

假設(shè)頻率與溫度之間的關(guān)系是線性關(guān)系［13］，其表達示設(shè)為：y=kt+by=kt+b，式中t為溫度，k為系數(shù)，b為截距。圖5反應(yīng)了溫度變化與模態(tài)頻率的關(guān)系，可以看出，溫度是影響簡支梁頻率的因素之一，當(dāng)溫度升高時模態(tài)頻率逐漸降低，并且溫度與模態(tài)頻率變化整體上呈顯著的線性負相關(guān)性。工字鋼梁前4階溫度與頻率線性擬合系數(shù)R2分別是 0.834 3，0.822 6，0.808 8，0.855 9，表明溫度與頻率之間的相關(guān)性較高。

圖5 溫度與頻率之間的關(guān)系圖：（a）一階，（b）二階，（c）三階，（d）四階Fig.5 Relation of diagram frequency Vs.temperature：（a）1st mode，（b）2nd mode，（c）3rd mode，（d）4th mode

利用ANSYS建立工字鋼的有限元模型（圖6），得到有限元數(shù)據(jù)，通過對比分析有限元數(shù)據(jù)和實測數(shù)據(jù)，實測數(shù)據(jù)誤差不超過有限元模擬的3%，在誤差范圍之內(nèi)，如表1所示。

圖6 工字鋼梁有限元模型Fig.6 Finite element model of steel I-beam

表1 實測數(shù)據(jù)與有限元數(shù)據(jù)對比Tab.1 Comparison between measured and finiteelement data

3 ARX模型分析

3.1 ARX模型理論分析

ARX模型［14］如式（2）所示。

式中：y(t)是t時刻的輸出頻率，u(t-d)是時刻t-d時的輸入溫度，ε(t)是白噪聲誤差。

ARX模型能夠通過z變換式子表示成：

溫度輸入序列u=[u(1),u(2),…,u(M)]T，頻率輸出序列y=[y(1),y(2),…,y(M)]T，式（2）可表示為：

其中y(t)和u(t)當(dāng)t≤0時的值均假設(shè)為0。

上述方程可以寫成矩陣形式

其中

為使得殘差ε(i)平方和最小，則可以得出待定參數(shù)θ的估計值為：

赤池信息準(zhǔn)則（akaike information criterion，AIC）是一種實用的判定模型階次的準(zhǔn)則，AIC準(zhǔn)則公式表示為：

式（12）中：M為實測數(shù)據(jù)的組數(shù)，θ為待辨識參數(shù)向量，k為需要辨識的參數(shù)個數(shù)?？梢杂肕ATLAB計算函數(shù)ν=AIC（H）模型的值，若計算出的AIC的值較小，則這時n，m，d可以看成是系統(tǒng)合適的階次。

式（7）通過變化得到式（13）和式（14），ε(t)是誤差信號，在這里可以忽略，輸入信號u(t)與輸出信號y(t)的關(guān)系可以用式（15）表示。

3.2 溫度與頻率的ARX模型

利用MATLAB計算得出n=4，m=2和d=1，溫度與前4個固有頻率之間的傳遞函數(shù)如式（16）～式（19）所示。通過擬合得到溫度與固有頻率的ARX模型，如圖7所示。

圖7 溫度與固有頻率的ARX模型：（a）一階，（b）二階，（c）三階，（d）四階Fig.7 ARX models between temperature and natural frequency：（a）1st mode，（b）2nd mode，（c）3rd mode，（d）4th mode

ARX模型描述溫度與頻率之間的非線性關(guān)系，SLR模型描述溫度與頻率之間的線性關(guān)系。通過對比RMSE判斷模型的準(zhǔn)確性［15］，若RMSE值越小則模型的準(zhǔn)確性越高，RMSE值表達式如式（20）所示。對比ARX模型與線性回歸模型的RMSE值，如表2所示。

式（20）中：n是樣本量；fi是試驗測試頻率；是模型估計值。

表2 ARX模型與SLR模型的RMSE值對比Tab.2 Comparison of RMSE values between ARX and SLR models

根據(jù)對比結(jié)果可以看出，ARX模型的RESM值均小于SLR模型，表示ARX模型具有更高的精度，能更加準(zhǔn)確地描述溫度與頻率之間的關(guān)系。建立溫度與一階頻率的ARX模型和設(shè)置其95%的置信區(qū)間，可以判斷其是否有損傷，若頻率變化超過此區(qū)間范圍，則可以判斷其有損傷。ARX模型和置信區(qū)間如圖8所示。

ARX模型輸出的置信水平為1-α的置信區(qū)間可以由式（21）表示［16］：

式中：y?k是模型輸出值，tα/2,v根據(jù) t分布表查得，yk是試驗測試值。

圖8 ARX模型的95%置信區(qū)間Fig.8 Ninety-five percent confidence intervals of ARX model

4 結(jié) 論

1）通過理論分析發(fā)現(xiàn)，頻率受溫度的升高而降低，主要原因是因為溫度升高導(dǎo)致結(jié)構(gòu)材料彈性模量的降低，從而導(dǎo)致頻率下降。

2）對監(jiān)測數(shù)據(jù)進行分析，發(fā)現(xiàn)溫度與結(jié)構(gòu)頻率之間呈線性負相關(guān)，頻率隨著溫度的升高而降低。

3）建立溫度與頻率之間的SLR模型和ARX模型，通過對比模型的均方根方差發(fā)現(xiàn)，ARX模型比SLR模型更加精確。

4）建立ARX模型的95%置信區(qū)間，根據(jù)頻率變化是否超過置信區(qū)間可以判斷結(jié)構(gòu)是否有損傷。